1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 60
Текст из файла (страница 60)
ХАр — >-Е, З ... ЗЕР является нулевым. Но его образ порождает все тензорное произведение. Поэтому послелнее нульмерно. б) йп>(Е, З ... ЗЕ )=й>пЕ> ... й>пЕ . Если хоть одно из пространств нулевое, это следует из прелылущего результата. В противном случае будем рассу>клать так: размерность Е1 З ... З А совпадает с размерностью двойственного пространства 2'(Е>З ... З 1Р, .Ус'). В п. 4 мы отождествили его с пространством полнлинейных отображений Ы'(Е~ Х ...
... ХЕ, М). Выберем в пространствах Е> базисы (ге,, ..., е„,г~ г н> !о> Всякому полнлинейному отображению ~: )чХ.. ХЕ, Л" поставим в соответствие набор из п~ ... и, скаляров 7(е'~>1, ..., е7"), !(г',(пн 1(1(р. В силу свойства полилинейности этот набор олнозначно опреде- ляет Г: / л Кроме того, он может быть произвольным: правая часть послелпей г'ш формулы определяет полилинейное отображение векторов!х ..., хьа) при любых значениях коэффициентов. Это означает, что пространство полилинейиых отображений Ь> Х ... Х (.,— ~-Л' имеет размерность п| ... и„= й>п Е, ...
йт Е„что завершает показательство. в) Тензорный базис !, З ... З Е . Предшествующее рассужление позволяет установить также, что тензорные произведения 1в>'",З... Зв~") образуют базис пространства Е> З,. З!.н (считаем, что все пространства 1~ имеют размерность 1 и, для простоты, конечномерны). В самом деле, эти тензорные пронзвеления порождают Е Э ... ЭЦ, ибо через них линейно выражаются все разложимые тензоры. Кроме того, их количество в точности равно размерности Е> Э ...
З Т . 6. Тензорные произведения пространств функций. Пусть 5ь ..., 5к — конечные множества, г(5;) — пространство функций иа 5; со значениями в Л'. Тогда имеется каноническое отождествление Р (5~ Х ° . Х 5г) = Р (5~) Э ° Э Р (5л), которое ставит в соответствие функции 61,„..., ! элемент Ь,, З... и''"' л ... ЭЬ, (см. п. 7 6 1 ч. !). Поскольку оба этих семейства обра- 'Р зуют базис своих пространств, это действительно изоморфнзм. Если )~~ г"(5;), то 6~Э.*.Э1г=( Х 6~(з~)бг,)Э З( Х )л(зр)Ь.,) Р Р перейдет при этом изоморфизме в функцию (з„..., з ) ~,(з,)...) (з,), т, е. разложимые тензоры отвечают «разделяющимся переменным». Если 5~ = ... = 5„ = 5, то тензорное произведение функций на 5 соответствует обычному произведению их значений «в независимых точках 5ж Именно в таком контексте тензорные произведения чаще всего появляются в функциональном анализе и физике.
Однако алгебраическое определение тензорного произведения подвергается в функциональном анализе существенным изменениям, связанным с учетом топологии пространств; в частности, его обычно приходится пополнять по разным топологиям. 7. Подъем поля скаляров. Пусть С вЂ” линейное пространство над полем !(,ь',с — его комплексификация (см. 5 12 ч. 1). Поскольку поле С можно рассматривать как линейное пространство над 11 (с базисом 1, 1), мы можем построить линейное пространство С З 1„порожденное базисом 1 З еь ..., 1 Э е„(З еь ...
..., 1З е„, над !1, где (еь ..., е,) — базис 7.. Ясно, что 1! — линейное отображение СЗС вЂ” йс; 1Эе, аь ~'Эе, ы~ определяет изоморфизм С З й с 7.с. Более обшо, пусть Ж с: К вЂ” поле и его подполе, 7. — линейное пространство над л". Рассмотрев сначала К как линейное пространство над М, построим тензорное произведение К З !.. После этого введем на нем структуру линейного пространства над К, определив умножение на скаляры а ен К формулой . п(ЬЭ1)=аЬЗ1; а, Ьея К, 1~ Е.
Чтобы проверить корректность этого определения, построим пространство я, свободно порожденное элементами КХ !., и его подпространство .4'м как в п. 2, так что К З й =М/.7«. Определим умножение на скаляры из К в,.гг, положив на базисных элементах а(Ь, 1)=(аЬ, 1)„а, Ьен К, 1е=!., и распространив это правило на остальные элементы Кр',Ь по Л'-линейности. Непосредственная проверка показывает, что Ж превращается в К-линейное пространство, а»У« — в его подпространство, так что Х/,>У« = К Э Е также становится линейным пространством над К Это и есть общая конструкция подъема поля скаляров, упомянутая в п.
