1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Л ер отличен от нуля, и покажем, что тогда Апп(е! Л ... Лер) совпадает с линейной оболочкой векторов е!, ..., е„. Ясно, что эта линейная оболочка солержится в аннуляторе, ибо е/ Л (е, Л ° ° Л е ) = = ~ (е/ Л е/) Л (е, Л ° ° Л е/ ! Л е/~! Л ° ° Л е ) = О. Дополним линейно независимую систему векторов (е!, ..., ер) до базиса (еь ..., е, е„+ь ..., е,) пространства Е и покажем, что ь если ~, а'е! ев Апп(е! Л ° ° Л е ), то а'= О прн 1) р. В самом ! ! деле, < Л И а'е! ) !Л (е! Л ° ° ° Л ер) = ~ а'е! Л е, Л ... Л ер, ! ! ! р+! и (р+1)-векторы е; Ле! Л ...
Ле,, р+1(1и-а, линейно независимы. Пусть теперь Е! >Ем Т! = е! /' ... Ле, Тэ(е', Л ... Л е'„. Так как линейная оболочка <е'„..., е',) содержится в линейной оболочке (е!, ..., ер), мы можем выбрать в ней базис вила (е„..., е', е'+„..., е'„) и выразить е! линейно через этот базис. Для Т, получится выражение ае! Л ... Л е~ Л ер+! Л ... Л е'„где а — определитель перехода от штрихованиого базиса к нештрихованному. Поэтому Т, делится на Т,.
б), в). Если <г, Л ... Л е,) Л <е,' Л ... Л е',) чь О, то векторы (ео ..., е, е'„..., е') линейно независимы. Слеловательно, линейные оболочки (е„..., е ) и (ео ..., е'), т. е. аннуляторы Т! н Тг пересекаются лишь по нулю, Это рассуждение, очевидно. обратимо. Характериэация аннулятора разло>кимого р-вектора, данная в локаэательстве утверждения а), доказывает последнее утверждение теоремы.
14. Следствие. Рассмотрим отображение Апп: ( , !разложимые ненулевые р-векторы 3" '1,с точностью до умножения на скалярам -~(р-мерные надпространства в Е). Оно является биекииеи. Доказательство. Ясно, что если два ненулевых разложимых вектора пропорциональны, то их аннуляторы совпадают. .Поэтому описанное отображение определено корректно. Любое р-мерное подпространство Ц с: 1.
лежит в образе отображения, ибо если (еь ..., ее) — базис Ц, то Е,~ — — Апп(е~ Л ... Лер). Наконец, это отображение инъективно в силу утверждении а) теоремы п. 13: если АппТ, =Апп Тм то Т1 = Т Л Т, и Т является О-вектором, т. е. скалярам. 15. Многообразия Грассмана.
Многообразием Траеелшна, или грассманианом Ог(р, Ц, называется множество всех р-мерных линейных подпространств пространства Ь. В случае р = 1 получается подробно изученное нами проективное пространство Р(Ь). Следствие и. !4 позволяет нам для любого р реализовать Ог(р, Е) как подмножество в проективном пространстве Р(Ль(Е)). В самом деле, отображение, обратное к Апп, дает вложение Апп '.
Ог(р, Е)-эР(Лл(1,)). Выпишем его в более явном виде. Выберем базис (еь ..., е„) в Ь и рассмотрим линейную обо.точку р векторов л ,), а!е„(=1, ° з 1 Базис Л~(Е) образуют ( ) р-векторов (ей Л ... Л ес !1 к..1, < ... ... < 1 ч-.а). Отображение Апп-' ставит в соответствие нашей линейной оболочке прямую в Ле(Ц, порожденную р-вектором (е,".,) л .. л(е,"ъ,). Однородными координатами соответствующей точки в Р(Ле(Е)) являются коэффициенты разложения этого р-вектора по (ей Л Л ...Ле,,): Л ~~ а,'е,1= ~ Л''" ее~, Л ..
Ле~~. !1 ~~ ~' ~<0<, <1 <ь В точности такое же вычисление, как в доказательстве теоремы п. 10, показывает, что Л'1 "' е совпадает с минором матрицы (а!) образованным строками с номерами и, ..., 1. Хоть один из этих миноров отличен от нуля в точности тогда, когда ранг матрицы (а!) имеет наибольшее возможное значение р, т. е. когда линейная оболочка наших р-векторов действительно р-мерна. Вектор (...: Л' " 'ь:...) называется вектором грассмановых координат р-мерного подпространства, натянутого на т~,ае!, 1 1, ..., р. ! ! Из этой конструкции ясно, что для характеризации образа Пг(р, Е) в Р(Ль(Ц) нам нужно иметь критерии разложимости р-векторов.
Поэтому мы займемся сейчас этой задачей. 16. Теорема. а) Ненулевой р-вектор Т разложим тогда и только тогда, когда д)т Аппу = р; для остальных ненулевых р-векторов дпп Апп Т < р. б) Выберем базис (е!, ..., е„) в пространстве А и представим любой р-вектор Т ковф4ициентами его разложения по базису (е;, Л ° Л е! ~ 1 < й < Ь < ... < ар. -и) в Л'(Е.): Т = ~'„Т!! "' 'ге!, Л ... Л ес . Тогда существует такая система полиномиальных уравнений от Т ' "' г с иелыми ков44ициентами, зависящая только от и и р, что разложимоеть Т равносильна тому, что (Т'! "!р) есть решение втой системы.
