1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Пусть Ць ..., ф )— базис пространства состояний бозонной или фермионной системы, Тогда элементы симметризованного (или антисимметризованного) тензорного базиса в 5"(Ж) (или Л" (Ж)) физики записывают в виде БИ~Э ° - Эчч З . ° З$ Э ° Эф ) в 5"(Ж) 1 й ° ° ° п~) = А® Э ... Э ф З ... Э ф З... З ф„) в Л" (Ж). а В обоих случаях а~+ ... + а = п, но для бозонов числа а; могут принимать любые целые неотрицательные значения, а для фермионов — только О или 1: иначе соответствующие антисимметризации равны нулю н не определяют квантовое состояние.
Числа а; называются «числами заполнения» соответствующего состояния. Подразумевается, что в состоянии ~аь ..., а ) объединенной системы можно условно считать, что сч подсистем находятся в состоянии фь Поскольку, однако ни в фермионном, ни в бозоином случае объединенная система вообше не может находиться в состоянии, описываемом разложимым тензором ф, Э ... ... З ф„, кроме случая, когда все ф; одинаковы (для бозонов), это означает, что даже в базисных состояниях 1а„..., а ) нельзя сказать, «которая» из подсистем находится, скажем, в состоянии фь Подсистемы являются неразличимыми. Условие а; = О или 1 в фермионном случае интерпретируется как утверждение о том, что две подсистемы не могут находиться в одинаковом состоянии.
Это знаменитый «принцип запрета» Паули. Когда число л очень велико, ряд физически важных утверждений о пространствах 5"(Ж) и Л"(Ж) делается в вероятностных терминах, скажем, в терминах доли состояний ~аь ..., а„) с теми или иными условиями относительно чисел заполнения. Поэтому часто говорят, что бозоны и фермионы подчиняются разным стагиптикан — соответственно Бозе — Эйнштейна или Ферми. 4.
Случай переменного числа частиц. В процессе эволюции квантовой системы составляющие ее «элементарные подсистемы», или частицы, могут рождаться или уничтожаться. Для описания таких эффектов в бозонном и фермноином случае используются соответственно пространства состояния ®5' (ге) (точнее, попол- 1-! Ю пение этого пространства) или ®Л'(Ж), т. е. полная симметрическая или внешняя алгебра одночастичного пространства ге, Оператор, умножающий векторы из 5" (М) (соответственно, из Ла(уе)) на п (п = О, 1, 2, 3, ...), называется оператором числа частиц. Его ядро — подпространство С = оо(ае) или Ло(ав) — называется вакуумным состоянпедн в нем частиц нет.
Совершенно фундаментальную роль играют также специальные операторы рождения и уничтожения частиц, Оператор а-(фе) уничтожения бозоиа в состоянии фее= Я действует иа состояние 5(ф! З ... Зф,) по формуле и (тьо) ь(ф! З ' З тьа)='«и+ 1 ' 1 ~' (чье, 'тьан1) З тьа!х! З а 'и зя З зг (яь где (фе, фап1)' — скалярное произведение в ао. Оператор а+(фс) рождения бозона в состоянии фо ~ ае определяется как сопряженный к а-(фо) в смысле эрмитовой геометрии.
Аналогичные формулы можно написать в фермионном случае. Роль этих стандартных операторов тензорной алгебры объясняется тем, что в их терминах удобно записывать операторы важных наблюдаемых, в первую очередь гамильтониаиы. УПРАЖНЕНИЯ В следуюшей серии упражиеиий изложеиы основные факты теории теизорного ранга, важиой для спевок сложности вычислений. Основы ягой теории заложил Ф. Штрассеи. .!. Пусть ь!, ..., 1.,— коиечиомериые линейные пространства иад полем аг', 1шь!8 ... 1»!'.„, 1Ф О. Раигом гйг теизора ! иазываегся такое иаимеиьшеечисло г, что для подхопящих векторов 1!!1! гн ьг, 1 1, ..., г, Г ! Я Я!1 З З 1111 ! Очевидно, при л = 1 имеем гкг = 1 для любого !те О. Пусть 1!и 1., Зь! 2'1Ь!, Ез) (см.
п. 5 $2). Доказать, что гк ! = «иш 1т б 1! »12" Вывести отсюда следующие факты: а) при и 2 ранг ! остается иивариаитиым при расширеиав основного поля; б) при л = 2 множество (1( гй1 ( г) задается конечной системой уравнений г!! - глт Р1, 11 ' ' и! = О, где Рг, — многочлены от координат. Обз »тнх факта перестают быть верными для случая а = 3, нсторый представлвет основной интерес в теория сложности вычислений; см. ниже упражнення 4 — 9. э 2. Пусть Е = ® СаП вЂ” пространство 2 Х 2. Доказать, что комплексных матриц размера гй( ~ а, (б>а ®и =7. чг,д! ! Указание.
