1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 44
Текст из файла (страница 44)
по базису (е;) и пользуясь тем, что умножение в ь,м'-линейно по каждому из сомножителей (это следует нз того, что Л' лежит в центре), мы можем представить любое произведение р(1~) ... р(1„) в виде линейной комбинации одночленов относительно р(е;). Заменив р(е;)' на а~ и р(е;)р(е ) при 1) 1 на — р(е~) р(е~), мы можем привести любой олночлен к виду ар(ей)... .. р(е~ ), тле аен ч, 0 <6< ... < ! .
Дальнейших соотношений между такими выражениями не вилно; одночленов р(е~,)... р (е~ ) имеется 2~ (включая тривиальный одночлен 1 при гп = 0) . План доказательства состоит в том, чтобы сделать строгими эти наводящие соображения, действуя более формально. С этой целью для кажлого подмножества 5~(1, ..., и) введем символ ез (который впоследствии окажется равным р(ей)... ...р(е~ ), если 5=((ь ..., 1 ), 11 < ... <! ); положим также ен —— 1 (1о — пустое полмножество). Обозначим через С(Ц Л"-линейное пространство с базисом (ез). Определим умножение в С(1.) следующим образом. Если 1 < е, ! < и, положим 1 при зч,,г, (з, 1) = — 1 при з >1.
Для двух подмножеств Я, Т с:(1, ..., п) положим а(В Т) П(з. !) П ап з азот ь.т где, напомним, а~ = д(еь е~). Пустые произведения считаются равными единице. Наконец, произведение линейных комбинаций ~ азез, ~ Ь„ег ен С(1.)' аз,Ьт ~ дТ, определим формулой ( ~' азез) ( ), Ьтет) = ~ азйт а (Б, Т) ест. где БРИТТ =(5() Т)'~(5() Т) — симметрическая разность множеств 5, Т. Все аксиомы Л'-алгебры проверяются тривиально, ва исключением ассоциативности. Ассоциативность достаточно проверить на элементах базиса, т. е. установить тождество (езет) е„ез (етел).
Поскольку езет — — а(5, Т)е»Уг, имеем (ееет)ее=а(5, Т)а(5С~Т, Юе<зпг»пл, ез(етея) = а(5, ТттРт) а(Т, й) езт~~т~теь Нетрудно проверить, что (5тут) туК=5ту(ТС Ю= = ((5 () Т () й) ' Н5 П Т) 0 (5 П Ю Б (Т П й)]) 0 (5 () Т П й). Поэтому остается убедиться лишь в совпадении скалярных коэффициентов. Часть а(5, Т)а(5 ~7 Т, )т), относящаяся к знакам, имеет вид П(,1) П,(и, ). Заставив во втором произведении и пробегать сначала все элементы 5, а затем все элементы Т (при фиксированном г), мы введем сомножители (и, г)», и е= 5Д Т, равные единице, так что этот «знак» можно записать в симметрическом по 5, Т, )т' виде П (з, г) П (и, г) П (и, г).
»мз «~8 иет »~т гни гий Аналогично с тем же результатом преобразуется знак, относящийся к а(5, Ттггт)а(Т, Тт). Остается разобрать множители, в которые входят скалярные квадраты аь Для а(5, Т)а(5»7 Т, )т) они имеют вид П~ П зпт с лзттшя Но (5» Т)П)т =(5())т)'с7(ТПР), а 5П Т с этим множеством не пересекается, и (5 П Т)() [(5П тт) тг(Т Д Тг)) состоит из тех элементов 5() Т())г, которые содержатся более чем в одном из этих трех множеств. Поэтому наш множитель симметрично зависит от 5, Т, )т. Аналогично с тем же результатом вычисляется нужная нам часть коэффициента а(5, Тт7К)а(Т,Р).
Это завершает доказательство ассоциативности алгебр,.С(Е), Определим, наконец, Х-линейное отображение р: Е-». С(Л) условием р(е;)= ень Согласно формулам умножения ез является единицей в С(Е), и а,ед при !'=1, рЮрЮ=еиби=~ — е е при! ~ '. лен при ~ Поэтому (р, С(Е)) есть алгебра Клиффорда для Е. б) Последнее утверждение доказывается формалыю. Пусть и; Š— »- 0 — Х-линейное отображение с о(1)з = д(1, 1) 1. Суще- ствует единственное Л'-линейное отображение т: С(1 )-». О, которое на элементах базиса ез определено формулой т (ер, ...
» 1) = и (е~,)... а (е; ), т (ео) =1р. Км Для него т.р=п, ибо это так на элементах базиса Т.. Наконец, т является гомоморфизмом алгебр. Действительно, т (езаг) = т (а (5, Т) аз т!т) = а (Я, Т) т (ез ч г), и нетрудно проверить, что т(сз)т(ег) можно привести к тому же виду, пользуясь соотношениями п(е!)э=ам п(е!) п(е!)= — а(е!)о(е!) при !'чь). Это завершает доказательство. 3.