15 5 1! ч. !. Важный частный случай: при К = Л' линейное пространство Л'ЗЕ над Л' канонически изоморфно Т.. Этот изоморфизм переводит аЗ(в а!. 2 2. Канонические изоморфизмы и линейные отображения тензорных произведений !. Тензорное умножение обладает некоторыми алгебраическими свойствами операций, называемых умножениями в других контекстах, например, ассоциативностью. Однако в формулировке этих свойств имеется своя специфика из-за того, что тензорное умножение есть операция над объектами категории. Например, пространства (Тн Э Е»)ЗЕ» и Е, З(Е,Э Е») не совпади>от, как явствует из сравнения их конструкции: они лишь связаны канонически определенным изоморфиз.чом. В этом параграфе мы опишем ряд таких «элементарных» нзоморфизмов, очень полезных при работе с тензорными произведениями.
Предупредим читателя, однако, что мы вынуждены будем ограничиться лишь введением в теорию канонических изоморфизмов. Главный вопрос, систематическое исследование которого мы опустим, состоит в их совместности. Предположим, например, что у нас есть два естественных изоморфизма между некоторыми тензорными произведениями, по-разному скомпонованных из нескольких «элементарных» естественных изоморфизмов. Обязательно ли эти изоморфязмы совпадут? Можно проводить непосредственную проверку в каждом конкретном частном случае плн попытаться построить обшую теорию, которая оказывается довольно громоздкой. Аналогичные задачи возникают в связи с естественными отображениями, которые не являются изоморфизмами, например такими, как симметризация или свертка. 2.
Ассоциативность. Пусть Т.ь ..., Е» — линейные пространства над й. Мы хотим построить канонические изоморфизмы между пространствамп вида (>'.> Э Е») (... Э Ц), получающимися в результате тензорного умножения Еь ..., Е„группами в разном порядке, который устанавливается расстановкой скобок. Самый удобный способ, автоматически обеспечивающий совместимость, состоит в том, чтобы построить для каждой расстановки скобок линейное отображение 1.1 Э ... З1,» (Е1 З Е>) (...З Ь„) с помошью универсального свойства из утверждения б) и.
3 5 1 и проверить, что оно является изоморфизмом. Мы подробно рассмотрим конструкцию !.,ЭЕ>ЭЕ»-+.(Е~ЗЕ») Э ® 1-1', общий случай совершенно аналогичен. 269 Отображение 1.> Х 1.и->. 1,> З 1.т.. (1ь 1т)-~ 1, З 1, билинейно. Поэтому отображение Ен Х 1.зХ 1,з — >.(1н З1,т)Э1.м (1ь 1в 1з) > (1, З 12) З 1ь трилинейно. Значит, его можно провести через единственное линейное отображение Е, З1,,З1з-+-(1., З1,а)З1.з. По самой конструкции последнее отображение переводит 1>З!гЗ1з в (11 З 1т) З 1м Выбрав в пространствах 1.ь 1.м 1,з базисы и воспользовавшись результатом п. 5 3 1, получаем, что это отображение переводит базис в базис и поэтому является изоморфизмом. Окончательно: произведение (1,> Э 1.р) (...
З 1.,) с любой расстановкой скобок л>ажно отождествить с 1.> З АЗ ... З Ц, просто опустив все скобки; на элементах (11 З 1т) (... З1 ) это отождествление действует по тому же правилу. Поэтому мы познолим себе писать (1, З 1т) З 1а = 1, Э 1т З 4 = 1> З (1т З 1з) и т. п. 3. Коммутативность. Пусть о — любая перестановка чисел 1, ..., р.
Определим систему нзоморфизмов !е> 1лЗ. Э1е — ~1 (нЗ З1ьы> со свойством 1„= 1ь ° 1, для любых а, т. Для этого заметим, что отображение 1л Х. ° ° Х)т> >'1вшЗ ° ° ° З1аыр (1ь ° ° ° 1р)' ~1ьн>Э ° ° З1ь(р> полилинейно. Поэтому оно проводится через отображение 1,,З ... З 1.е- 1.
и> Э ... З 1.м,> в силу утверждения б) теоремы п. 3 3 1. На произведениях векторов оно действует очевидным обрааом, переставляя сомножители, и рассмотрение его действия на теязорном произведении базисов 1.ь ..., 1Р показывает, что это изоморфизм. Свойство 1ь, = 1ь ° 1, очевидно. Таким образом, мы определили действие симметрической группы 5е на 1,, З ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
