1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Согласно следствию п. 5 и известной симметрии биномиальных коэффициентов д(шЛР(Е)=( )=(„) =д!шЛ" «(Е.) для всех 1(р л. Это наводит на мысль, что между Лр(Ь) и Л"-р(1 ) должен существовать либо канонический изоморфизм, либо каноническая двойственность. С точностью до небольшой детали верно второе. Рассмотрим операцию внешнего умножения Л'(Ь)ХЛ" '(Ц Л"(А): (Тн Т,)- Т, ЛТ,. Поскольку она билинейна, она определяет линейное отображение Л (С)- Ы(Л"-РС., Л"Ц (Л"-'(Ц)' Е Л"Т.
(последний изоморфизм — частный случай описанного в п. 5 $2). Ядро этого отображения нулевое. Действительно, пусть (е„... ..., е„) — базис Е. Положим Т, Л Т»= (Ть Т») е4 Л ... Ле„, где Т4 ~ Лр(Е,), Т,еи Л р(й). Очевидно, (Ть Т,) — билинейное скалярное произведение между Л«(1.) и Л"-«(Е). Построим в Л«(й) и Л"-«(Ц базисы из разложимых р-векторов и (и — р)-векторов (е4,Л...Ле4,),(вйЛ...Леу„,), 1~5( ...
~1«(п,1( ~1, С ... ~1„р ( и. Отождествим Л«(Е) и Л" «(Е.) с помощью линейного отображения, которое ставит в соответствие р-вектору а4, Л . Л е4 (и — р)-вектор ей Л ... Л е4„«, для которого (й..., 1р, 1ь ., 1-р) = (1, .... п). Тогда (Ть Т») бУдет скалярным произведением па Л«(Х) с диагональной матрнцей Трама вида Йай(~1, ..., ~1). Оно невырождено, в частности, его левое ядро равно нулю. Итак, мы построили канонические изоморфизмы Л Ю вЂ” (Л" (Т))*З Л" Ю. При р = а — 1 получаем Л" — '(Е)-+ 1.*ЗЛ"(Е), что и объясняет изоморфизм Р(Л '(Ь))- Р(й') из п.
18: тензорное умножение 1' на одномерное пространство Л" (Е) кие меняет» множество прямых. Б следующем параграфе мы продолжим изучение связи внешнего умножения с двойственностью, введя в рассмотрение внешнюю алгебру Л(Е"). 284 2 7. Внешние формь[ 1. Пусть Š— конечномерное линейное пространство над полем Л!', Е' — двойственное к нему пространство.
Элементы р-й внешней степени Лл(Е') называются внешними р-формами на пространстве Е. В частности, внешние 1-формы— это просто линейные функционалы на Е. Для произвольного р можно установить два варианта этого результата: 2. Теорема. Пространство Л[»(Е*) канонически изоморфно: а) (Лг(Е))*, т. е. пространству линейных функционалов на р-векторах; б) пространству кососимметрических р-линейных отображений Р: Е Х ... Х Е-»-М, т.
е. отображений со свойством Р(!»»п[» ° ' » (а[р[)=а(в)Р(([ . ([») для всех о~5„. Доказательство. Согласно принятому нами определению Лг(Е*) с: Е'®... ®Е'=ТТ»(Е'). В п. 4 $2 мы отождествили Т„'(Е») с пространством всех р-линейных функций иа Е*. При этом отождествлении внешние формы становятся кососимметрическими р-линейными отображениями Е. В самом деле, достаточно проверить это на разложимых формах.
