1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Как н там, мы предполагаем пока, что характеристика поля скаляров не делит ф. Проектор А будет называться ангисимметризацией илн альгернированигм. В классических обозначениях вместо А(Т) пишут Т1'- "1. 2. Предложение. )Толорким А= — ~~ г(п)1: Тр Я-»Т~~Я. «~з Тогда Аз = А и 1гп А = Л«(А). Доказательство. Прежде всего проверим, что результат альтернирования всякого тензора кососнмметричен. Действительно, поскольку 1« и е(а) мультипликативны по а и е(а)« = 1, имеем с(Ат)-с(~ г н~,«))=+ г' рт (д= «ыз / ',ИЯ = е(а) — ~ е (от) ( (Т) е (а) АТ. «аз Далее, А является проектором, потому что Аз= 1,, ~~ е(ат)) = —, ~ е(р)г'р — — А.
О,«ЮЯ ряз Действительно, любой злемент реп Я«ровно 4 способами можно представить в виде произведения ат: а выберем любым, т находим из равенства т = а-'р. Отсюда, как в предложении п. 1 3 5, следует, что 1гпА = Л«(Е). 3. Пусть (еь ..., в,) — базис пространства й. Тогда разложимые тензорые,, Э ... ®в~ образуют базис Т«(1), а их антисимметризации А(е;, З ... ® г, ) порождают Л«(А). Введем обозначение А(ей ® . ~3ес,)=гй Л .- Ле~ (значок Л называется символом «внешнего умножения»1.
Заметим теперь, что в отличие от симметрического случая перестановка любых двух векторов в е, Л ... Л е, меняет знак 1 этого произведения, ибо зтот тензор антнсимметричен. Отсюда следуют два вывода: а) е; Л ... Л е~ =О, если 1, = Гь для некоторых а, б, при 1 д условии, что сваг я" Ф 2. б) Пространство Лч(Е) порождено тензорами вида е~ Л ... ... Л е;, где 1 = й (1ч~ ... ~ 1ч ~п. Отсюда, в частности, сразу же следует, что Л'"(Е) = О при т ) п = й(т Е. Следующий результат параллелен предложению п.
4 й 5. 4. Предложение. Тензоры ец Л ... Л е~ енЛ" (Е) при д~~п, 1 ~ 1, < 1, < ....С 1ч < и обРазУют базис пРостРанства Лч(Е). Д о к а з а те л ь с т в о. Нужно только проверить, что зти тензоры линейно независимы в ТЯЕ) Если ~ сц ... с,ец Л .. Л ес =О, А Ц„ей ...
ю,ец Э ° ° Э ес ) = О. то Но так как среди индексов й, ..., 1, нет одинаковых и они расположены в порядке возрастания, в результате их перестановок мы получим в сумме слева линейную комбинацию различных элементов тензорного базиса Ть (Е) с коэффициентами вида ~ — сс ч ! с! "д Эта сумма может быть равна нулю, только если все с; ...; нулевые. 6. Следствие. тПгпЛч(Е)= ~"), б(т ®Л'(Е)=2". ч д-О ь 6. Положим Л(Е) =ЯЛ~(Е). По аналогии с симметрическим ч-ь случаем введем на пространстве антисимметрических тензоров операцию внешнего умножения и покажем, гго она превращает Л(Е) в ассоциативную алгебру, называемую внешней алгеброй, или алгеброй Грассмана, пространства Е.
7. Предложение. Билинейная операция Т Л Т,= А(Т~ З Т )' Т, ы Л~(Е), Т ен Л~(Е), на Л(Е) ассоциативна, Т, Л Таф Еь+ч(Е), и Т2 ЛТ, ( — 1)ьчТ~ Л Тз (зто свойство иногда называют косокоммутативностью). !А В частности, подпространство Л+ (Е) = ® Лчч (Е) является д-О центральной подалгеброй Л(Е). Док аз а тельство.
