1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 33
Текст из файла (страница 33)
«а,(х). 2. вх' г=ь ! ь Д4 где запись — ° а, (х)для оператора означает, что, применяя его В»1 к функции 1(х), мы сначала умножаем се па а~(х) и затем дифференцируем ! раз по х. Формула (3) определяет операцщо (формального) сопряжения дифференциалыпях операторов: О» 0*. Оператор 0 называется (формально) самосопряженным, если 0 =- 0*. Слово «формальный» здесь напоминает о том, что в определении не указано явно пространство, на котором 0 реализуется как линейный оператор. Если скалярное произведение определяется с помощью вега 6(х): (1, л)о — -=- ~ 6 (х) ((х) д (х) с(х, « то очевидные вычисления показывают, что вместо 0* следует рассматривать оператор 6-' ° 0*"6 (сч1пая, что 6 не обращается в нуль); именно он является кандидатом на роль сопряженного оператора к 0 относительно ()', п)о. Покажем, что ортогональные системы функций, рассмотренные в $4, состоят из собственных функций самосопряженных дифференциальных операторов.
а) Вго4естввнные многочлгны Фурье степени -т«'. Оператор — „,, формально самосопряженный, переводит это пространство в в себя и самосопряжен на нем. Кроме того, его собственные значения равны О (кратность 1) и — 1з, — 2», ..., — й1' (кратность 2). Соответствую1цие собствекные векторы суть 1 н (соз пх, в(пах), 1 ~о « )У. б) Многочлены ~7гясандра. Оператор (х" — 1) — -!. 2х — ==. — «| (х — 1) — ~ ~Р, л1 д 1 г В 3 )1х«дх в'х | ' сЫ ! формально самосопряжен и переводит пространство многочленов степени (»у в себя.
Имеет место очевидное тождество (хг — 1) ~~ (хл — 1)л = 2пх(хл — 1)", откуда по формуле Лейбница, примененной к обеим частям, и+ г — ~(.'- 1) — (х — 1)" 1 = „„.+» ~ »»х »л+л »л+» = (хт 1) ,, (Хх — 1)л + 2 (и + 1) х , (хз 1)л + »,хл+» Ехл+» »л »»лт» »л + и (и+ 1) — (хх — ! )л = 2пх —, (х' — 1)к+ 2п (и+ 1) — (х' — ! )".
л л »»х" + »»хл Разделив последнее равенство на 2"п1 и вспомнив определение многочленов Лежандра, получим отсюда ~(хл — 1) —, + 2х — 1Р„(х) =п(п+ 1) Рл(х). й2 Таким образом, оператор (хз — 1) — „, + 2х — „на пространстве »ногочленов степени -»»» диагонализируется в ортогональном базисе из многочленов Лежандра и имеет простой вещественный спектр. Стало быть, он самосопряжен.
Разумеется, самосопряженность на этом пространстве можно было бы проверить и непосредственным интегрированием по частям: член типа фб~, пропадет здесь нз-за множителя ха в 1 в коэффициентах оператора. Тогда из результатов этого пункта и теоремы п. 4 получается другое доказательство попарной ортогональности многочленов Лежандра. Мы оставляем читателю часть проверок н интерпретацию в терминах линейной алгебры соответствующих фактов для много- членов Эрмита и Чебышева (помннть о весовых множителях 6(х)!). в)»»4ногочлен Эрмито Лл(х) =( — 1)л е»е — л (е-'") есть соб»»хл ' ственный вектор с собстеенныл» значением — 2п оператора е' К= — — 2х — . »»х »»х ' лл Функция е х'»~ Н„(х) = ( — 1)лех'и — „„(е-"') является собственным вектором оператора с собственным значением †(2п + !).
Первое, утверждение проверяется прямой индукпиен по и, которую мы опускаем. Для доказдтельства второго утверждения рас- смотрим вспомогательный оператор и М = — „— х. Их Легко проверить, что [Н, М] = НМ вЂ” МН =- — 2 [ — — х) = — 2М. т Д ~ Дх Отсюда следует, что если [ есть собственная функция оператора Н с собственным значением Х, то М! есть собственная функция оператора Н с собственным значением Х вЂ” 2: НМ] =- [Н, М] ! + М Н! = — 2М] + ХМ! = (Х вЂ” 2) М!. Поскольку Н (е-хп)= — е-хп, мы получаем, что М' (е-хчт)есть собственная функция для Н с собственным значением — (2п+ 1) при всех и ~ О, С другой стороны, прямая проверка показывает, что е"'пМ (е -"'7 (х)) = е"' — (е-х7 ( т)) ех откуда вытекает, что е-хнзН„(х)=( — !)"М" (е ".) что завершает доказательство второго утверждения. г) Многочлен Чебышева 1 ! — я)лы ~х и— Т„(х) =- ~/1 — хл — „(1 — хз) (2пн Ых" есть собственный вектор с собственным значением — пз оператора з е' в (1 — х ) — — х —.
их' их 11. Нормальные операторы. Как унитарные, так и самосопряженные операторы в унитарном пространстве являются частным случаем нормальных операторов, которые мол<но описать двумя равносильными свойствами: а) Это операторы, диоеонализируемые в ортонорлшрованном базисе. б) Это операторы, коммутирующие со своим сопряженным оператором, Проверим равносильность. Если (е;) — ортопормированный базис с !(е;)= Хеи то !'(е~) = = Х;еь так что [),['] = О, и из а) следует б).