Для них имем (! Л" Л(,)(([, ", (,)=А(([В...Зт,)((, ".,1,)= 1 — Р а(т)[„п[(([)... $„[р[((р). р[ Х. т~Я Поэтому 1 ч~ (У[ Л ° ° Л )[»)(!»»Н1» ° » (а[р)) = 1 ~ а(т)(ьп[(!»»О[) . Рт[р[((а[[»[)=»» р[ С'. »еВл 1 ч-~ — е (тв) 1»»а [[1(!»» щ) ° ° ° )т»»[»»1 (!а[р[) = $ыз = (о)((, Л ... Л ),)((„..., (,) Поэтому мы построили линейное вложение Л'(Е')- (кососимметрические р-линейпые формы на Е). Чтобы проверить, что оно является нзоморфизмом, достаточно установить совпадение размерности правой части с [)!гпЛл(Е)=( 1. Но если в Е !Р/ выбран базис (еь ..., е,), то любая кососимметрнческая р-линейная форма Р на Е однозначно определяется своими значениями Р(е[в ..., е[ ), ! = й ...
~ (л «и, и их можно выбирать любыми. Поэтому размерность пространства таких форм равна ( 1. Это доказывает утверждение б) теоремы. ~РI Для доказательства утверждения а) отождествим 1." ® .. ® Е.' \ / Р ®... Я ~)" снова с помощью конструкции и. 4 $ Я и огра- с (1. \ ~ / Р ничим каждый элемент Лр(1.') (как линейную функцию на Е Э ... З Ц на подпространство р-векторов Лр(Е).
Мы получим линейное отображение Лр(Е*)-э(ЛР(Х.))*. Поскольку размерности пространства слева и справа совпадают, достаточно проверить, что оно сюръективгю. Пространство линейных функционалов на Лр(1 )' 1 порождено функционалами вида — Ьг, где р! 1-(Еп ..., Ер) ~ (1, ..., и), Ь,(е, Л ... Л е! ) = 1, бг(ей Л Л ег )=О, если (Еь ..., Ер) Ф1. Мы утверждаем, что такой функционал явля- ется образом р-формы е" Л . Л е'г~ Лр(1.'), где, как обычно, (е') означает базис, двойственный к (ег).
Действительно, значение ей Л ° Л е~р на ей Л . Л ее равно А (е" ®... Эе'е) (А(ее, ®... чэее )) = — а(от)Е~е<П(ЕЕ,)... Е~ аи(ЕЕ ). а.~~з, Справа отличны от нуля лишь те слагаемые, для которых Е <и —— =Ежи, ..., Еезч = 1мю, так что вся сумма равна нулю, если (11 "° Ер) Ф(1ь ° Ер). Если же этн множества совпадают, то вся сумма равна еяз„ когда (Ев ..., Ер) = (Еь ..., 1 ) упорядочены по возрастанию. Поэтому е' Л ... Лег как функционал на Лр(Е.) равен — бп что 1 завершает доказательство.
3. Замечания. а) Принятый нами способ отождествления й'(1.') с (Лр(1.) ) * отвечает билинейному отображению Л'(1.") Х Л (Ц Л', которое на произвольных парах разложимых р-векторов можно представить в виде У' Л . Л Г 11 Л Л1)= —,де((Е'(1,)), ~'ен1.', 1~ я 1.. Действительно, обе стороны полилинейны и косо- симметричны в отдельности по Е' и 1б крома того, они совпадают для (7', ..., 1~) = (е', ..., е р), (Еь ..., Ер) = (ееп ..., ее ), как было проверено в предыдущем доказательстве.
Иногда в этом скалярном произведении отбрасывают множи- 1 р! ' б) Одно из отождествлений, установленных в теореме, иногда принимают в качестве определения внешней степени. Например, Лл(Е) часто, особенно в дифференциальной геометрии, вводят как пространство кососимметрических р-линейных функционалов на Е'. Общность этой конструкции — промежуточная между общностью первого и второго определений внешней степени из $6: поскольку она не требует деления на факториалы, она годится для линейных пространств над полями конечной характеристики, а также для свободных модулей над коммутативными кольцами.