По аналогии с симметричным случаем проверим сначала, что для всех Т~ жТь(Е), Тз ив Ть (Е) имеют ме- сто формулы А(А(Тз) Э Тг)= А(Т~ З А(Тг)) =А(Т, З Т,). В самом деле, А (Т,) З Т,= —, ~ е(п) Х, (Т ) З Т„ откуда А(А(Т~) З Тг)= ~ е(п) А(Хр(Т~) З Тг). р ~Б Бр Рассмотрим вложение Яр — рБр+з, п~ — рй, где ('о(1) при 1(1<р, б(1) = 1 1,з при 1> р.
Очевидно, ~,(Тз) Э Тг=Ь(Т~ З Тг), кроме того, А и Ь коммутнрует, так что АХз (Т~ Э Тг) =- ХзА (Т~ З Тз) = е (6) А (Т~ Э Тг) = е (о) А (Т1 З Тг). Поэтому А(А(Т,) З Тг)= — ~~~~ ег(сг) А(Т, ЗТ,) =А(Т~ Э Т~. амз Аналогично доказывается второе равенство. Теперь ассоциативность внешнего умножения можно проверить так же, как в симметричном случае: (Т1 Л Т,) Л Тз = А (А (Т1 Э Тг) З Тз) = А (Т~ З Т, З Т,), Тц Л (Тг Л Тз) = А (Т~ Э А (Тг З Тз)) = А (Тз З Тг Э Тз). Равенство А(Т~ ЗТ ) =( — 1)~~ А(Тг З Т~) при Т1 ен Тз (Х), ТгеяТо(Х) следует из того, что ТгЗ Т, = ),(Т, З Тг), где и — перестановка, являющаяся произведением рд транспозиций: сомножители Тг следует по очереди переводить левее Т,, меняя их местами с левыми соседями из Т,. 8.
Второе определение внешней алгебры. Как и в симметрическом случае, принятое нами определение внешней алгебры страдает тем недостатком, что оно требует деления на факториалы. Второе определение, избавленное от этого недостатка и реализующее Л(Х.) как факторпространство, а не подпространство Тз(Х.), строится в полной аналогии с симметричным случаем. Рассмотрим двусторонний идеал Х в алгебре Тз(Х.), порожденный всеми элементами вида Т вЂ” е(п)~,(Т), Т~ТзрЯ, изнар, р=1, 2, 3, С Нетрудно убедиться, что Х = ЯХ~, где Х~=Х()Тз (Х.), т. е.
это р-з градуированный идеал. Положим Л(Е) = То(Е)/1 как фактор- пространство. Тогда Л (Ц = Д Л'(1.), Л (1.) = Т,'а)11л. р-о Поскольку 1 — идеал, в Л(1.) можно ввести умножение по формуле (Т!+1) Л (То+1)=Т! Это+1. Оно билинейно и ассоциативно, так как это верно для тензорного УмножениЯ. КРоме того, оио косокоммУтативно, ибо дла Т! ен Тол (1.), Таян Тоо(1,) имеем Т! 3 То — ( — 1)ооТо® Т, ен1.
Нетрудно убедиться, что построенная таким образом алгебра изоморфна алгебре Клиффорда пространства 1. с нулевым скаярныл! произведением, введенной в з !5 ч. 2. Действительно, отображение а: 1.— «Л(Е), а(1) = 1+1, удовлетворяет условию а(1)о= =а(1) Ла(1)=0 для всех 1, ибо а(1)Л а(1) = — а(1)Ло(1). Поэтому по теореме п. 2 $15 ч. 2, существует единый гомоморфизм .лл-алгебр С(Ц вЂ” «Л(1) такой, что а совпадает с композицией о 1, — С(1,) — Л (Е,), где р — каноническое отображение.
Поскольку 1, порождает Т,(1) как алгебру, а(Е) порождает Л(1.), так что С(1.)-«Л(1.) сюръективен. Мы знаем, гго б)гпС(Ь)=2". Поэтому для проверки того, что это изоморфизм, достаточно убедиться, что д(шЛ(1.) = 2". Это можно сделать, установив, что базис Ло(5) образует элементы вида е!, Л ... Л е;, 1(1! ~ ... (1 (к, где (еь ..., е„) — базис 1..
