1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Кроме того, прямые р;рз и д~~~ лежат в общей плоскости гргрь Поэтому они пересекаются в точке, которую мы обозначим зз, где (й 1, 1с) = (1, 2, 3): это точка пересечения продолжений пары соответствующих сторон треугольников р~ргрз и дгдгдз. Теорема Дезарга, которую мы докажем в следующем пункте, утверждает, что трн точки зь ам зз лежат на одной прямой. Конфигурация, состоящая иа десяти точек рь дь з», г и десяти соединяющих их прямых, показанных на рис. 8, называется конфигураз(ией Дезарга. Каждая ее прямая содержит ровно три ее точки, и через каждую ее точку проходят ровно три ее прямые.
Читателю предлагается самостоятелыю убедиться в том, что она по существу симметрична (в том смысле, что группа перестановок ее точек и прямых, сохраняющая отношения ннцидентности, траизитивпа как на точках, так и на прямых). 3. Теорема Дезарга. В опи- санных выше условиях точки зь зг зь зз лезсат на однои прямой Доказательство. в1ы разберем два случая в зависимости от того, совпадают плоскости й рзрзрз и иу1 у»уз или нет. а) Р~РаРз чь ЯЯЯз («пРостРанзз ственная теорема Дезарга». В этом слУчае плоскости Рзрзрз и дзузуз пересекаются по прямой, Рзс 8 и нетрудно убедиться, что зь ез, зз лежат на ней. Действительно, гочка зь например, лежит на прямых рзрз и а»уз, которые в свою очередь лежат в плоскостях рзрзрз и у1узуз н, значит, в их пересечении.
б) рзрзрз=д~уздз («плоская теорема-Дезарга»). В этом случае выберем в пространстве точку г', не лежащую в плоскости р,рзрз, и соединим ее прямыми с точками г, рь рь В плоскости ~р,д, лежит прямая Р|а, и, значит, точка г. Проведем в ней через г прямую, не проходящую через точки У и рь и обозначим ее пересечения с прямыми г'Ри г'~~„через р„у, соответственно. Тройки (р,, р, р ) и (д'„дз, д ) лежат уже в разных плоскостях — иначе содержащая их общая плоскость содержала бы прямые рзр, и дзуз и потому совпадала бы с р Рзрз„но это невозможно, ибо р',, д', в этой начальной плоскости не лежат.
КРоме того, пРЯмые Р Уо Рзоз и Рзоз проходят через точку г. В силу пространственной теоремы ДезаРга точкиР',Рз() д',д„Р',Рз() У',Уз и Р,рз() дзУ лежат иа одной пРЯ- мой. Но если спроектировать эти точки из У на плоскость р,р,р„ то получатся как раз зз, зз, з~ соответственно, потому что У проектирует (Р1 Рз Рз) (Р~ Рз Рз) " (Уи У» Уз) в (Уи Уэ Уз) чит, стороны каждого из этих треугольников в соответствующие стороны исходных треугольников.
Это завершает доказательство. 4. Конфигурация Паппа. Рассмотрим в проективной плоскости две разные прямые и две тройки лежащих на них попарно разных точек рь рз, рз и дь оз, оз. Для любой пары различных индексов (й Д с: (1, 2, 3) построим точку аз= р;~()Чзрь где (й ), й) = =(1, 2, 3). 5. Теорема Панна. Точки яь я,, яз лежат на одной пряззой. Доказательство. Проведем прямую через точки яз, яз и обозначим через яз ее пересечение с прямой Р1Чь Наша цель состоит в доказательстве того, что яз лежит на ней. Построим два проективных отображения ~ь 1з. 'Р1рзрз Ч1ЧзЧз. Первое из ннх, 1ь будет композицией проекции р~р~рз на язяз нз точки Ч, с пРоекцией Яззз па Ч1ЧзЧз из точки Рь Очевидно, (~(р;) = Ч; для всех 1=1, 2, 3, н, кроме того, (1(1,) = 1з, где 1з = = Р|рзрз1) ЧьЧзЧз, 1з = Яззззз() ЧЯзЧз (Рис.
9) ° Рис. 9 Второе из них, Тз, будет композицией проекции рзрзрз на язяз из точки Чз с проекцией язяз иа ЧзЧзЧз из точки р,. Эта композиция пеРеводит Р1 в Чь Рз в Чз и 1з в 6з. ПосколькУ ~з и Тз одинаково действУют на тРойках точек (гь рь рз), они должны совпадать. В частности, )з(рз)=Тз(рз). Но (~(рз) = Чз.
Значит, )з(рз)=Чз. Это утверждение геометрически означает следУющее: если обозначить чеРез Я1 пеРесечеззие ЧзРз П Яззз, то прямая рзЧз проходит через я,. Но тогда я',=Ч,р () р Ч =яг Значит, я~ лежит на язя„что и требовалось доказать. 6. Классические аксиомы трехмерного проективного пространства и проективной плоскости.
Классическое трехмерное проективное пространство определяется как множество, элементы которого называются точками, снабженное двумя системами подмножеств, элементы которых называются соответственно прямыми и плоскостямн, При этом должны выполняться следующие аксиомы.
Ть Две разные точки принадлежат единственной прямой. Тз. Три разные точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат единственной цлоскостн. Т,. Прямая н плоскость имеют общую точку. Т4. Пересечение двух плоскостей содержит прямую. Тз. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости и такие, что любые три из них не лежат на одной прямой.