Воспользоваться упражнением 12 к 9 4 ч. 1. Вто же указание относится к следующей задаче. 3. Доказать, что Ф для подходящей константы с. (Здесь Е= Я Са; интересующий нас тен!.! ! зор есть 1г А З А З А,А = (аи) — общая матрица й>-го порядка.) 4. Пусть Š— некоторая конечномерная Л'-алгебра,Е>б)Е-» 1,: а®Ь ь-ь аЬ— Л' ее закон умножения. Рассмотрим этот закон как тензор ! ш Е'З 1.»ЗЕ. (Его координаты — структурные константы алгебры.) Вычислить гй! для случая й( =К,Е С.
5. В обозначениях предыдущей задачи пусть Е =Л"', умножение покоординатное> (аь ..., аи) (Ь!.. ' Ьи) (а>Ь!, ..., аиЬ„) 7. Пусть Е = Се! Ю Сгэ. Доказать, что тензор Г=е! (Э>е, ®е, +е, !8) е»Эе>+аз!3 е, <9е, имеет ранг 3. 8. Доказать, что тензор 1 нз предыдущего упражнения является пределом некоторой последовательиостя тензоров ранга 2. Укиишиз. 1 ! + ее, 6) г, ® е, = — (е, (») е, ® ( — е, + ее ) + (э, + ее ) Я (е, + ее ) (3 ез). э 9. Вывести яз упражнений 7 и 8, что множество тензоров ран~а ~ 2 в Е З Е З Е ие зздаетси системой уравнений вида Р (1!'>и') О, ! где Р, — мпогочлеиы.
!О. Назовем предельным ражам Ьгй(1) теивора 1 такое наименьшее число з, что ! можно представить в виде предела последовательности тепзоров ранга ( з. Доказать, что длв общей матрицы А порядка 3 Х 3 Ьгй ((г А ® А ® А) К, 21. Вычислить гй 1. О. Пользуясь результатами упражнений 4 и 5, убедитесь, что ранг тенэора структурных констант алгебры С над )1 падает при расширении основного поля до С. Указание. С ® С и»аморфна Сз как С-алгебра. и 11. Чему равны г(г(гг А(У) А ф А), Ьгй(гт А®А® А), где А — общая матрица порядка )т'Хй(2 (К молгенту, когда пишутсв эти строки, ответ не известен даже для й = 3.) 12. Пусть Š— л-мерное линейное пространство над полем уг, М ~Лэ(Е)— произвольное подпростраиство. Предположим, что длв каждого э щЕ, о ть О, существует ш ~и Е с О ча о ттге яМ.
Доказать, что а Е можно выбрать такой базис еь ..., е, что М+ Лэ(Ег) =Лэ(Е), 1~(~л. где Е, ® Л'е. !чьГ В случае поля Ж = Гр из р элементов известно весьма непростое иомбинаторное доказательство этого результата (тг а и и Ь а и - 1. е е М. К. — Е А1- пеЬга, 1974, 32, р. 273 — 235), допускающего теоретико-групповую интерпретацию, Желательно найти более прямой подвод. ПРЕДМЕТЙЬзй УКАЗАТЕЛЬ Аксиома Дезарга 243 — Паппа 243 Аксиомы трехмерного проектианого пространства 241 — проектявной плоскости 242 Ачгебра внешняя 192, 276, 277 — гомологнческая 88 — Грассмана 192, 276 — Клиффорда 189 — Лв 34, 38 — — классическая 35 — — 91(л, ЗГ) 35 — — о(п, Х') 35 — — з!(п, Л') 35 — — зп(п) 35 — — п(п) 35 — нал полем ассоцнатнвная 189 — снмметрнческая 273.
