1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Введение в алгебру, гл. 9, з 3). Если Л вЂ” градуированная Л'-алгебра, то градуированным А-модулем М мы назовем А-модуль, являющийся градуированным линейным пространством над Ж, М =®М,, и такой, что о=ь АМ, М„, для всех 1, /) О. Примеры: а) А является градуированным А-модулем.
б) Любой градуированный идеал в А является градуированным А-модулем. Если М вЂ” градуированный А-модуль, то любое градуированное подпространство И с: М, замкнутое относительно умноженяя на элементы А, само является градуированным А-модулем — подмодулем М. По любой системе однородных элементов 5 с: М можно построить порожденный ею градуированный подмодуль, состоящий из всех конечных линейных комбинаций ~, а,зь а; я А, з; е 5. Если он совпадает с М, то 5 называется однородной системой образующнх М. Модуль, имеющий конечную систему образующих, называется конечно порожденным.
Если градуированный модуль имеет какую-нибудь конечную систему образующих, то он имеет и конечную систему однородных образующих: однородные компоненты элементов исходной системы. Рассмотрение всевозможных модулей, а пе только идеалов, в нашей задаче дает болыпую свободу действий. Умножение на элементы а а=А в фактормодуле вводится формулой а (т + Й) = атп+ )у. В градуированном случае градуировка на М/»»' определяется прежней формулой (М/Ф); = М;/!чь Корректность определения проверяется тривиально. Элементы теории прямых сумм, подмодулей и фактормодулей формально не отличаются от ссютветствующих результатов для линейных пространств.
Теперь мы можем приступить к доказательству основных результатов этого параграфа. 6. Теорема. Пусть М вЂ” произвольный конечно порожденный модуль над кольцом многочленов Аиа = Ж!хь, ..., х„) от конечного числа переменных. Тогда любой подмодуль !Ус М конечно порожден. Доказательство. Мы разобьем его на несколько шагов. Стандартная терминология: модуль, каждьш подмодуль которого конечно порожден, называется нетеровым (в честь Эмми Нетер ). а) Модуль М негерое тогда и только тогда, когда любая бесконечная цепочка возрастающих подмодулей М~ с: М» с: ... в М стабилизируется: существует такое аь, что М, = М,+1 для всех а ~ а», Э В самом деле, пусть М петеров. Положим !т'= ! ! М,. Пусть 1=! пь ..., и» вЂ” конечная система образующих в !У. Для каждого ! «! «к существует ((!) такой, что п~ ~ Мкп. Положим аь = »пах(г(!) )!'= 1, ..., к).
Тогда М, содержит пь ..., и» для всех а ) аа и потому М = )ч'. Наоборот, пусть любая возрастающая цепочка подмодулей в М обрывается. Будем строить систему образующих подмодуля !ч' с: М индуктивно: в качестве п~ ~ )У возьмем любой элемент; если пь ..., и; е- =)У уже построены, обозначим через М; с )ч' порожденный ими подмодуль и при ИФМ; выберем и;+, из Ф~,Мь Этот процесс оборвется через конечное число шагов, иначе цепочка М, с ... с: М;~ ... не стабилизировалась бы. б) Если подмодуль !»'с: М нйтеров и фактормодуль М/)У нйтеров, то М негерое; верно и обратное. Действительно, пусть М> ~ М, ~... — цепочка подмодулей в М. Пусть аь таково, что обе цепочки М> 1) 1>> с М, 1) Ж с ... и (М>+ 1>1)1У с(Мт+ Ф)/Фс ... стабилизиРУютсЯ пРи а ) а>ь Тогда и цепочка М>с:М2с:....
стабилизируется при а = ао. Обратное утверждение очевидно. в) Прямая сумма конечного числа нетеровых модулей нйтерова. л Действительно, пусть М = ® М>, М> нетеровы. Проведем >=и индукци>о по н. Случай п = 1 очевиден. При и ~ 2 модуль М содержит подмодуль, изоморфный М„, с фактором, изоморфным л-> ® М,.
Оба этих модуля нетеровы, так что М петеров в силу 6). >-о г) Кольцо Аы> нйтерово как модуль над самим собой. Иными словами, любой идеал в Аы> конечно порожден. Это — основной частный случай теоремы, установленный впервые Гильбертом.
Доказывается он индукцией по и. Случай и = — 1, т. е А<-» =д1', очевиден, В самом деле, любой идеал ! в поле тс совпадает либо с (0), либо с Л': если аев1, а чн О, то Ь = =(Ьа->)а ~! для всех Ь е=,й. Индуктивный шаг основан на рассмотрении А("> как Аы-»>х,). Пусть Р">с: Аы> — идеал. Представим каждый элемент из 1<"> как многочлен по степеням х„с коэффициентами из Аы — '>. Множество всех стари>пх коэффициентов таких многочленов есть идеал Р" — '> в А("-и. По предположению индукции он имеет конечное число образующих >р>, ..., Ч> . К каждой образующей >р> подберем элемент 1>=Ч>>с~>+...
из 1<">, где многоточием обозначены члены низших степеней по х.. Положим й >пах (а>). Многочлены 1>, ..., 1 порождают в А<"> некото>«'т рый идеал 1с: 1ы>. Пусть теперь 1=у>х'+(члены низших степеней) — любой элемент нз 1ь'>. По определению <ренР"-'>, так что >р = а»р>+ ...
