1611141239-59b1d3750d66507674a4c54de8111ebf (824983), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Мы получим, прежде всего, что если на двух проективных прямых заданы упорядоченные тройки'попарно разных точек (это и есть здесь условие общности поло>кения), то существует единственный проективный изоморфизм прямых, переводящий одну тройку в другую. Далее, пусть задана четверка попарно разных точек (рь рм рм р4) с: Р' с координатами (1: 0), (О: 1), (1:!) и (х|.х») в приспособленной системе. Тогда х»Ф О. Положим ( Рт Р» Ро Ра )= х~хэ ° Это число называется двойным отношением четверки точек (р>). Необычный порядок объясняется желанием сохранить согласованность с классическим определением: в аффинной карте, где р» —— сю, р»=0, р, =1, координаты точек в квадратных скобках располагаются так: (О, 1, о, х) „где х и есть двойное отношение этой четверки.
Сам термин чдвойное отношение» происходит из следующей явной формулы для вычисления инварианта (хь хь хь, х4), где х, ~.н на сей раз понимаются как координаты точек рс в произвольной аффинной карте Р'. Согласно результатам п. 4 группа РП).(1) в этой карте представлена дробно-линейными преобразованиями вида х с — с + л, аа — Ьс Ф О.
Такое преобразование, переводячх+ Ь сх+ с! ' щее (хь хз, хз) в (О, 1, со), имеет вид хс — х . хс — хс х хс — х хс — Хз Подставляя сюда х=хс, находим хс — х, хс — хс (хь хз, хз, хс) =— хз .сс хс хс Еще одна классическая конструкция, связанная с утверждением а) теоремы п. 8 для и = 1, описывает представление симметрической группы Яз дробно-линейными преобразованиями.
Согласно этой теореме любая перестановка (рь рз, рз)~ — ~(рмс>, рсм» Ресз!) тРех точек на пРоективной пРЯмой индУциРована единственным проективным преобразованием этой прямой. В аффинной карте, где (рь рь рз) = (О, 1, со), эти проективные преобразования представлены дробно-линейными преобразованиями 1 1 х — 1 х хс — «1х,—,1 — х,—, —, — 1.
х' 1-х' х ' х — 11' Перейдем теперь к изучению проекций. 1О. Пусть линейное пространство Т. представлено в виде прямой суммы двух своих подпространств размерности ~ 1: ь = с'.с Ю ьз. Положим Р = Р(1.), Рс = Р(1.с). Как было показано в п. 1, линейная проекция 1: (.-э. 1,„ 1(1с + 1з) = 1сь (с еп Т.с, индуцирует отображение Р()) Р' Р,-+Р„ которое мы будем называть проекцией из центра Рс на Рз. Чтобы описать всю ситуацию в чисто проективных терминах, заметим следующее. а) с)1гпРс+61псРз б)пзР— 1 и Р,ПРз=о. Наоборот, любая конфигурация (Рь Р,) с такими свойствами происходит из единственного прямого разложения Т.
Е,с Ю Тз. б) Если а ~ Рз, то Р(1) а = а; если а ~ Р" (Рс () Рз), то Р Ц) а определяется как точка пересечения с Р, единственной проективной прямой в Р, пересекающейся с Р, и Р, и проходящей через а. Действительно, случай а е= Рз очевиден. Если а ф Р, () Р,, то на языке пространства Т, нужный нам результат формулируется так: через любую прямую (,а~ С, не лежащую в с".! и ьз, проходит единственная плоскость, пересекающаяся с Е! и Е, по прямым, и ее пересечение с Т.з совпадает с ее проекцией на (.з. В самом деле, одна плоскость с этим свойством есть: она натянута иа проекции йз на Ес и с.з соответственно.
Существование двух таких плоскостей влекло бы существование двух разных разложений ненулевого вектора 1,«: =Цс в сумму двух векторов нз А, и (.» соответственно, что невозможно, нбо ь = «ч Ю ь» Поскольку описанная проективная конструкция отображения Р-» Р,Р, поднимается до линейной, мы сразу же получаем, что для любого подпространства Р' ~ Р ,Р, ограничение проекции Р'- Р, является проективным отображением, т. е. имеет вид Р(й), где д — некоторое линейное отображен«е соответствующих векторных пространств. В важном частном случае, когда Р, — точка, Р» — гиперплоскость, отображение проекции из центра Р, на Р, переводит точку а в ее образ на Рм видимый наблюдателем из Рь Поэтому отношение между некоторой фигурой и ее проекцией в таком случае называют еще перспективным.
Интуитивно менее очевидна, например, проекция из прямой на прямую в Р» (рис. 5, 6). Рис. В Рнс. 6 Важное свойство проекций, которое следует иметь в виду, состоит в следующем: если Р'~ Р,Р„то проекция из центра Р, определяет проекгивный изоиор4изм Р' и его образа в Рь Действительно, на языке линейных пространств это означает, что проекция 1: Е., Ю1»-»ь» индуцирует изоморфизм М с ЦМ), где М~ ь — любое подпространство с 1.~ ПМ = (0). Это так, нбо 1., = Кег(.
