1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Правила вычислений. Тот единственный вектор 1е= Е, для которого Ь = а+ 1, удобно обозначать Ь вЂ” а. Эта операция «внешнего вычитания» Л ХА-~-Е: (Ь, а)» — ~.Ь вЂ” а обладает следующими свойствами: а) (с — Ь)+(Ь вЂ” а) с — а для всех а, Ь, сепА; сложение слева — это сложение в Е. Действительно, пусть с = Ь+ 1, Ь = а+ т; тогда с а+(1+т), так что с — а:1+ т =(с — Ь)+(Ь вЂ” а). б) а — а 0 лля всех а ен А.
в) (а+ 1) — (Ь+ т) (а — Ь)+(1 — т) для всех а, Ь епА, 1,тив Е. В самом деле, достаточно проверить, что (Ь+л1)+(а — Ь)+ +(1 — т) а+ 1, или Ь+(а — Ь)= а, а это — определение а — Ь. Вообще„употребление знаков -Е лля различных операций ЕХЕ-+1., Л ХЕ-+.Е, А ХА-»Е подчиняется следующим формальным правилам. Выражение ~а1~ а»-Е ... ~ а + 11+ ... ... + 1„для а» си А, 1» еи Е имеет смысл, если либо т четно и все И=а~ можно объединить в пары вида а; — аь либо т нечетно, и все точки можно объелинить в такие пары, кроме одной, входящей со знаком +. В первом случае вся сумма лежит в Е, во втором— ~в А.
Кроме того, она зависит от своих слагаемых коммутатнвно я ассоциативно: например, ໠— а, + 1 можно вычислять как (໠— а,)+1 или (а» + 1) — а» или ໠— (а2 — 1); мы позволим себе писать а + 1, так же как 1+ а. Доказывать это правило в общем виде мы не станем. Всякий раз, когла мы булем им пользоваться, читатель без труда разобьет нужную выкладку на серию элементарных шагов, каждый из которых сведется к применению одной аксиомы или формулы а) — в) начала этого пункта. Заметим, что сумма а+ Ь, где а, Ь ~ А, вообще говоря, смысла не имеет, так же как и выражение ха, где хеп.й' (исключение: А = Е).
Тем не менее ниже мы придадим однозначный смысл, на- 1 1 пример, выражению — а + — Ь (но не его слагаемым!). 2 2 Интуитивно аффинное пространство (А, Е, +) следует представлять себе как линейное пространство Е с «забытым» началом координат б. Оставлена лишь операция сдвига на векторы Е, суммирования сдвигов и умножения вектора сдвига на скаляр. 7. Аффиииые отображения. Пусть (А,, 1,1), (Аь 0») — два аффинных пространства над одним и тем же полем Л'. Аффинно 'линейным, или просто аффинным, отображением первого во второе называется пара (1,0)), где 1: А,— Аъ 01: Е~-+.Ег, удовлетворяющая следующим условиям: а) 01 — линейное отображение.
б) Для любых аь а»енА имеем 1(а1) — ) (а») = 01 (а1 — аг). (Оба выражения лежат в Еь) О) (или РЯ) называется линейной частью аффиниого отображения 1. Поскольку а1 — а, пробегает все векторы Еь когда аь а»~Аь линейная часть 01 определяется по 1 однозначно. Это позволяет обозначать аффинные отображения просто 1: А1-»-Аь 8. Примеры. а) Любое линейное отображение ): Е1-~Ег индуцирует аффинно линейное отображение пространств (Еь Еь +)-». -«-(Ем Еь+). Для него 01 =.1. б) Любой сдвиг й: А-»-А аффинно линеен н 0(11)=Ыы Действительно, 11(а1) — 1~ (а~) =(а1+ 1) — (а»+ 1) -а1 — а~. в) Если )': А~-» А» — аффинно линейное отображение и 1~Ем то отображение 6~~: А,-~-А» аффинно линейно, и 0(й 1)=0(1). В самом деле, 1р о 1 (а1) — 1~ «$ (ат)= (1 (а1 ) + 1) — Ц (а,) + 1) = ~ (а 1 ) — $ (а») = 01 (а, — а,).
г) Аффинно линейная функиил ): А -э. Л' определяется как аффинно линейное отображение А в (Л',Л', +), где Л' — одномерное координатное пространство. Таким образом, 1 принимает значения в Л', а 01 есть линейный функционал на Е. Любая постоянная функция 1 аффинио линейна: 01 = О. 9. Теорема. а) Аффинные пространства вместе с а44инными отображениями образуют категорию.
б) Отображение, ставящее в соответствие аффинному пространству (А, Е) линейное пространство Е, а аффинному отображению 1: (АьЕ1)-~(АьЕ») линейное отображение 01: Е1-«-Еь является функтором из категории аффинных пространств в категорию линейных пространств. До к аз а тельство. Справедливость общекатегорных аксиом (см. 5 13 ч.
1) вытекает из следующих фактов. Тождественное отображение Ы: А -~. А аффинно. Действительно, а1 — аг = нЬ. (а~ — аг), В частности, 0 (Ыл) = Ыы 1 т Композиция аффннных отображений А — ~- А - А является аффинным отображением. В самом деле, пусть а, Ь а=А. Тогда 11(а) — 11(Ь) = 011(а — Ь) и далее Ц,(а) — Ц,(Ь) = ЕЧт (Д, (а) — ~, (Ь)) Ц, 0~, (а — Ь). Мы доказали требуемое и заодно получили, что 0(Ц1) = 01э о Ргь Вместе с формулой 0(Ыл) Ыс это доказывает утверждение б) теоремы. Следующий важный результат характеризует нзоморфизмы в нашей категории. 1О. Предложение.
