1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 67
Текст из файла (страница 67)
На алгебраическом языке это означает, что множество всех векторных полей Т в связной области (/ является свободным модулем ранга и над коммутатнвным ассоциативным кольцом С бесконечно дифференцяруемых функций на К Свободные модули конечного ранга над коммутативными кольцами образую~ категорию„по своим свойствам чрезвычайно близкую к категории коиечномерных пространств над полем. Для них, в частности, проходит вся теория двойственности и все конструкции тензорной алгебры из этой части курса.
Другой вариант, не требующий переноса тензорной алгебры на кольца и модули, но взамен предполагающий развитие некоторой геометрической техники, состоит в том, чтобы рассматривать каждое векторное поле Х как семейство векторов (Х ~1а ея Ц, лежащих в семействе конечномерных пространств (Т,). Тогда все нужные нам операции тензорной алгебры можно строить «поточечно», определив, скажем, Х В У как (Х, В У,1а ен У). Оба варианта построения тензорной алгебры совершенно эквивалентны; в приводимых ниже определениях мы будем исходить из первого. 7. Обозначим через Т' С-модуль С-линейных отображений Т'=~с(Т, С). Он состоит из отображений ы.
Я-+ С со свойством для всех Х; ев Т, р' е=- С. Сложение и умножение на элементы про изводится по стандартным формулам. С-модуль Т' часто обозначается Пт или Й'(У) и называется модулем (дифференциальных) 1-форм в области К Каждая функция ) ев С определяет элемент й1 еи й' по формуле (Н))(Х)=Х~, Х~Т. Он назь|вается дифференциалом функции 1. В частности, мы можем построить дифференциалы координатных функций йх', ..., йх" ев ы И'. Из теоремы и. 5 легко следует 8. Предложение.
Любая 1-форма в~ й' однозначно представ« ляется в виде линейной комбинации ~ ~~ йх'. ! ! 9. Элементы тензорного произведения С-модулей ГВ... ЗГЗТ З ... ЗТ называются твнворными полями типа Р Ч (р, о), или р раз ковариантиыми и о раз контраварнантными тензорными полями в области К В дифференциальной геометрии, впрочем, слово «поля» часто опускают и называют тензорные поля просто тензорами. Из теоремы п. 5 и предложения п. 8 следует, что всякий тензор типа (р, д) однозначно задается своими компонентами ТЦ-'«по ц ... Ф„ формуле Т=УТч"'Яйхь З...Вй» З ~ В...В л- ц -'» дхц вл~« ' где 1м 1! независимо пробегают значения от 1 до и.
В классических обозначениях опускаются все символы в правой части, кроме компонент Т!' "' !«: этот знак и служит обозначением теизора. Подчеркнем еще раз, что здесь Т!' "' ~ч суть ие числа, а вещественные бесконечно дифференцируемые функции на К !О.Замена координат. Первый вклад анализа в изучение теизорных полей состоит в возможности делать нелинейные замены координатных функций в 0: переходить от х', ..., х" к у', ..., у", где у'= у!(х', ..., х") — бесконечно дифференцируемые функции такие, что обратные функции х!=х!(у!, ..., у") определены и бесконечно диффереицируемы. Дело в том, что компоненты векторных полей и 1-форм при этом все равно преобразуются по классическим формулам линейно, только с коэффициентами, изменяющимися от точки к точке: согласно формуле дифференцироваиия сложной фувкции имеем д дух д (справа подразумевается суммирование по й), а также (х1= — '", (у' дух (то же соглашение).
Поэтому тензор Т!' "' ч в новых координатах ! ... ! имеет компоненты !~ ! !ф (Т~)!" ч Т!" Р !'...Т дх' дхР ду дуч ! ...! !!' ' Т ду ду ч д» дхч (то же соглашение с суммированием справа). Все алгебраические конструкции и языковые соглашения $4 можно теперь перенести иа теизориые паля. Мы закончим этот параграф несколькими примерами тензориых полей, играющих особенно важную роль в геометрии и физике. 11. ййетрический теизор. Этот теизар, обозначаемый д!! или, в более полной записи, ~ у!! г(х' ® с(х~, предполагается симме- 1,! 1 тричным и невырожденным в каждой точке ае=ь!, т. е. Йе((дп (а) ) ~ чьО.
Оп задает ортогональную структуру в каждом касательном пространстве Т,, и пары (!.!, у!!) (а также обобщения на случай миогообразий, чсклсениых» из нескольких областей (!) составляют основной объект изучения римановой геометрии, а в случае и = 4 и метрики сигнатуры (1, 3) — общей теории отиосительиости.
Метрика используется для измерения длин дифференцируемых кривых (х!(11, ..., х"(!)~1с(1(1!)! длина задается формулой а ~,/ дх1 дх1 ')/дп(х (1)) — — йй а также для поднятия и опускания пни дексов тензорных полей. 12. Внешние формы и форма объема. Элементы из ЛР(01). т. е. кососимметрические тензоры тина (р, О), называются внешними р-формами в 1/, а внешние и-формы называются формами объема.
Это аазвание объясняется возможностью определить «криволинейные интегралы» ~ /(х1, ..., х„) йх1 Л ... Л йх" по любой У подобласти (/, обладающие свойствами меры. В случае /= 1 значение такого интеграла есть евклидов объем области )1, свойства которого мы описали в $5 ч. 2. При р < и можно определить интеграл от любой формы 1аеп ~ЛР(И1) по «р-мерным дифференцируемым гиперповерхностям» в (/.
