1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Таким образом, наши тензорные конструкции $2 обобщают конструкции части 2 д) Приведем еще один пример: структурный тензор а"-алгебры. Здесь мы будем понимать под Я'-алгеброй линейное пространство Е вместе с билинейной операцией умножения Е ХŠ— хЕ: (1, т)г. -х-1п>, ие обязательно коммутативной или даже ассоциативной, так что, например, алгебры Ли подходят под это апреле.тение. Согласно утверждеяию б) теоремы п. 3 $1 умножение можно определить также как линейное отображе)>не Е ЗŠ— ~-Е. В и. 5 ~ 2 мы отождествили пространство 2'(ЕЗЕ, Е) с (ЕЗЕ)" ЗЕ нли, пользуясь еще п. 4 $2 и ассоциативностью, с Е*ЗЕ З Е.
Следовательно, задать на пространстве Е структуру Л!'-алгебры— это все равно, что задать на нем тензор типа (2,1), называе- мый стрркг1>рнии тензорои этой алгебры. 2, Тензорное умножение. В соответствии с п. 4 ~ 2 мы ма>кем отождествить пространство Тр(Е) с (Е~Р З (Е )~Р)* и затем с про- странством полилинейных отображений р л х. ° . х р х р' х ... х р рр. два таких полилинейных отображения типа (р, д) и (р', ч') можно тензорно перемножить, получив в результате полилннейное отобрагкение типа (р+ р', д+ 4'): () З а) (Еп ..., 1„; 1ь ..., (р,' 11, ..., 1, „'1~, ..., 1 ) = =1((ь ", (р; 1'* " (ч")й(1' ". 1'" 1'*." 13 где (ь 1>ен Е, (ь 1~*си Е.
Из этого определения сразу же видна билинейиость тензорного умножения по его аргументам: (а), +Ьгз) З Т= — а(11З К)+ Ь(г> З д). г З (ап, + Ьдг)=а0 З д1)+ Ь(( З д~), а также его ассоциативность ИЗй)ЗН=)З(аЗЬ). Однако опо не коммутативио: ) Зп, вообще говоря, не совпадает саЗЕ Если не переходить к интерпретации тензоров как полилинсйных отобра>кений, то тензорное умножение можно определить с помошу ю операций перестановки п.
3 $2, с учетом ассоцнатиппости„ как отображение ),: Е З . ЗЕ" ЗЕЗ. ЗЕЗЕ'З ...ЗЕ*ЗЕЗ ...ЗЕ— р р' -+Е" З . З Е" ЗЕЭ .. ЗЕ* р+р' 6+Ч' где о переставляет третью группу из р' индексов на места после первой группы из р индексов, сохраняя их относительный порядок и относительный порядок остальных индексов. В этом варианте билинейность тензорного умножения столь гке очевидна, а его ассоциативность превращается в некоторое тождество между подстановками, которое читателю легче увидеть самому, чем следить за длинными, но банальными объяснениями.
3. Тензорная алгебра пространства Е. Положим Т (Е) = Я Тр (Е) и. ю (прямая сумма линейных пространств). Это бесконечномерное пространство вместе с операцией тензорного умножения в нем, определенной в предыдущем пункте, называется тензорной алгеброй пространства Е. Заметим, что над полем комплексных чисел бывает важно рассматривать расширенную тензорную алгебру, являющуюся прямой суммой пространств Е~' ЗЕ*~' З Е~~ З Е ~" .
Например, полуторалинейная форма на Е как тензор лежит в Е*ЗЕ*. По недостатку места мы не будем систематически изучать эту конструкцию. й 4. Классические обозначения 1. В классическом тензорном анализе тензорный формализм описывается в координатных обозначениях. Ими и сейчас широко пользуются в физической и геометрической литературе, и этому языку следует отдать должное: он компактен и гибок. В этом параграфе мы введем его и пока>кем, как выражаются на нем различные конструкции, описанные выше. 2. Вазисы и координаты.
Пусть Š— конечномерное линейное пространство. Выберем в нем базис (е„..., е,) и будем задавать л векторы Е их координатами (а', ..., а") в этом базисе; ) а'е,. 1 -1 В Е* выберем двойственный базис(е',..., е"), (е', е ) =Ь' = 0 при (Ф!'; ! при !=), и векторы из Е" будем задавать координатами (Ьь ..., Ь„).