Тз. Каждая прямая состоит не менее чем из трех точек. Классическая проективная плоскость определяется как множество, элементы которого называются точками, снабженное системой подмножеств, элементы которой называются прямыми. При этом должны выполняться следующие аксиомы. Пь Две разные точки принадлежат единственной прямой. Пь Пересечение двух прямых непусто. Пэ Существуют три точки, не лежащие на одной прямой. Пе Каждая прямая состоит не менее чем из трех точек.
Множества Р(й), где А — линейное пространство над полем йт" размерности 4 или 3, вместе с системами проективных плоскостей и прямых в них, как они были введены выше, удовлетворяют аксиомам Т1 — Ть и П~ — П~ соответственно, что немедленно следует из стандартных свойств линейных пространств, доказанных в ч. 1. Однако не всякое классическое проективное пространство или плоскость изоморфно (в очевидном смысле слова) одному из наших пространств Р(Е).
Следующая фундаментальная конструкция дает много новых примеров. 7. Линейные и проективные пространства иад телами. Телом (или не обязательно коммутативным полем) называется ассоциативное кольцо К, множество ненулевых элементов которого образуют группу по умножению (не обязательно коммутативную). Все поля являются телами, но обратное неверно. Например, кольцо классических кватернионов является телом, но ие полем. Аддитивная группа Е вместе с бинарным законом умножения К ХЕ-~-Е: (а, 1)~-эа1 называется (левым) линейным пространством над телом К, если выполнены условия определения п.
2 $1 ч. 1. Значительная часть теории линейных пространств над полями почти без изменений переносится на линейные пространства над телами. В частности, это относится к теории размерности и базиса и теории подпространств, включая теорему о размерности пересечения.
Это позволяет построить по каждому телу К и линейному пространству Е над ним проективное пространство Р(Ь), состоящее из прямых в Е, и систему его проективных подпространств Р(М), где М~ Ь пробегает линейные надпространства разных размерностей. Когда б(т кй = 4 или 3, эти объекты удовлетворяют всем аксиомам Т| — Тг и П~ — П4 соответственно. 8. Роль теоремы Дезарга. Оказывается, однако, что существуют классические проективные плоскости, не изоморфные даже никакой плоскости вида Р(Т ), где Š— трехмерное линейное пространство над каким-нибудь телом.
Причина этого состоит в том, что в проективиых плоскостях вида Р(1) теорема Дезарга по-прежнему верна, тогда как существуют недезарговы плоскости, где она не выполняется. Сформулируем без доказательства следующий результат: 9. Теорема. Три свойства классической проективной плоскости равносильны: а) В ней выполняется плоская теорема Дезарга.
б) Ее можно вложить в классическое просктивное пространство, в) Суи(ествует линейное трехмерное пространство Е над некоторым телом К, определенныи однозначно с точностью до изоморгризиа, такое, что наша плоскость изолюрфна Р(ь). Импликация б)=ь а) устанавливается прямой проверкой того, что доказательство пространственной теоремы Дезарга использует лишь аксиомы Т~ — Т,, Импликация в) =ь- б) следует из того, что Е можно вложить в четырехмерное линейное пространство над тем же телом. Наконец,. импликация а) =ь в), являющаяся самым тонким моментом доказательства, устанавливается прямой конструкцией тела по дезарговой проективной плоскости. Именно, сначала с помощью геометрической конструкции проекций из центра вводится понятна проективного отображения проективных прямых в плоскости.
Далее, доказывается, что для двух упорядоченных троек точек, лежащих на двух прямых, существует единственное проективное отображение одной прямой в другую. Наконец, фиксируется прямая »1 с тройкой точек ры рь рь множество К определяется как Р'~(рт) с нулем рь и единицей рь и законы сложения н умножения в К вводятся геометрически с помощью проективных преобразований. В проверках аксиом тела существенно используется теорема Дезарга, в этом контексте возникающая как аксиома Дезарга Пэ 10. Роль теоремы Паппа. Даже в дезарговых плоскостях теорема Паппа может не выполняться.
Назвав соответствующее утверждение аксиомой Паапа Пь мы можем сформулировать следующую теорему, которую мы также приведем без доказательства: 11. Теорема. а) Если в классической проективной плоскости выполнена аксиома Лаппо, то плоскость является дезарговой, б) Дезаргова классическая плоскость удовлетворяет аксиоме Паппа тогда и только тогда, когда связанное с ней тело коииутативно, т. е. зта плоскость изоиоруна Р(ь), где Š— трехмерное линейное пространство над полель Дальнейшие подробности и опущенные нами доказательства читатель может найти в книге: Х а р т с х о р н Р. Основы проективной геометрии.
— Мл Мир, 1970. й 10, Кэлерова метрика 1. Если Š— унитарное линейное пространство иад С, то н» проективном пространстве Р(Ц можно ввести специальную метрику, называемую кэлеровой в честь открывшего ее важные обоб щения Э. Кэлера. Сама эта метрика была введена в прошлом веке Фубини и Штуди. Она играет особенно важную роль в комплексной алгебраической геометрии и неявно также в квантовой механике, потому что такие пространства Р(Е), как было объяснено в ч. 2, являются пространствами состояний кваитовомеханических систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
