1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Наконец, легко видеть, что 1!, (В,) =1!, (Вь) тогда и только тогда, когда 1! — 1ь еп М. 4. Следствие. Аффинные надпространства в Е (с аффинной структурой) — это линейные подмногообразия 1. в смысле определения и. 1 $ 6 ч. 1, т. е. сдвиги линейных подпространств. 5. Следствие. Параллельные оффинные надпространства одинаковой размерности либо не пересекаются, либо совпадают. Доказательство.
Если Ьс= В!()Вь то по предыдущему В, = (Ь+ т~ т ~ М) = Вь где М вЂ” общее направляющее В! и Вь 6. Аффинные подпространства В, и Вт не обязательно одинаковой размерности называются параллельными, если одно из их направляющих содержится в другом. Слегка изменяя предыдущие доказательства, легко получить следующие факты, Пусть В, и Вь параллельны и бппВ! < бпп Вь Тогда существует такой вектор 1гп 1., что б(В!) с Ви и два вектора с этим свойством отличаются на элемент из М!. Кроме того, либо В, и Вг не пересекаются, либо В, содержится в Вь 7.
Предложение. Пусть (Вь М!), (Вм Мь) — два аффинных надпространства в А. Тогда В, () Вь либо пусто, либо является аффинным подпространством с направляющим М,() М,, Доказательство. Пусть В,('!Вг непусто и ЬепВ! 1) В,. Тогда В! — — (Ь+ 1!~1ги М!), В~= (Ь+ 1ь~1гн М,), откуда В! () В,= =- (Ь + 1)1еи М! 1) Мь), что доказывает требуемое. (Следствие и.
5, очевидно, вытекает отсюда.) 8. Аффинные оболочки. Пусть Я~А — некоторое множество точек в аффинпом пространстве А. Наименьшее аффинное подпространство, содержащее Я, называется аффинной оболочкой Я. Оно су!цсствует и совпадает' с пересечением всех аффинных подпространств, содержащих Я. Мы можем описать аффинную оболочку в терминах барицентрических линейных комбинаций (предложение п.
11 5 !). 9. Предложение. Аффи ная оболочка мнолсества Я совпадает с множеством барицентрических комбинаций элементов из Я: где (зь ..., з„) ~Я пробегает всевозможные конечные подмноясества Я. Доказательство. Покажем преже всего, что барицентрические комбинации образуют аффинное подпространство в А. В самом деле, обозначим через М с: 1. линейное подпространство, натянутое на всевозможные векторы з — 1; з, 1~ Я. Любые две барицентрические комбинации точек Я можно представить в виде Я х,з,, 7 и!з! с одним и тем же множеством (эь ..., е„), взяв 1=! обаединение двух исходных множеств и положив лишние коэффи- 206 цненты равными нулю.
Поскольку ~ х, — ~'., у! —— О, разность этих !=! а ! комбинаций можно представить в виде Х(х!-у!)(вс-в!) ! ! и потому она лежит в М. Наоборот, любой элемент из М вида л « / я я ~ х,(з, — 1!) есть разность точек ~„х!з!+~1 — ~ х!)з! и Х х!!!+ !=! ~-! г:! + 1 — ~х, з, из Я. Поэтому М= (Ь! — Ьз(Ь|, Ьз~5). Это же соображение показывает, что 1, (Я)с Я для всех !и е= М. Следовательно, Я является аффинным подпространством с направляющим пространством М.
Ясно, что Яс:Я. Наоборот, пусть В:э 5 — любое аффинное надпространство, (зь ..., з,) с: 5. Тогда для л!обык х!, ..., х„~ Л', ~ х, * 1, имеем !-! и л Х хаас=в! + Х х!(в! — в!). ! ! ! ! Поскольку зь ..., з,енВ, ве!:тор Х х!(з, — з,) лежит в направ!-! ляющсм пространстве В и потому сдвиг з! на него лежит в В. Значит, Я с: В и Я действительно является наименьшим аффипным подпространством, содержащим 5. 10. Предложение. Преть 1! А! — !-Аз — аффинное отображение двух аффинных пространств; В, с: А, и Ве ~А, — аффинныв надпространства.
Тогда !(В!)сА! и !* !(Вя)сА! являются аффинными подпространствам и. Доказательство. Пусть В! (Ь+Ц1евМ!), где М! — направляющее пространство для Вь Тогда 1(В!) = ()(Ь)+01(1)11ен ен М!) = ()(Ь)+ 1'1Р ев 1тВ)). Следовательно, )(В!) — аффинноа подпространство с направляющим пространством 1тВ1.