~ Ь!еЕ Расположение индексов в обоих слу/ ! чаях выбирается так, чтобы в суммировании участвовали пары одинаковых индексов. один из которых находится наверху, другой внизу. В Е' ЯЗ Е~ ~ построим тензорное произведение рассмотренных базисов (ге" З ... З е'г З ей З ... З е~ ~ ! <гь(и, ! <)~ -п~. Любой тензор Т~ Т~ (ь) задается в нем своими координатами Тй -!'. й" ~р' Т= ~„Т~' "''.«е" З ... Э е'» Э ег З ... З ел . Ю, ... а, д Заметим, что суммирование здесь снова распространено иа пары одинаковых индексов, один из которых верхний, другой — нижний.
Это настолько характерная черта классического формализма, что зачастую принимается соглашение опускать знак суммы во всех случаях, когда подразумевается такое суммирование. В частности, при этом соглашении векторы из 1. записываются в виде ален а функционалы в виде Ьсе'. Скалярное произведение между 1.* и Т., т. е. значение функционала Ь|е' на векторе аахен запишется а'Ь; или Ь;а'. Более того, можно пойти еще дальше по этому пути экономии и не писать сами векторы е; и е'.
Тогда элементы Т. записываются в виде а~, элементы Т.* — в ниде Ьн а общий тензор Т ~ Т»«(А)— в виде Т~ "'~«. Иными словами, в классической записи тензора Т явно указаньк координаты, или компоненты Т в тензорном базисе л.* ~ З г. ", пронумерованные как элементы тензорного базиса; номера являются сложными индексами; ковариантная часть индекса (й,..., 1») пишется внизу, а контравариантная (1„...,1„)— наверху; подразутневается: выбор исходного базиса (еь ..., е„) в Т., по которому строится двойственный базис (е', ..., е") в 1.' и затем тензорные базисы во всех пространствах Т,"Я. Иногда удобно рассматривать тензоры, лежащие в пространствах, где семион'нтели 1.
и Т.* расположены в ином порядке, чем принятый нами, например, А ЭТ." вместо Т."З Т., или 1. З Ь* З Э А З Т. Указание на это делается с помощью «блочного расположения» сложных индексов у координат тензора. Например, тензор ТенТ.ЭТ" можно задавать компонентами, которые обозначаются Ть а Т ен Т.ЭТ.*Э 1. ЗА — компонентами Т й С2гз 3.
Некоторые важные тензоры. К ним относятся: а) Метрический тензор п,ь Согласно нашим обозначениям он лежит в Т,"(Ц и в силу г) п. 1 $ 3 может представлять скалярное произведение на Т.. Его значение на паре векторов а', Ь! равно д, алЬ' или просто упа'Ьл. Таким образом, компоненты метрического тензора — это элементы матрицы Трама исходного базиса л. относительно соответствующего скалярного произведения.
б) Матрица Лр Это — элемент Т~ (Ц, т. е., в силу в) п. 1 Ч 3, линейное отображение Т, в себя. Оно переводит вектор ал в вектор с ~'-й координатой ~, Лгал или просто Лга . Тензор валентности р+ а можно представлять себе в виде «р+ а-мерной матрицы», обычные матрицы плоские. в) Тензор Кронекера Ьс. Это элемент Т, (Е), представляющий тождественное отобрагкепие Е в себя. г) Структурньсй тензор алгебры.
Согласно д) и, 1 $ 3 осс лежит 1 г в Тг(Е) и потому записывается покомпонентио в виде уи Он задает билинейное умножение в Е по формуле а' Ьс = сь = у". а'Ь!. и ПолнаЯ запись: (), а'е) (Е, Ьсе,.) = ~~' (~„Уссасбс) ел 4. Преобразование компонент теизора при замене базиса в Е. Пусть А' — матрица заглены базиса в Е: е„'=А'е,.; В' — матрица перехода от базиса (ел), двойственного (ел), к базису (е'л), двойственному (ег).
Нетрудно убедиться, что В=(А'»: эту матрицу называют контраградиентной к А. Координаты аи в базисе (еД вектора, первоначально заданного кооРдинатами а' в базисе (е ), бУдУт Вслаь. Аналогично, кооРдинаты Ьс в базисе (еп) фУнкционала (или чковектора»), первоначально заданного координатами Ьс в базисе (е') будут ЛЬЬ„. Чтобы найти координаты Т' ''" ч в штрихованием тензорном базисе тензора, первоначально заданного координатами Тсс "' с' дос ''' р статочно теперь заметить, что они преобразуются так же, как координаты тензорного произведения д-векторов и р-ковекторов, т.