274 — тензорная 266 Алгорнтм ортогоналнзации Грама— Шмидта 111 Альтернатива Фредгольма конечно. мерная 50 Альтерннрованне тензора 275 Амплитуда вероятности 131 Аннулятор р-вектора 279 Антисимметризацня тензора 275 Аппроксимация 114 Базис пространства 14 — — гиперболический 186 — — двойственный 24 — — жорданов 59 — — ортогональный 106 — — ортонормированный 106 — — снмплектяческнй !07 — тензорный 257 Базисы одинаково ориентированные 46, 177 — — пространственно орнентнрованные 178 Возон 293 Вуст !79 Валенгность тензора 264 Вектор грзссмановых координат 282 — касательный 287 — корневой 61 — собственный 56 — состояния 130 — циклический 67 Векторы одинаково временно ориентированные 176 — ортогональные 98 Величина случайная 126 — — нормированная 126 Величины случайные независнмые 126 Вероятность 129 Вершина выпуклого множества 214 Вес билинейной формы 114 Возмущение 152 Вычитание внешнее 194 Гамильтониан 150 — невозмушенный 152 Геометрня ортогональная 98 — симплектнческзя 98 — зрмнтова 98 Гвперпласкость 224 — касательная 228 — полярная 227 Гнперповерхность алгебраическая 246 Гомотетня 22 Грань верхняя 20 — выпуклого множества 213 Грассманиан 281 Группа аффинная 201 — Витта Г89 — движений 202 — классическая 33 — лннейная полнан 24, 34 — — специальная 34 — Лоренца 135, 173, !78 — ортогональная 34 — — специальная 34 — проектнвная 231 — Пуанкаре 202 Группа симплектическая 183 — унитарная 34 — — специальная 34 Движение аффинного евклидова пространства 202 — — — — несобственное 204 — — — — собственное 204 — непрерывное 44 Двойстненность тензориых произведений 260 Действие !51 — симметрической группы на тензорах 260 — транзитнвное 193 — эффективное 193 Дельта-функционал Дирака 13 Дельта-функция 9 Деформация 44 Диагональ главная 27 Диаграмма 84 — коммутативиая 84 Дисперсия 149 Дифференциал отображения в точке 27 — функции 289 Дифференцирование кольца 288 Длина вектора 118, 129 — флага 18 Дополнение ортогональное 53, 102 — прямое 43 Зависимость линейная 16 Замыкание проективное 225 Значение собственное 56 — среднее 149 Идеал 247 — градуированный 247 — двусторонний 274 — конечно порожденный 248 †, порожденный множеством 248 Излучение фотонов 152 Изометрия линейных пространств 99 Изоморфизм 23 — в категориях 83 — естественный 23 — канонический 24 — проективный 230 — функторный 87 Инвариант линейного оператора 33 Индекс оператора 50 Интервал времениподобный 172 — пространственноподобный 172 — светоподобный 172 Карта аффинная 221 Категория 83 — абелевых групп 83 — групп 83 — дуэльная 85 — линейных пространств 83 — множеств 83 — фуякторов 87 Квадрат коммутативный 84 Квадрика аффинная 219 — полярная 227 Кватернаоны 168 Клетка жорданова 58 — циклическая 67 Ковариация 126 Кольцо градуированное 247 Комбинации линейная 8 — — тензоров одинакового типа 268 — точек барнцентрнческая 198 Коммутатор 34 — в Л'-алгебре Ли 38 — групповой 37 Комплекс 84 — ацикличный 85 — точный 85 — — в члене 85 Комплексификация линейного пространства 80 — проективного пространства 229 Композиция морфизмов 83 — функторов 87 Комповента градуированного пространства однородная 246 — группы Лоренца 178 — тензора 267 Конец стрелки 83 Конус асямптотических направлений 158 — световой 173 Конфигурации в аффинном пространстве аффинно конгруэнтные 208 — — — — метрически конгруэнтные 208 — проективно конгруэнтные 232 Конфигурация 208 — Дезарга 240 — координатная 208 — Паапа 240 — проективная 232 Кообраз 50 Координата тензора 267 Координаты аффинные 197 — барицентрические 199 — вектора 14 — точки однородные 220 Коразмерность подпространства 49 Косокоммутативность 276 Коэффициент корреляции !26 — Фурье 115 Коядро 50 Критерий Сильвестра 1!3 — цикличности пространства 67 Круг 71 Лемма о змее 91 — Порка 20 Линия мировая внерциального наблюдателн 172 Логарифм оператора 76 Матрица 27, 267 — антнсвмметрнчная 35 — антнэрмнтова 35 — блочная 28 — Грана 96 — — положнтельяо определенная 113 — диагональная 27 — Лирака 36 — единичная 28 — жорданова 58 — квадратная 27 — композиция линейных отображений 30 — контраградиентная 268 — кососимметрнчная 35 — косоэрмнтова 35 — линейного оператора 29 — — отображення 29 — ортогональная 34, 134, 135 — Паули 36, 164 — перехода 32 — псевдоортогональная 135 — псевдоуннтарная 135 — сямметрячная 35 — скалярная 28 — транспонированная 28 — треугольная верхняя 27, 28 — — нижняя 28 — унптарная 34, 135 — эрмнтова 35 — эрмнтово антнснмметрнчная 35 — — симметрнчная 35 — сопряженная 34 Медиана системы точек 212 Метод наименьших квадратов 121 — Штрассена 37 Метрнка 69, 96 — дискретная 69 — естественная 69 — кэлерова 244 Многогранннк 213 Многообразие алгебраическое 246 — Грассмана 281, 283 Многочлен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