Следующие три свойства аффинного отображения 1: А1-~-Аз равносильны: а) 1 — изоморфизм; б) 01 — изоморфизм; в) 1 — биекиия в теоретико-множественном смысле, Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно общекатегорному определению 1; А,— ~А, есть изоморфизм тогда и только тогда, когда имеется такое аффинное отображение д: Ат-~Аь что д~=ЫЯ, ~я=Ил, Если оно существует, то Р((д)=Ыс,=ОЯО(у) и 0(йТ)=Ым Р(у)ОЦ), откуда следует, что 0(1) — изоморфизм. Покажем теперь, что ٠— изоморфизм тогда и только тогда, когда 1 — биекция.
Фиксируем точку а1енА, и положим аг — — 1(а,). Любой элемент А; однозначно представляется в виде а~+ (ь й ~ Т.ь 1 = 1, 2. Из основного тождества 1(а, +1) — ~(а,)=01 ((а, +1,) — аД = ЦЯ следует, что ((а~+ й)= аз+ 0((й). Следовательно, à — биекция тогда и только тогда, когда ОГ(11) при 1, ~ Т., пробегает все элементы Сз по одному разу, т. е. О~ является биекцией. Но линейное отображение есть биекция тогда н только тогда, когда оно обратимо, т. е. является изоморфизмом. Наконец, покажем, что биектнвное аффинное отображение является аффинным изоморфизмом. Для этого следует проверить, что обратное к ) теоретнко-множественное отображение аффинно. Но в обозначениях предыдущего абзаца это отображение определяется формулой Г (аз+ (т) аь+(И) ((г) (э~ Тг.
Поэтому 7 (а2+ 12) — Г'(а2+(1) (01) '(Ц вЂ” (ЕЧ) '((з) (РК) '((е — (и) в силу линейности (О))-'. Итак, Г-' аффинно и 0(1 — ') = 0(~)-'. Окончательно, мы уатановили имплнкацйи а) =~- б) -в -в) =ь- а, откуда и следует предложение. Конструкция конкретных аффинных отображений часто основывается на следующем результате.
11. Предложение. Пусть (А» (ч), (Ав !»)' — два аффинных про- странства. Для любой пары точек а~ в=А» аренА» и любого ли- нейного отображения д; Е~ — «1.г существует единственное аффин- ное отображение 1: А,-«А» с 1(а,)=а» и Р! =д. В самом деле, положим ~ (а, + 1,) = а, + д (1,) для 1~ ~ Е» Поскольку любая точка А~ однозначно представляется в виде а~+1» эта формула определяет теоретико-множественное отображение 1: А»-«Аь Оно аффинное, 1(а~)= аг и Р1=у, по- тому что 1(а, +1,) — 1(а, + 1;) =у(1,) — у(1;) =д(1, — 1;) = =уИа +1) — (а +')1 Это доказывает существование 1. Наоборот, если 1 — отображение с требуемыми свойствами, то 1(а, + 1) — ) (а,) = у (1), откуда 1(а~+ 1)= а»+ у(1) для всех 1~В.
12. Важный частный случай предложения п. 11 получаетея, если применить его к (А, 1.), (1., 1.), а~А, 0~1. н д 1б~.. Мы получим, что для любой точки ее=А существует единственный аффинный изоморфизм 1: А — «Е, переводящий зту точку в начало координат, с тождественной линейной частью. Это и есть точный смысл представления о том, что аффинное пространство есть чли- нейное пространство с забытым началом координат». В частности, аффинные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ассоциированные линейные про- странства. Последние классифицируются своей размерностью, и мы можем назвать размерностью аффинного пространства размер- ность соответствующего линейного пространства. 13.
Следствие. Пусть !» 12. .А~ — «А2 — два аффинных отображе- ния Их линейнгяе части совпадают тогда и только тогда, когда 1» есть композиция )~ со сдвигом на некоторый' вектор из Лг, кото- рый определяется однозначно. Доказательство. Достаточность условия была проверена в примере в) и. 8. Для доказательства необходимости выберем лю- бУю точкУ аеиА~ и положим ).,'=(1 „, ы,о)г Очевидно, )';(а)= .= 1,(а) и Л(1')=Р(12). По предложению п. 11 1;=1,. Наоборот, если !» —— 6 о1» то 1=1»(а) — )~(а); этот вектор не зависит от а еиА из-за совпадения линейных частей 1» )ь 14.
Аффинные координаты. а) Система аффинных координат в аффинном пространстве (А, Е) есть пара, состоящая из точки а»ен А (начала координат) и базиса (еь ..., е„) ассоциированного линейного пространства Е. Координаты точки а си А в этой си- стеме образуют вектор (х„..., х„)еиЛ*", однозначно определяемый условием а аь+ Е хФо $ ! Иначе говоря, отождествим А с Е посредством отображения с тождественной линейной частью, переводящего аь в О, и возьмем координаты образа точки а в базисе (е1, ..., е„): зто и будут тн ° ° ° , х«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