Все модули внешних форм связаны замечательными операторами «внешнего дифференциала» й»1 ЛР-1-ЛР+', который в координатах задается формулой й~ (~~1 11, ... 1 йх ' Л . ° Л йх Р) = ~~1, йх Р+ Л йх ' Л ... Л "х». Эти операторы удовлетворяют условию й»+1. йР = О и входят в формулировку обобщенной теоремы Стокса, связывающей интеграл по р-мерной гиперповерхности с границей Р' с интегралом по ее границе дГ: й1»Р-1 ~ 1»Р-1 РР а«» Особую роль играют внешние 2-формы 1»', удовлетворяющие условию йы» = О.
В их терминах инвариантно формулируется аппарат гамильтоновой техники. 9 9. Тензорные произведения в квантовой механике 1. Объединение систем. Роль тензорных произведений в квантовой механике объясняется следующим фундаментальным положением, которое продолжает серию постулатов, сформулированных в п. 8 $6 и пп. 1 — б $ 9 ч. 2.
Пусть М1, ..., Ƅ— пространства состояний нескольких квантовых систем. Тогда пространство состояний системы, получающейся в результате их объединен1и1, является некоторым подпространством Я с Ж1 З ... З Ж„. Строго говоря, в бесконечномерпом случае вместо тензорного произведения справа должно стоять пополненное тензорное произведение гильбертовых пространств, но мы пренебрежем этой тонкостью, работая, как обычно, с конечномерными модулями. 291 Какое именно подпространство в Ж,З .
ЗЖ„ отвечает объединенной системе, приходится решать на основе дальнейших правил, к которым мы обратимся ниже. Здесь же мы рассмотрим случай Ж= Ж~ =Ж1 З ... ЗЖ, и попытаемся объяснить, как уже первый постулат квантовой механики — принцип суперпозиции — приводит к совершенно неклассическим связям между системами. Для этого яснее представим себе, каковы могут быть состояния объединенной системы. Пусть ф; ~ Ж; — некоторые состояния подсистем.
Тогда разложимый тензор ~р,З ... З ~р„ является одним нз возможных состояний объединенной системы„и мы можем считать, что оно отвечает случаю, когда каждая из подсистем находится в своем состоянии ф. Но такие разложимые состоянии далеко не исчерпывают всех векторов в Ж, З ... ЗЖ ." допустимы их произвольные линейные комбинации. Когда объединенная система находится в одном из таких неразложимых состояний, представление о ее подсистемах теряет смысл, ибо они и их состояния не могут быть однозначно выделены. Иными словами, в подавляющем большинстве состояний объединенной системы подсистемы существуют лишь «виртуально». Важно подчеркнуть, что этот вывод никак не использует представлений о взаимодействии подсистем в классическом смысле слова, подразумевающем обмен энергией между ними.
Эйнштейн, Розен и Подольский предложили мысленный эксперимент, в котором две подсистемы объединенной системы после ее распада оказываются сильно разделены пространственно, и наблюдение над одной подсистемой позволяет мгновенно «перевести в определенное состояние» вторую подсистему, хотя классическое взаимодействие между ними требует конечного времени. Это следствие постулатов суперпозипии и тензорного произведения резко противоречит классической интуиции. Тем не менее их принятие привело к огромному количеству теоретических схем, правильно объясняющих действительность, и приходится доверять им и вырабатывать новую интуицию.
Заметим попутно, что описание взаимодействия требует введения гамильтониана объединенной системы. В простейшем случае он имеет «свободный» внд Н,® ЫЗ ... ЗЫ+ЫЭН,Э ... З Ы+ ... +ЫЗ ... ЗН„, где Нн Ж~- Ж вЂ” гамильтониан Рй системы, Ы вЂ” тождественные отображения. В этом случае говорят, что системы не взаимодействуют. Некоторое объяснение этому состоит в замечании, что если объединенная система имеет такой гамильтониан и в начальный момент времени находится в разложимом состоянии чь З ...
З ~р„, то в любой момент времени ~ она будет находиться в разложимом состоянии е н"'(~р,)З ... З е н"«Щ„), т. е. ее подсистемы будут развиваться независимо друг от друга. В общем случае гамильтониан представляе~ собой сумму свободной части и оператора, который отвечает за взаимодействие. 2. Неразличимость. Имеются два фундаментальных случая, когда пространство состояний объединенной системы нс совпадает с полным пространством Ж~ З ...
Э Ж,. В обоих случаях объединяемые системы тождественны, или неразличимы, скажем, являются элементарнымн частицами одного типа; в частности, Ж, =... ... =Ж„=Ж. а) Бозоны. По определению, система с пространством состояний Ж называется бозоном, если пространство состояний объединения и систем есть п-я симметрическая степень Б'(Ж). Согласно эксперименту бозонами являются фотоны и альфа- частицы (ядра гелия). б) Фермионы. По определению, система с пространством состояний Ж называется фермионом, если пространство состояний объединения л таких систем есть и-я внешняя степень Л" (Ж). Согласно эксперименту фермионами являются электроны, протоны, нейтроны. 3. Числа заполнения и принцип Паули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