е. Т' " сл=А' ... АМ ... В'чт" "'Р. Не забывайте, что справа подразумевается суммирование по парам одинаковых индексов. В классическом излогкении эту формулу кладут в основу определения тензоров. Именно, тензором типа (р, 4) на п-лсерном пространстве назывивт отображение Т, которое каждолсу базису Е ставит в соответствие семейство из пР+' компонент — скалЯРов Тл "'сч, пРичем тас ... 1 ц" ',у' ийе, что при замене базиса посредством лсатрииьс А замена компонент тензора происходит по выписанным высие с»горлсулалс. 6. Тензорные конструкции в координатах. а) Линейньсе комбинаиии тензоров одинакового типа. Здесь формулы очевидны: (аТ+ ЬТ') ' "'.я=аТ '"' Л+ ЬТ с' '" (ч. '1" ср '!" ср Сс" ср' б) Тензорное улсножение.
Согласно определению в п. 2 $ 3 (Т®Т)'с-.М- ' =Тй —."Т'с'-'!'. "срсс "ср' сс "' ср сс '" ссс В частности, разложимый тензор имеет компоненты Ть ... Т!,Тд... -.. Т». в) Перестановки. Пусть о — перестановка индексов 1,..., р, т— перестановка индексов 1, ..., д; !,: Т'(Ц- Т'(Т) — линейное отображение, отвечающее этим перестановкам, как в п. 3 й 2, Тогда для любого Т ев Т~~(Ц имеем (Т)1й "'~»= Т» ~о>,» '!»!. » ! Е! !Р ! 3п! — !!) г) Свертка. Пусть а ен (1, ..., р), Ь ~ (1, ..., д). Как в п. 8 $2, имеется отображение Т»»(Ц вЂ” !-Т':! (Е), «уничтожающее> а-й множитель !'." и Ь-й множитель Е с помощью отображения свертки Е* З Е вЂ” Л', которое является обычным скалярным произведением векторов и функционалов: (Ь!)З(а!)!-э Ь;а'. Поэтому, обозначая через Т' тензор Т, свернутый по паре индексов (а-й нижний, Ь-й верхний), получаем Т'! ".!ь-!!ь+!" г»=Тг! "!ь- мь+ - !» ...
!» !!»,, ... !р !, ... !» !»!»» ! ...!р (справа суммирование по Ь). Итсрируя эту конструкцию, получим определение свертки по нескольким парам индексов. Мы уже убедились, что многие формулы тензорной алгебры пишутся в терминах тензорного умножения и последующей свертки по одной или нескольким парам индексов. Повторим их для закрепления: й!!а!Ь! — свертка ((д!!) З (аь) З (Ь')).
Скалярное произведение: Ь!а! — свертка ((Ь,) З (а!)). Координаты тензора в новом базисе, или, с «активной точки зрения», образ тензора при линейном преобразовании основного про. странства: Т,! "' !!» — свертка ((Л З ... З А) З (В З ... З И З Т). Умножение в алгебре: а! Ь' — свертка ((структурный тензор) З (а!) З (Ьц:. Еще один пример — умножение матриц: (Л')(В'„')=(А!В') — свертка (А, 'З В!). Еще раз напомним, что для полного определения свертки следует указать, по каким индексам она производится; в приведенных примерах это либо очевидно, либо ясно из приведенных ранее полных формул. В общем, можно сказать, что операпия свертке в классическом языке тензорной алгебры играет такую же упифициру!о!цую роль, как операция умножения матриц в языке линейной алгебры.
В $ 4 ч. 1 мы подчеркивали, что теоретико-множественные операции разной природы единообразно описываются с помощью матричного умножения, К тензорной алгебре и свертке, скомбинированной с тензорным умножением, это замечание применимо в еще большей мере. д) Подъем и опускание индексов. Согласно определению в разделе в) п. 8 5 2 подъем а-го индекса и опускание Ь-го индекса— это линейныс отображения Т',(й)- Т',",Д, Т',®- Т',+',(Т.), которые ипдуцируются некоторыми изоморфизмами йе Л вЂ” Т.
или у-'. г,-+-Т.": следует «заменить» в произведении Т.' ~З г'.~«а-й множитель А" на Т. или соответственно Ь-й множитель Т. на Л*, В соответствии с соглашениями в конце п. 2 этого параграфа компоненты полученных теизоров следует записывать в виде Т.. '1 . ~ 4, Т! ! !'"' ь-1 ь+1'" ю. ' " !«- !«+ " !л ' " !л !ь Если условиться применять после отображения подьема (спуска) индекса отображение перестановки, перегоняющее новый сомножитель Т. направо, а Л* налево, пока он ие станет соседствовать со старыми сомножителями, то можно сохранить прежний вид записи компонент. Как мы уже упоминали, изоморфизмы д: Т."- Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