11. Поведение проекции вблизи центра. Ограничимся дальше рассмотрением проекций из точки р1 = а ев Р н попытаемся понять, что происходит с точками, находящимися вблизи центра. В случае Х К и С, когда действительно можно говорить о близости точек, картина такова: в точке а нарушаетс«непрерывность проекции, ибо точки Ь, как угодно близкие к а, но подходящие к а «с разных сторон», проектируются в далеко отстоящие друг от друга точки р». Именно это свойство проекции лежит в основе ее приложений к разного типа вопросам о «разрешении особенностей». Если в Р лежит некая «фнгура» (алгебраическое многообразие, векторное поле), имеющая вблизи точки а необычное строение, то, проектируя ее из точки а, мы можем растянуть окрестность этой точки н увидеть, что в ней прои-хо .чт.
в увеличенном масштабе, причем коэффициент увеличения прн приближении к а безгранично растет. Хотя эти приложения относятся к существенно нелинейным ситуациям (трнвиализируясь в линейных моделях), стоит разобраться в структуре проекции вблизи ее центра несколько подробнее, насколько это можно сделать, оставаясь в рамках линейной геометрии. 12. Введем в Р(Ц проектнвную систему координат, в которой центром проекции является точка (О, ..., О, 1), а Ро = Р"-' состоит из точек (хо. х~...... х„ ~.
.0); чтобы добиться этого, следует выбрать в Е базис, являющийся объединением базисов в Гч и ьо (поскольку центр — точка, бпп Г., = 1). Нетрудно видеть, что тогда точка (х,: ...: х„) проектируется в (хо.....' х б 0). Дополнение Л к Р, снабжено аффинной системой координат (уо, ..., у„,)=(хо(х„, ..., х„,(х„) с началом О в центре проекции. Рассмотрим прямое произведение А Х Ро Л Х Р"-' и в нем график Го отображения проекции, которое, напомним, определено только на А",(О).
Этот график состоит из пар то- 4 чек с координатамн з ((х,/х„, ..., х„1/х„), (х,:...: х„,)), 2 где не все хо, ..., х„~ равны нулю одновременно. Увеличим график Го, добавив к нему над' точкой О ~ А множесгво (0)Х Р"- Л Х 1"-, Г = Го () (0) Х Р" ', в соответствии с геометрической интуицией, согласно которой при проекции нз 0 центр «переходит во все пространство Р» — 1» Множество Г обладает рядом хоро- ших свойств.
а) Г состоит в точности из пар точек ((уо ° ° у~-~) (ха: ° °: хо-~))» удовлетворяющих системе алгебраических уравнений уох~ — у~х;=0; 1, )=О, ..., п — 1. Действительно, эти уравнения означают, что все миноры матрицы " ' 1 равны нулю, так что ее ранг равен единице (ибо пер- УО - ° ° Уа вая строчка ненулевая) н, значит, вторая строка пропорциональна первой. Если коэффициент пропорциональности не равен нулю, мы получаем точку нз Го, а если равен, то из (0)», Р"-'. б) Отображение à — »А: ((уо,, у, ~), (хо'.-.' х — ~))-»(уо,...
..., у„) является биекцией всюду, кроме слоя над точкой (О), Иными словами, Г получается нз А «вклеиваиием» целого проективного пространства Р»-' вместо одной точки. Говорят, что Г получается из А «раздутием» (Ыогч1п9 пр) точки, или о-процессом с центром в точке О. Прообраз в Г каждой прямой в А, проходящей через точку О, пересекает вклеенное проективное пространство Р†' также по одной точке, но своей для каждой прямой. В случае Л'= К, а 2 можно представлять себе аффинную карту вклеенного проективного пространства Р, как ось винта мясорубки Г, делающего полоборота на протяжении своей бесконечной длины (рис. 7).
Реальное применение проекции к исследованию особенности в точке' О еп А связано с переносом интересующей нас фигуры с А на Г и рассмотрению геометрии ее прообраза вблизи вклеенного пространства Р"-'. При этом, например, прообраз алгебраического многообразия будет алгебраичен благодаря тому, что Г задаетсч алгебраическими уравнениями. $9. Конфигурации Дезарга и Паппа и классическая проективная геометрия 1. Классическая синтетическая проективная геометрия была в значительной мере посвящена изучению семейства подпространств в проективном пространстве с отношением ннцндентности; свойства этого отношения можно положить в основу аксиоматики.
и прийти затем к современному определению пространств Р(Е) и поля скаляров Х так, что Е и Л' появятся как производные структуры. В таком построении большую роль играют две конфигурации— Дезарга и Паппа. Мы введем и изучим их в рамках наших определений и затем вкратце опишем их роль в синтетической теории. 2. Конфигурация Дезарга.
Пусть Я в семейство точек в проективном пространстве. Символом Л мы будем обозначать его проектнвную оболочку. Рассмотрим в трехмерном проективном пространстве упорядоченную шестерку точек (рь рг, рз' дь дь дз). Предполагается, что точки попарно разные и что р~ряра и ц~~~ц~ суть плоскости. Далее, пусть прямые р дь ргдг н рздз пересекаются в одной точке г, отлинной от р~ и дь Иными словами, «треугольники» р~ргрз и дгдгдз «перспектнвны», и каждый из них есть проекция другого нз центра г, если они лежат в разных плоскостях. Тогда для любой пары различных индексов (й 1) с: (1, 2, 3) прямые р;р; и д,~д не совпадают, иначе мы имели бы р; дь нбо рг и д~ суть точгси пересечения этих прямых с прямой р~д~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