Примеры. а) Пусть Š— двумерная вещественная плоскость с метрикой — (ха+у'). Алгебра Клиффорда С(Ц имеет базис (1, е», еь е»ез) с мультипликативными соотношениями е =е = — 1, е»е,= — е ег ! 2 Нетрудно убедиться, что отображение С(Г)-»-г!; 1» — ~1, е!» — ь1, ет»-» ), е»ег!-».)! определяет изоморфнзм С(Е) с алгеброй кватернионов Н. б) Пусть Ь вЂ” линейное пространство с нулевой метрикой. Алгебра С(1.) порождена образующими (е», ..., е„) с соотношениями а~= О, е!е = — е»э! прн !'чь !. ! Она называется внешней алгеброй, или алгеброй Грассиояп, линейного пространства Е.
Мы еще вернемся к ней в части 4. в) Пусть Е = !Тс — комплексифицированное пространство з Минковского с метрикой х — ~. х,'-' относительно ортонормирован- ! 1 ного базиса (е!) в !ч, являющегося одновременно базисом Мс. Покажем, что алгебра Клиффорда С ( !лс) изоморфпа алгебре комплексных 4Х4-матриц. С этой целью рассмотрим матрицы Дирака, записываемые в блочном виде: ~о-(о' .',) у!=( '. о') Пользуясь свойствами матриц Паули оь нетрудно убедиться, что у! удовлетворяют тем же соотношениям в алгебре матриц !14»(С) что и р(е!) в алгебре С(4Тс)! (т. е Е»); 7»у!+ у!у! = О при ! Ф1. Значит, С-линейное отображение сп .!!Тс-+Л4»(С) индуцирует гомоморфнзм алгебр т! С( ас1- -+Л4,(С), для которого т р(е;)=у!.
Непосредственным вычислением можно проверить, что отображение т сюръективно, а так как обе С-алгебры С(Яс) н )И»(С) шестнадцатимерны, т является изоморфизмом. Ч а с т ь 3. АФФИННАЯ И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ й Е Аффинные пространства, аффиниые отображения и аффинные координаты !. Определение. А4финным пространством над полем Х называется тройка (А, Е, +), состоящая из линейного пространства Е над полем Л', множества А, элементы которого называются тачками, и внешней бинарной операции А Р', Е-»А: (а, 1)»-»а+ 1, удовлетворяющей следующим аксиомам: а) (а+ 1)+ от а+(1+т) для всех а~А; 1, гпсиЕ; б) а+О = а для всех аеиА; в) для любых двух точек а, Ь и А существует единственный вектор 1ен Е со свойством Ь а + 1.
2. Пример. Тройка (Е,Е,+), где Š— линейное пространство, а + совпадает со сложением в Е, является аффинным пространством. Удобно говорить, что она задает аффинную структуру линейного пространства Е. Этот пример типичен; позже мы уввдим, что всякое аффинное пространство изоморфно такому. 3. Термины. Мы часто будем называть аффинным пространством пару (А, Е) или даже просто А, опуская указания на +. Линейное пространство Е называется ассоциированным с аффинным пространством А.
Отображение А-»А: а»-»а+1 называется сдвигом на вектор 1; удобно иметь для него спецвальное обозначение 1ь Мы пишем а — 1 вместо 1 ~(а) или а+( — 1). 4. Предложение. Отображение 1»-»6 определяет инъективный гомоморфизм аддитивной еруппы пространства Е в группу перестановок точек аффинного пространства А, т. е. з4фективное действие Е на А. Это действие транзитивно, т. е.
для любой пары точек, а, Ь ее А существует 1ев Е с 1~(а) = Ь. Наоборот, задание транзитивного з44ективного действия аддитивной группы Е на множестве А определяет на А структуру аффинного пространства с ассоциированным пространством Е. Доказательство. Из аксиом а) и б) следует, что при любых 1ен Е и а я А уравнение 1,(х) = а имеет решение х = а+( — 1), так что все 1~ сюръективны. Если 6(а)= О(Ь), то, найдя по аксиоме в) такой вектор и ~ Е, что Ь = а+ т, получаем а + 1=(а+ гп)+1=(а+ 1)+ гп. Но а+1=(а+ 1)+О, поэтому из условия единственности аксиомы в) следует, что т = О, так что а = Ь. Поэтому все 1~ инъективны.
193 Аксиома а) означает, что 1 1» = 1»+„, а аксиома б) — что 1« =1б«. Поэтому отображение 1» — »1» является гомоморфизмом алдитивной группы Е в группу биекций Л с самим собой. Вго ядро равно нулю в силу аксиом б) и в). Наоборот, пусть Е Р',А-+А: (1, а)»-»а+1 — эффективное транзитивное действие Е на А. Тогда аксиомы а) и б) получаются прямо из определения действия, а аксиома в) — из соединения свойств эффективности и транзнтивности. 5. Замечание.
По поводу действия групп (не обязательно абелевых) на множествах см. $2 главы 7 «Введения в алгебру». Множество, на котором группа действует транзитивно и эффективно, называется главным однородным пространством над этой группой. Отметим, что в аксиомах аффинного пространства не фигурирует явно структура умножения на скаляры в Е. Она появляется лишь в определении аффинных отображений и затем барицентри'ческих комбинапий точек А. Но прежле несколько слов о формализме. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