Но при переходе к общим модулям лишняя дуализация мешает, и второе определение становится предпочтительным. Результат„аналогичный теореме п. 2, справедлив также для симметрических степеней, и наше предшествующее замечание относится н к ним. В частности, Яп(Е) можно определить как пространство симметричных р-линейных функционалов на Е' для пространств над любыми полями и свободных модулей над коммутативными кольцами.
В самом общем случае, однако, правильное определение Р'(Е) †э определение из п. 9, $ 5. 4. Внутреннее произведение. Внутренним произведением называется билинейное отображение Е к', Лп (!.") — ~ Лп ' (1:): (1, Р) ~ ! (!) г, которое определяется следующим образом. Рассмотрим реп Лп(Е') как кососимметричную р-линейную форму на Е, и аналогично !(!) г. Тогда по определению (!) р (!) !р ~) р (! 1~ !р 1) Очевидно, правая часть (р.— 1)-линейна и кососимметрична как функция от 1ь ..., !р ь а также билинейна как функция от т, 1, так что определение корректно.
При р = О удобно считать, что !(!)у=О. Вместо !(!)г пишут также ! 1г. й 8. Тензорные поля 1. В этом параграфе мы кратко опишем типичные дифференциально-геометрические ситуации, в которых используется тензорная алгебра. Рассмотрим некоторую область Е!с: 11" в координатном вещественном пространстве и кольцо С бесконечно дифференцируемых функций с вещественными значениями на Е!. В частности, координатные функции х', 1= 1, ..., и, принадлежат С. 2. Определение. Касательным вектором Х, к ~I в точке аеп Е! называется любое линейное отображение Х,: С- 11, удовлетворяю и!ее условиям: Х„! = О, если ! постоянна в некоторой окрестности а; Х,(~д) = Х,! ° у(а)+ ((а) ° Х,д.
Если Х„У, — два касательных вектора в точке а, то любая их вещественная линейная комбинация также является касательным вектором в этой точке: (сХ. + йУ.) ()у) = сХ. ()у)+ йУ. Ф) = = сХ„) ° у(а)+ с/(а)Х»у+ с/У,1 ° д(а)+ й/ (а) У,у= = (сХ» + с(У») сс ' Д (а) + сГ (а) (сХ» + й~ »)»»" Поэтому касательные векторы образуют линейное пространство, которое обозначается Т, и называется касательным пространством к (/ в точке а. Значение Х,( называется производной функции / по направлению вектора Х,.
Можссо доказать, что пространство Т» п-мерно. 3. Определение Векторным полем в области (/ называется такое семейство касательных векторов Х = (Х ен Т„~ а е— : (/), что для любой функции ) е= С функция на (/ а ~Х) также принадлежит С. Обозначим эту функцию через Х/. Очевидно, касательное поле определяет линейное отображение Х: С вЂ” С, нулевое на постоянных функциях и такое, что Х()д) =Х) у+( Ху для всех (, у ен С. Такие отображения называются дифференцированиями кольца С в себя. Наоборот, каждому дифференцированию Х: С вЂ” с. С и точке а ~ (/ отвечает касательный вектор Х, в этой точке: Х») =(Х/) (а).
Это устанавливает биекцию между векторными полями на (/ н дифференцированиями кольца С. Сумма векторных полей Х+ У, определенная формулой (Х+ У)/ = Х)+ У/ для всех / ~ С, является векторным полем. Произведение /Х, определяемое формулой (/Х)д =((Ху), где Х— векторное поле, ), д~ С, является векторным полем. В частности, любая линейная комбинация векторных полей ~ )'Хс, /сев С, явс-с ляется векторным полем.
д 4. Пример. Пусть —,, с'= 1, ...„и,— классические операдх торы частных производных. Все они являются векторными полями иа !/ Имеет место следующий фундаментальный результат, который мы приведем без доказательства: б. Теорема. Всякое векторное поле Х в связной области (/с: К» » к~с д однозначно представляется в виде / ) †., где х', ..., х" †кодхс с ! ординагные функции на сс». б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
