1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Эта метрика инвариантна относительно тех проективпых преобразований Р(Е), которые имеют вид РЦ), где !" — унитарное отображение Е в себя. Вводится оиа следующим образом. Пусть рь рх ен РЩ. Точкам рь р, отвечают два больших круга на еди- 243 пичной сфере 5 с: Т., как показано в разделе в) п. 3 $6. Тогда кэлерово расстояние 21(р1, р2) равно расстоянию между этими кругами в евклидовой сферической метрике 5, т. е. длине кратчайшей дуги большого круга на 5, соединяющей две точки на прообразах р,ир,.
Основная цель этого параграфа — доказательство следующих двух формул для б(рь р2). 2. Теорема, а) Пусть 11, 1, ен 1., ~ 11 ~ = ~ 12 ( = 1; рь р, ен Р (1 )— прямые С1, и С12, Тогда б(р1, р,) = агссоз ~ (1ь 12) ~, где (1ь 12) — скалярное произведение в 1.. б) Пусть в 1. выбран ортонормированный базис, относительно которого в Р(Т.) определена однородная система координат. Пусть две близкие точки рь р,ен Р(Ц заданы своими координатами (У1, ..., Ул) и (У1+ 21у1, ..., у, + дул) В а2р4иННОи КартЕ 14 (СМ.
раздел а) и. 3 $6). Тогда квадрат расстояния между нил1и с точностью до третьего порядка малости по Иу1 равен л л 2 Т! вУ;!' Д У1™У1 Доказательство. а) В евклидовом пространстве расстояние между двумя точками на единичной сфере равно длине той дуги соединяющего их большого круга, которая лежит между 6 и и, т. е. евклидову углу, или арккосинусу евклидова скалярного произведения радиусов. Евклидова структура на 1., отвечающая исходной унитарной структуре, задается скалярным произведением Ке(1„ 12). Поскольку мы должны найти минимальное расстояние между точками больших кругов (е1ч11), (е1т12), а арккосинус— убывающая функция, нужно подобрать гр и 2Р так, чтобы при данных 1ь 12 величина 12е(е1ч11, е1ч12) приняла наибольшее возможное значение. Но она не превосходит ~ (1ь 12) ~ и при подходящих 1р, 2р достигает этого значения: если ф = — агу(11, 12), то (е1ч11, 1,)= =((11, 12) ~.
Поэтому окончательно 21(р„р2) агссоз!(11 12)(. б) Положим л 2Ц2 л 1иь Л-(12 Ь122) . Л~-««-(~-1 Ь12,-1«2,2) . Тогда прообразами точек (уь ..., У„) и (У1+ дуь ° .,У«+ау«) на 5 будут точки / ' У Ял т 1 ~ Е1+ЛЕ1 Ел+ Вул~ "=(.д ~г".* я/ 12=~к+ар и+ля ° "' и+,пу Поэтому )(г ( (1«г 12) л(и ( ли) ~ 1 +,~ У«(У«+ «(У«)( )(()г ( ()г) «1 л л )2 )(4+ яг ~ (у,уу ( у ду ) + т~~~ у (г, г-««.=« ) (1«г 12)('— йи (й+ «(й)г Далее, (й+ Ж)'=1+ ~'., ! у«+ «(у«)'=Ф+ А (у«ду«+ у«Ф +! у Й- Поэтому с точностью до третьего порядка малости по «(у« С другой стороны, если «р = агссоз~ (1ь 12) ~, то е точностью до «р« прй малых «р имеем Чгг 22 $(Е«, 12) )2=(соз «р)2= ~1 — — + ...) =-1 — «)Р+ ...
Сравнение этих формул завершает доказательство. й 11. Алгебраические многообразия и многочлены Гильберта 1. Пусть Р(Е) — н-мерное проективное пространство над полем дГ с фиксированной системой однородных координат. Мы уже многократно встречались с проективными подпространствами в Р(Ц и квадриками, которые определяются соответственно системами уравнений л аых« — — О, А=1, ..., и«, «-О или Я а«)х«х) О, а«) а)«. «, (=о Более общо, рассмотрим произвольный однородный мноеочлен, или форму, степени т» 1: ('." .)= Х .:" х.'л. «О+'2 ь« -ги г" и п Хотя она не определяет функции на Р(Ц, мнои«ество точек с однородными координатами (хз....,' хл), для которых Р = О, опреде- 245 лена однозначно. Оно называется алгебраической гиперповерхностою (степени та), заданной уравнением Р = О.
Более общо, множество точек в Р(й), удовлетворяющих системе уравнений Р,=Р =...=Р О, где Р; — формы (возможно, разных степеней), называется алгебраическим многообразием, определенным этой системой уравнений. Изучение алгебраических многообразий в проективном пространстве составляет одну из основных целей алгебраической геометрии. Разумеется, общее алгебраическое многообразие является существенно нелинейным объектом, поэтому, как и в других геометрических дисциплинах, важное место в технике алгебраической геометрии занимают методы линеаризации нелинейных задач. В этом параграфе мы введем один такой метод, восходящий к Гильберту и дающий с минимумом предварительной подготовки важную информацию об алгебраическом многообразии (т~ Р(1.).