Д о к а з а те л ь ст в о. То, что д(ш Апп Т = р для разложимых р-векторов, мы знаем из доказательства теоремы п. 10. Пусть д(гп АппТ = г и АппТ порождено векторамн е!, ..., е,. Дополним их до базиса (еь ..., е,) в В и положим Т = ~ Т" "' 'ье! Л " Л е! . ! ь Условие е! Л Т = 0 для всех 1= 1, ..., г означает, что Т '" ь = О, к...! если только (1, ..., г) л (1!, ..., (ь). Огсюда сразу же следует, что если Тч" О, то г - р и что Т делится на е! Л ...
Л е,. Поэтому при г=р р-вектор Т пропорционален е! Л ... Ле, и, значит, разложим. б) Воспользовавшись этим критерием, мы можем теперь записать условие разложимости Т в виде требования, чтобы следующая линейная система уравнений относительно неизвестных х', ... ..., х" енЛ' имела р-мерное пространство решений: и В ней и неизвестных и 1 +1) уравнений. Ее матрица состоит в+11 из целочисленных линейных комбинаций Т ''" 'ь.
Ранг этой матрицы всегда ) п — р, ибо дпп Апп Т < р. Поэтому условие разложимости равносильно тому, чтобы ранг был и — р, т. е. обращению в нуль всех ее миноров (и — р+ 1)-го порядка. Это и есть искомая система уравнений на грассмановы координаты разложи- мого тензора. 262 Рассмотрим несколько примеров и частных случаев'. 17. Предложение. Любой (и — 1)-вектор Т разложим. Доказательство.
Очевидно, хЛТ= !(х)е! Л ... Ле„, где )(х) — линейная функция на !.; (е!, ..., е,) — фиксированный базис !'.. Значит, б)т Апп Т = й)ш Кег) ) и — 1. Но если Т чь О, то ~~О, так что б(ш Кег! = и — 1. В силу утверждения а) теоремы п. 16 Т разложим. В терминах грассмановых многообразий это означает, что имеется биекция (гиперплоскости в Е)- Р(А" !Ц. Но гиперплоскости в Š— это точки Р(Е*). Поэтому Р(1.*) Р(А" '(Х.)) (канонический изоморфизм).
Ниже мы обобшим этот результат. 18. Предложение. Ненулевой бивектор Т ~ Ах(й) разложим тогда и только тогда, когда Т Л Т = О, Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна. Для доказа- тельства достаточности проведем индукцию по п, начипая с три- виального случая и = 2. Пусть (е!, ..., е„+!) — базис й. Разло- жив Т по е! Л е!, мы можем представить Т в виде Т = е„+, Л Т, + + Та где Т, и Т, разлагаются по еь е; Л е!, 1 ( !, ! ( п. Из усло- вия Т Л Т = 0 следует, что Т,ЛТ,+2е„ч, ЛТ, ЛТ,=О, ибо (е„+! Л Т!) Л(е,+! Л Т!) = 0 и Тг лежит в центре Л(Е). Но Тт Л Тг не может содержать членов с е„+!, поэтому Т,Л Т =е + Л Т, Л Т,=О. Поскольку Т,Л Т, = О, по индуктивному предположению Тг раз- ложим. Так как Т! Л Т, не содержит членов с е,+и имеем Т, Л Т,= = О.
Значит, Т! лежит в двумерном аннуляторе Т,, и Т, =Т; Л Т!. Поэтому Т = е„+ ! Л Т! + Т', Л Т! = (е„+ ! + Т!) Л Т!, что и завершает доказательство. Этот результат снова дает информацию о грассмановых многообразиях, на этот раз о С!г(2, Е): 19. Следствие. Каноническое отображение Ог(2, Е)-э Р(Аг(Е)) отождествляет при и ) 3 грассманиан плоскостей в 1. с пересечением квадрик в Р(Лг(Е)). Доказательство. Плоскости в Е отвечают прямым разложимых 2-векторов А'(Е). Условие разложимости 2-пектора Т' ье!, Л е!, согласно предложению п.
18 имеет вид ! (! ( "ч,) ( Т!"е„Л е~,~ Л ( гх' Т! !'ет, Л е1,) = О, !Ф(1 !\(!2 т. е. ~ Т"'Т!!"г(г„!м !!, 9=0, где каждая сумма слева отвечает одной четверке индексов ! = ( й~ < А4 < Йр < Й4 ( и 44 е(4ь 4м 1ь 14) есть знак перестановки множества (4ь (м )ь 1») = (йь йм Ам й4), Размещающей этУ четверку в порядке возрастания. В частности, при п = 4 получается одно уравнение: ТиТм Тих ! Т44Ти .О Иными словами, Ог(2, Л,"4) есть четырехмерная квадрика в Р(Л»(Л4)) = Р(3Р). Она называется квадрикой Плюккера. 20. Внешнее умножение и двойственность. Пусть 41!гп 5 =и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