Эту проверку мы опустим. Как и в симметричном случае, если характеристика Л' равна нулю, сквозное отображение Л(1.)-«Т.(1.)- ЛЯ также является изоморфизмом алгебр, сохраняющим градуировку. Поскольку Л(1,) определена в более общей ситуации, для алгебраических нужд внешнюю алгебру вводят именно таким способом. В приложениях к дифференциальной геометрии или анализу, где Л'= й или С, можно пользоваться нашим исходным определением. 9. Внешнее умножение и определители.
Пусть 1. — и-мерное пространство. Согласно следствию п. 5 пространство Л"(1,) одномерно: это максимальная ненулевая внешняя степень 1.. Согласно п. 7 $ 2 любой эндоморфизм ): Е-«1. индуцирует эндоморфизмы тензорных степеней 1"=1 !3 ... Е1 Т'(1.)- Т'Я. Легка убедиться, что 1'~ коммутирует с оператором альтернирования А и потому переводит Лл(Е) в Ло(Е). Ограничение ~во иа Лг(Е) естественно обозначить | г- В частности, при р = н отобраЛг жение (~": Л" (Е)-+-Л" (Е) должно быть умножением па скаляр г((~), ибо Л" (Е) одномерно.
1О. Теорема. В онисанных обозначениях г((1) = де1 (. Доказательство. Выберем базис еь ..., в, пространства Ь и зададим ( матрицей в этом базисе: 1 (е ) = ~~', а'ег Внешнее произведение е1 Л ... Л е„является базисом Л"(Ь), и число Щ) находится из равенства Т~ "(е, Л ... Л е„)=г(())е, Л ... Л е„. Но 1~ "(е, Л ... Л е„) = А () (е) Э... 9 ((вь)) = ((е) Л ... Л ((е„) = -(е 4.,) л ...
л(е.„',) 'л Согласно таблице умножения во внешней алгебре а'е, Ла~' е, Л ... Ла' е, = е(о) а",... а„' е, Л ... Л е„, если ((о ..., Е,,') = (1,..., и), о ь О в остальных случаях, где о — перестановка, переводящая 4 в я, 1( й = и. Поэтому полная сумма коэффициентов е(о)а,' ... а„" совпадает со стандартной формулой для определителя бе1 (а'), что завершает доказательство. 11.
Следствие. Векторы е'„ ..., е'„ен.(,линейно зависимы тогда и только тогда, когда е', Л ... Л е'„ = О. Действительно, пусть 1: Š— ~- й — - эндоморфизм, переводящий е,. в еп где (е„..., е„) — некоторый базис й. Тогда линейная зависимость (е,'.) равносильна тому, что бе1 ( = О, т. е. е', Л... Л е,', = = О. 12. Разложимые р-векторы. Элементы Т ен Лг(Е) принято называть р-векторами. Назовем р-вектор Т разложимым, если существуют такие векторы гь ..., е„~Ь, что Т= е, Л ... Ле. Для любого р-вектора Т назовем его аннулятором множество АппТ=(е~Е)е Л Т=О).
Очевидно, Апп Т ивляется подпространством в Е. 13. Теорема. Пусть Ть Т,— разлогкимые р-вектор и у-вектор соответственно, Е1, Ег — их аннуляторы. Тогда в) !.~ -> ~г в том и только а том случае, когда Т, делится на Тэ, т. е. Т, = Т Л Т, для некоторого Т~ Ар >(/). б) Е! П Ег = (О) в том и только в тол! случае, когда Т! Л Т! чь О. в) Если 1.,()Ег — — (О), то Е!+ Ег=Апп(Т! Л Тэ). Доказательство. а) Если кЛТэ — — О, то хЛ(ТЛ Тг)'= д-ТЛ(х Л Тг) = О, так что из делимости Т! на Т, следует, что ЕгсЕ!. Для доказательства обратного утверждения вычислим аннулятор р-вектора е! Л ... Л ер. Если еь ..., ер линейно зависимы, то один из векторов еь скажем е!, линейно выражается через остальные, и тогда Будем считать, что е, Л ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