... +а„,ч> . Если з -ь й, то многочлен 1 — ~~' а>1>х' ' принадлежит Р"> и его степень ~ з. Действуя аналогичным образом, получим в результате выражение 1= у+ Ь, где Ь в=1, а й — многочлен пз Вк> степени, меньшей й. Все многочлены из 1ы> степени ~ й образуют подмодуль Х в А< '>-модуле, порожденном конечной системой (1, х„, ..., х'„'-'). В соответствии с предположением индукции о нетеровости Аы-П и с утверждением в) подмодуль 1 конечно порожден.
Мы доказали, что Р"> = 1+ 1 — сумма двух конечно порожденных модулей. Поэтому идеал Р"> конечно порожден. Теперь мы можем без труда завершить доказательство теоремы. Пусть модуль М над А< "> имеет конечное число образующих о»..., ... щм Тогда имеется с>оръективный гомоморфизм Аы>-модулей АсмУ Я А(л> ь М. (г 1 ) 3 > ь раз Модуль Аив Ю .„ЮАив петеров в силу г) и в). Следовательно (см. б) ), его фактормодуль М петеров.
7. Следствие. Любая бесконечная система уравнений Р; = О, ( ~ 5, где Р; — многочлены в Аоь, эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Доказательство. Пусть ! — идеал, порожденный всеми Рь Он имеет конечную систему образующих (О!). Рассмотрим такое конечное подмножество Бе~5, что все 6, линейно выражаьотся через Рь !еяВь.
Тогда система уравнений Р~=О, !е=Яь эквивалентна исходной, т. е. имеет то же самое множество решений. 8. Многочлены Гильберта и ряд Пуанкаре градуированного модуля. Пусть теперь М вЂ” градуированный конечно порожденный модуль над кольцом А~">. Тогда все линейные пространства Мхс:М конечномерны над Л'. Действительно, если (а;) — однородный Л'-базис Аь"~+ ..
+ Ах' и (т!) — конечная система образующих М, то М, как линейное пространство порождено конечным числом элементов а;гп! с йеца;+ цейт!=й. Положим аь(М) = о)тМь Формальный степенной ряд от переменной ! Н (!)=~ йь(М)!' называется рядом Пуанкаре модуля М. 9. Теорема. а) В условиях предыдущего пункта существует такой многочлен !(!) с целыл!и коэффициентах и, что Нм (!) = ! (!) П !)н ы ' б) В тех эке условиях существует такой многочлен Р(к) с рациональнььми коэффициентами и такое число У, что йь(М)=Р(й) для всех й) № Доказательство.
Выведем сначала второе утверждение из первого. Положим 7(!)= ~ а;!' и прираваяем коэффициенты при ь=ь (ь в правой и левой частях тождества Н (!) ! (!) (( !)- [и+и Получим, учитывая, что (1 — !)-ы+и лт ( )!: т тп+ьх ь, ь-о пьым, н1 й„(М) ~~ а, ( ). з-ь При й р: й! выражение справа есть многочлен от й с рациональными коэффициентами. Теперь нндукцией по л докажем утверждение а).
Удобно положить А' "=)~= А>р ", А>> "=(0) для 1) 1. Конечно порожденный градуированный модуль над А> '> — это просто конечномерное векторное пространство над Л', представленное в виде прямой суммы К Мь. Его ряд Пуанкаре есть многочлен ~ дипМьг~, так йь> ь р что результат тривиально верен. Пусть тепсрь он доказан для А>л — '>, л ) О; установим его для А<л>. Пусть М вЂ” конечно порожденный градуированный модуль над А>л>.
Положим К = (т еа М > х„>л = О), С = М,к'х„М. Очевидно, К и х„М суть градуированные подмодули М; поэтому С также имеет структуру градуированного А>л>-модуля. Но умножение на х„аннулирует как К, так н С. Поэтому, если мы рассмотрим К и С как модули над подкольцом А<л-» = Ж(х», ..., х„>)~ с:А<л>=Л'1хм ..., х4, то любая система образующих для них над А<"> будет в то же время системой образующих над А>'-». По теореме п. 6 К конечно порожден над А>л> как подмодуль конечно порожденного модуля. С другой стороны, С конечно порожден над А>л>, потому что если т>, ..., тр порождают М, то т, +х„М, ...
..., тр+х„М порождают С. Следовательно, К и С конечно порождены над А<"-», и к ним применимо индуктивное предположение. Из точных последовательностей линейных пространств над Я: хл 0 — «К — «М,„— «М,„+> — > С„,+> — «О, т~~О, следует, что д1>пМ +,— д)щМ =д(п>С +,— д(щК .
Умножив это равенство на 1 +' и просуммировав по т от 0 до оо, получим Нм (1) — аппп Мр 1Нм (Г) = Нс (1) — б(п> Са 1Нк (1), или по индуктивному предположению для К и С 1с (г) ~(к (~) (1 — 1) Нм (Г) = Й1>п М» — аппп Ср+ Ол (> >)л где 1 (1) и 1 (г) — мпогочлены с целыми коэффициентами. Очевидно, отсюда следует требуемое. 1О. Размерность и степень алгебраического многообразия. Пусть теперь У с: Р" — некоторое алгебраическое многообразие, которому отвечает идеал 1Я). Рассмотрим многочлен Гильберта Р,(л) фактормодуля А<л>/1(У): Рр(й)=б(>пАьм~1ьЯ) для всех й= й». Нетрудно видеть, что РрлЯ=~" ), так что беиР л(й)= гл+л и. Поэтому реп Рр(л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