Для доказательства обратной импликации выберем собственное значепве ). оператора ! и половьим Ц = (! ~ (. [ ! (!) = ц). Проверим, что )'((.х)с !.р,. В самом деле, если ! сн с„то ! (Г (!)) =- [* 0' (!)) = Г () !) = Ч' (!), поскольку 0' = )*!. Отсюда вытекает, что пространство 1ьх 1-инвариантно: если ((, )о) = 0 для всех (о ~ 1, то () (!) (а) = (! ) ((о)) = (). Такое же рассуждение показывает, что 1~а 1*-инвариантно.
Ограничения ! и )'* на Ц, очевидно, коммутируют. Применяя индукцию по размерности 1, мы можем считать, что на Ц ! диагонализируется в ортонормированном базисе. Так как то же верно для 1м это завершает доказательство. УПРАЖНЕНИЯ 1. Г!усть Д С-~ 1 — оператор в унитарном пространстве. Доказать, что если ! ()(!), !)!» с(!) з для всех ! г= 1, и некоторого с ) О, то )()(!), т) )+ )(1, ((т)) !»2с(! ))ьт ( для всех 1, т са ! 2. Пусть !' 1-ь1. — самосопряженный опсуатор. Доказать, что ( (! (!), !) ( » ! ! 1 ! ! р для всех ! ш Д где ))( — индуцированная норма Д и если с» ()(, то существует вектор ! ш1 с ! () (!), !) ( ) ( ! р, З.
Самссопряткенный оператор ! иазынается неотршгательным, ! ) О, если (!(!), !) > О для всех !. Доказать, что что условие равносильно неотрицательностн всех точек спектра 1 4. Доказать, что отношение ! ь я: ! — й ) О является отношением порядка на множестве самосопряженпых операторов. 5. Доказать, что произведение двух коммутиругошнх неотрицательных самосопряткенных операторов пеотрицательво.
6. Доказать, что нз каждого неотрицательного сзмосопрнткснного оператора можно извлечь единственный неотрицательный квадратный корень. 7. Вычислить явно поправку второго прнблигкспия к собственному вектору и собственному зизчегшк~ оператора Нт + тН, 8. Г!усть ! — самосопрюкенный оператор, ш ш С, !гп сз ~ О Доказать. что оператор а= !! — й Ы) (! — ю Ы) уиитарен, его спектр не содержит единицы н ) = «й — ы Ы) (Н вЂ” Ы)-'. 9. Наоборот, пусть й — унитарный оператор, спектр которого нс содержит единицы. Доказать, по оператор ! = (юя — в Ы) (и — ! и) самосопряткен и я=(! — сй Ы] (! — ы Ы) (Описанные здесь отображения, которые связывают самосопрявгепцые и унитарные операторы, называются преобразованиями Кзлн. В одномерном случае дни отвечают отобраткенню а ь — >, которое перепилит вещественную ось в а — ы' единичную окружность.) 1О.
Пусть )". Г-ь !. — любой линейный оператор в унитарном пространстве. Доказать, что !'! — неотрицательный сзмосопряжеппый оператор и чго он потожнтелен тогда и только тогда, когда ! обратим. 2 2 11. пусть !' обратим и г! — — Ц, гг — — 1 й гле гь гг — пололкнтельные самосопрялкенныс опсраторы. Доказать, что ~=Г!И! И2Г2, где иь иг унитарны.
(Эти представления называются полярнымв разлолсеннял!н линейного оператора й где иг, иа — соответственно правый и левый фазовыс множители й В одномерном случае получается представление ненулевь!х комплекспык чисел в вндс ге"".) 1В. Доказать, что полярные разложения ! = г,и! —— иггл единственны.
13. Доказать, что полярные разлолкення существуют также для необратимых операторов й но однозначно определяются лишь гь га, а ие унитарные сомиожители. й 9. Самосопряженные операторы в квантовой механике 1. Мы продолжаем здесь обсуждение основных постулатов квантовой механики, начатое в п. 8 й 6. Пусть яв — унитарное пространство состояний некоторой квантовой системы. Для характеризации конкретных состояний в физике пользуются возможностью определить на них («измерить») значения некоторых физических величин таких, как энергия„спин, координата, импульс и т.
п. Если единица измерения каждой такой величины, а также начало отсчета («нуль») выбраны, то возможные значения являются вещественными числами (это по существу определение скалярных величин), и мы всегда будем считать это условие выполненным. Третий (после принципа суперпозиции и интерпретации скалярных произведений как амплитуд вероятности) постулат квантовой механики состоит в следующем. Каждой скалярной физической величине, значения которой можно измерять на состояниях системы с пространством состояний Я, можно поставить в соответствие самосопряженный оператор 1! М- Ж со следующими свойсхвал!и: а) Спектр оператора ) есть полное лсножество значений величины, которое можно получить, производя измерения этой величины на разных состояниях системы. б) Если 2р еп Ж вЂ” собственный вектор оператора 7 с собственным значением Л, хо при измерении этой величины на состоянии тр с достоверностью получится значение Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