Его идея состоит в том, чтобы поставить в соответствие алгебраическому многообразию т' счетную серию линейных пространств (! (У)) и изучить их размерность как функцию от и. Именно, пусть 1 ()т) — пространство форм степени ги, обращающихся в нуль на р. Покажем, что существует многочлев 9т(т) с рациональными коэффициентами такой, что йпп! (К)=(гт(гп) для всех достаточно больших гп. Коэффициенты многочлена Ят являются важнейшими инвариантами (т. На самом деле мы установим заметно более общий результат, но для его формулировки и доказательства нам придется ввести несколько новых понятий. 2. Градуированные линейные пространства.
Фиксируем раз навсегда основное поле скаляров к'. Градуированным линейныл~ пространством над Л' будем называть линейное пространство ь вместе с фиксированным его разложением в прямую сумму подпро- Р странств: й =® Ц. Эта сумма бесконечна, но каждый отдельный г-о элемент (ец Е однозначно представляется в виде конечной суммы: Вен хл, в том смысле, что все (ь кроме конечного числа МЪ их, равны О. Вектор й называется однородной компонентой ~ степени ~'; если (~ Ц, то ( называется однородным элелоентом степени й Пример: кольцо многочленов Аон от независимых переменных кы ..., х„разлагается как линейное пространство в прямую сумму 6)А,."', где А<,"' состоит нз однородных многочленов степени й ю.— о Заметим, что если интерпретировать х; как координатные функции на линейном пространстве Е, а элементы Аеч как полиномиальные функции на этом пространстве, то линейные обратимые замены координат сохраняют однородность и степень.
Другой пример: 1=® 1 (г'), где Р— некоторое алгебраиа-з ческое многообразие. Очевидно, 1с: Лин н 1,(г') =Лф Д1. Более общо, градуированное подпросгрансгво М градуированного пространства 1. = ® 1н — это линейное подпространство, с-о обладающее следующим свойством: М = Я(М П Ц). Очевидное г-о равносильное условие: все однородные компоненты любого элемента М сами являются элементами М. Если М с: 1, — пара, состоящая из градуированного пространства и его градуированного надпространства, то факторпространство 1./М также обладает естественной градуировкой.
Именно, рассмотрим естественное линейное отображение (суммы справа конечны). Оно сюръективно, потому что любой эле- Э мент 1,1ь 1,~1„есть образ элемента ~ (1,+М~). Оно инъек~га ь=в тивно, ибо если 2 1,+М=М, тоХ1;яМ и 1кМ в силу а > г-ь однородности М. Поэтому это отображение — нзоморфизм, и мы можем определить градуировку 1./М, положив (1./М)~= Ц/Мь Семейство градуированных подпространств в 1. замкнуто относительно пересечений и сумм, и все обычные изоморфизмы линейной алгебры имеют очевидные градуированные варианты.
3. Градуированные кольца. Пусть А — градуированное линейное пространство над м, являющееся в то же время коммутативной Л'-алгеброй с единицей, умножение в которой подчинено условию АсА с: Л,+р Тогда А называется градуированным кольцом (точнее, градуированной Л!'-алгеброй). Так как Л'А;с:Ль имеем Л'с: А,. Важней. ший пример †коль многочленов Лы>; в ннх, конечно, А'"1=- Х. 4. Градуированныеидеалы.Идеалом 1 в произнольном коммутативпом кольце А называется подмножество, образующее аддитивную подгруппу Л и замкнутое относительно умножения на элементы А: если (~1 и аевЛ, то а1е=1.
Градуированным идеалом в градуированном кольце А называется идеал, который как ."м-надпространство А градуирован, т. е. 1=Р 1„, 1ся=!ПЛ . Основной пример: идеалы 1 (Р) алгебраических многообразий в кольцах многочленов А<м. Стандартная конструкция идеалов такова: пусть 5с: А — любое подмножество элементов. Тогда множество всех конечных линейных комбинаций ) ~ ар,1а;ен А~ (в~ ~8 является идеалом в А, порожденным множеством 5. Множество 5 называется системой образующих этого идеала.
Если идеал имеет конечное число образующих, то он называется конечно порожденным. В градуированном случае достаточно рассматривать множества 5, состоящие только из однородных элементов; порожленные ими идеалы тогда автоматически градуированы. Действительно, однородная компонента степени 1 любой линейной комбинации ~ ар, также будет линейной комбинацией )~, а("~)зп гле а(~~!в однородная компонента а~ степени Ь; = ! — бецз; (деде~ — степень з,). Поэтому она лежит в идеале, порожденном 5. Если градуированный идеал конечно порожден, то у него есть конечная система однородных образующих: она состоит из однородных компонент элементов исходной системы.
Для упрощения доказательств следует обобщить понятие градуированного идеала и рассмотреть также градуированные модули. Это — последнее из списка нужных нам понятий. б. Градуированные модули. Модуль М над коммутативным кольцом А, или А-модуль,— это алдитивная группа, снабженная операцией А ХМ-ьМ: (а, т)ь ат, которая ассоциативна ((аЬ)т а(Ьгп) для всех а, Ь е= А, гй ен М) и дистрибутивна по обоим аргументам: (а+ Ь) т =от + Ьт, а (т + и) = от + ап. Кроме того, мы требуем, чтобы 1гп = т для всех т ~ М, где !в единица в Л. Если А — поле, то М вЂ” просто линейное пространство над А; можно сказать, что понятие молуля является обобщением понятия линейного пространства на случай, когда скаляры образу|от лишь кольцо (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