В частности, 1(А!) есть аффинное подпРОстРанство в Аз, Вг() ()1(А!) есть аффннное подпространство и 1-!(Вг)=!' !(Вг()1(А!)) в силу общих теоретико-множественных определений. Заменив А, на 1(А!) и Вз на Вг()1(А!), мы можем ограничиться случаем, когда 1 сюръективно. Пусть Мт — направляю)цее пространство для Вь Тогда Вз= (Ь+ тает я=Мз) и ) '(Вг) (Ь'+ т''1)(Ь )=Ь, 01(т')~Мг), Справа можно ограничиться одним значением Ь'ен е= 1-! (Ь): остальные получатся из него сдвигами иа Кег.01.
Отсюда следует, что 1'-!(Вз) имеет вид (Ь'+ т1т ев В!' !(М!)) и потому является аффинным подпространством с направляющим подпространством (Щ) -! (Мз1. $07 11. Следствие. Множество уровня любой аффинно линейной функции является аффинным подпространством. До к аз а тельство. В самом деле, множества уровня аффипно линейной функции 1: А — й1 суть прообразы точек в й'. Но любая точка в аффинном пространстве является аффипным подпространством (с направляющим (0)). 12. Предложение. Пусть 1ь ..., 1„— аффинно линейные функции на аффинном пространстве А. Тогда множество (се=А ~)~(а~) = ... ='! (а )=-0) является аффннным подпространством в А.
Если А конечномерно, то всякое его аффинное надпространство имеет такой вид. Д о к а з а т е л ь с т в о. Указанное множество является конечным пересечением множеств уровня аффинно лвнейных функций. Поэтому оно аффинное в силу следствия п. 11 и предложения п. 7. Наоборот, пусть В с: А — аффинное подпространство в конечно- мерном аффинном пространстве А, Мс: Š— соответствующие линейные прострааства. Если В пусто, его можно задать уравнением О, где 1' — постоянная функция на Л с ненулевым значением (очевидно, любая такая функция аффинно линейна, 61=0).
Иначе, пусть д1 = ... =д„=Π— система линейных уравнений на Е, задающая М; в качестве дь ..., д, можно взять„например, базис подпространства Мг с Е». Выберем точку Ь ~ В и построим аффинно линейные функции 1П А — «Л' с условиями )~(Ь) = О, Щ= дь 1=1, ..., и. Очевидно, Ь(Ь+1)=йч(1). Поэтому точка Ь+1еиА обращает в нуль все функции ), тогда и только тогда, когда 1я М, т. е. тогда и только тогда, когда Ь+1еВ. Это завершает доказательство. 13. Назовем конфигурацией в аффинном пространстве А конечную упорядоченную систему аффинных подпространств (Вь ... , В„).
Две конфигурации (В„..., В„) и (Ви ..., В'„) назовем аффинно конгруэнтными, если существует такой аффинпый автоморфизм )~АДА, что )(В~)= В), 1 1, ..., и. Возможны варианты этого понятия, когда 1" разрешается выбирать лишь из некоторой подгруппы Л11А, например, группы движений, когда А евклидово. В последнем случае будем называть конфигурации метрически конгруэнтными. Важные понятия и результаты аффинной геометрии связаны с отысканием инвариантов конфигураций относительно отношения конгруэнтности. Заметим, что оно является аффинным вариантом понятия «одинаковой расположенности», которое мы изучали в $ 5 ч.
1. Докажем несколько основных результатов о конгруэнтностп. Пусть А — аффинное пространство размерности и. В соответствии с результатами пп. 9 — 11 $ ! назовем конфигурацию (а„..., а„) иа и+ 1 точки в Л координатной, если ее аффинная оболочка совпадает с Л. 14, Предложение.
а) Любие две координатные конфигурации конгруэнтны и переводятся друг в друга единственным отображением !" е:— АНА. б) Координатные конфигурации (а„..., а„) и (а,', ..., а„) в евклидовом пространстве А метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда д(ао, а )=с1(а',, а') длл любых о,1ен1, ..., и. Доказательство. а) Положим ео=а,— а„е',=а',— а'. Системы (е!) и (е!) образуют базисы в Е. Пусть д: г.-о !.— линейное отображение, переводя!цее е, в ес Построим аффииное отображение 1: А -+ А со свойством 01 = д и 1(ао) = а'. Оно су ществует по утверждению п.
11 $1 и лежит в АДА, ибо у обратимо. Кроме того, 1(а!)=1(а,).+д(а,— ао)=ао+е',=ао+(а! ао) для всех ! = 1, ..., и. Эта же формула показывает, что ) един- ственнаЯ, ибо В1 должно пеРеводить е,. в е' ,н 1(ао) =ао, б) В силу доказанного выше достаточно проверить, что 1 является движением тогда и только тогда, когда Ы(а! а!) =!1 (аи а') для всех ю, 1. В самом деле, д(а!, а1)=(а! — а!~=~е! — е!~1, где ео=ао — ао О, и аналогично д(а'„а')=)е',— е'). Если 1 — движение, то 01 ортогопально и сохраняет длины векторов, так что условие необходимо.
Наоборот, пусть оно выполнено. Тогда ~е!~= = ~ е', ) для всех !' = 1, ..., и и далее из равенств ! е, — е (о = ~ е, '— — е' 1о полУчаем, что (еи е ) = (е',, е') длЯ всех о, 1. Значит, матРицы Грама базисов (е!) и (е,') совпадают. Но тогда отображение д, переводящее (е!) в (е,'), является изометрией, так что 1 является движением.
Доказательство окончено. Рассмотрим теперь конфигурации (Ь, В), состоящие из точки и аффинпого подпространства. В евклидовом случае назовем расстоянием от Ь до В число с((Ь, В)=!П1(!1~!Ь+1~В). 15. Предложение. а) Конфигурации (Ь, В) и (Ь', В') аффинно кднгруэнтны тогда и только тогда, когда дппВ = о(1шВ' и либо одновременно Ь ~е В, Ь' чи В'„либо одновременно Ь ен В, Ь' ~ В'.
б) Конфигурации (Ь, В) и (Ь', В') метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда д1гп В д1гп В' и д(Ь, В) с1(Ь', В'). Доказательство. а) Сформулированные условия, очевидно, необходимы. Пусть они выполнены, Обозначим через М, М' направляющие В, В' соответственно и выберем линейный автомор. физм 0: с.-!-с„для которого у(М)= М'.
Если Ьев В и Ь'ы В~, построим аффинное отображение 1: А-~А с условиями Щ д и 1(Ь)=Ь'. Очевидно, 1(Ь+ 1)=Ь'+у(1), так что )(В)=В'. Если Ь ф В и Ь'ф В', наложим на д дополнительные условия, Выберем по точке а он В, а'вн В' и потребуем, чтобы д переводил вектор Ь вЂ” а в вектор Ь' — а'. Оба вектора ненулевые и лежат вне М, М' соответственно, поэтому стандартная конструкция, исходящая из базисов !'. вида (базис М, Ь вЂ” а, дополнение) и (базис М', Ь' — а', дополнение), показывает существование а.
После этого снова построим аффинное отображение 1: А-~-А с Р1=д и 1" (6)= 6'. Проверим, что 1(В)=В. В самом деле, прежде всего, ((а)=а', потому что 1(а)=!(Ь вЂ” (Ь вЂ” а))=1(Ь) — д(6 — а)=Ь' — (6' — а') а'. Далее, 1(а+ 1) =1(а)+д(1), и условие 1~М равносильно условию д(1)с:-М', так что ДВ)= В'. б) Необходимость условия снова очевидна. Для доказательства достаточности подчиним выборы, сделанные в предыдущем рассуждении, дополнительным требованиям. Прежде всего, отождествим А с Е, выбрав начало координат в В.
Тогда В отождествится с М, Ь станет некоторым вектором в Е. Пусть а — ортогональная проекция 6 на М. В линейном варианте мы уже знаем, что И(Ь, В)=~Ь вЂ” а~. Аналогично определим точку а' на М' или в нашем отождествлении на В'. В качестве д возьмем изометрию Е, переводящую М в М' и Ь в Ь'. Она существует: дополним ортонормированные базисы в М и М' соответственно до ортонормированных базисов в Л, содерлсащих (6 — а)/~Ь вЂ” а~ и (Ь' — а')/ /~6 — а~, и определим у как изометрию, переводящую первый базис во второй. После этого аффинное отображение 1: А-э-А с Р1 = д и 1(6) = Ь' будет движением, переводящим (6, В) в (Ь', В'). 16, Рассмотрим, наконец.
конфигурации, состоящие из двух подпространств Вь Вь Полная классификацвя их с точностью до аффинной конгруэнтности может быть проведена с помощью соответствующего результата для линейных подпространств, доказанного в п. 5 $5 ч. 1. Полная метрическая классификация довольно громоздка: оиа требует рассмотрения расстояния между В~ и Вз и серии углов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
