1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. −2 0 2 − n 3 − n . . . −1 D = n · (−1)n−1 · . ............................ 0−10...0 Àíàëîãè÷íî ïåðåñòàâèì ïîñëåäíèé ñòîëáåö ïîëó÷åííîãî îïðåäåëèòåëÿ íàìåñòî âòîðîãî. Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü èçìåíèò çíàê n − 2 ðàçà. −1 −2 1 − n 2 − n . . . −3 0 −1 2 − n 3 − n . . . −2 D = n · (−1)(n−1)+(n−2) · . .................................. 00−10...0 Ïðîäîëæàÿ òàê äàëåå ïåðåñòàâëÿòü ñòîëáöû, ïîëó÷èì −1 −2 .
. . 1 − n−1 . . . 2 − n(n−1)+(n−2)+...+1 0D =n · (−1)·.................... 00 ...−1=n · (−1)n(n−1)2· (−1)n−1 = (−1)(n−1)(n+2)2· n.JÌåòîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé.Îïðåäåëèòåëü âûðàæàþò, ïðåîáðàçóÿ è ðàçëàãàÿ ïî ñòðîêå èëè ñòîëáöó, ÷åðåç îïðåäåëèòåëè, íî. Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿñîîòíîøåíèåì.Ïî îáùåìó âèäó îïðåäåëèòåëÿ âû÷èñëÿþò ñòîëüêî îïðåäåëèòåëåé íèçøèõ ïîðÿäêîâ, ñêîëüêî èõ áûëî â ïðàâîé÷àñòè ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ. Îïðåäåëèòåëè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ âû÷èñëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî èç ðåêêóðåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ.
Ïðèýòîì, âû÷èñëèâ èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ íåñêîëüêî îïðåäåëèòåëåéìàëûõ ïîðÿäêîâ, ñòàðàþòñÿ çàìåòèòü âèä èñêîìîãî âûðàæåíèÿ, à çàòåìäîêàçûâàþò ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðè ëþáîì n ñ ïîìîùüþðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ è èíäóêöèè ïî n. ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùåå îïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà, ïîäñòàâëÿþò âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿ(n − 1)-ãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åííîå èç òîãî æå ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿçàìåíîé n íà n − 1, äàëåå ïîäñòàâëÿþò àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (n−2)-ãî ïîðÿäêà è ò.ä., ïîêà íå âûÿñíèòñÿ âèä èñêîìîãî îáùåãîâûðàæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ n-ãî ïîðÿäêà.âèäàíûììåíüøåãî ïîðÿäêàI ñïîñîá (¾ñíèçó ââåðõ¿).II ñïîñîá (¾ñâåðõó âíèç¿).67òîãî æåðåêóððåíò-Ìîæíî êîìáèíèðîâàòü îáà ïóòè, èñïîëüçóÿ âòîðîé ñïîñîá äëÿ íàõîæäåíèÿ îáùåãî âèäà âûðàæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ n-ãî ïîðÿäêà, à çàòåì äîêàçûâàÿ ñïðàâåäëèâîñòü äàííîãî âûðàæåíèÿ ïî èíäóêöèè.Ïðèìåð 42 Âû÷èñëèòå ìåòîäîì ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé îïðåäåëè-òåëü...
0 0 5 6 0 0 0 4 5 2 0 0... 0 0 0 1 3 2 0... 0 0... 0 0Dn = 0 0 1 3 2 ................................ 0 0 0 0 0... 3 200000...13.I Áóäåì ðàñêëàäûâàòü äàííûé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåé ñòðîêå.... 0 0 5 6 0 0 0 4 5 2 0 0... 0 0 0 1 3 2 0... 0 0... 0 0Dn = (−1)n+n · 3 · Dn−1 + (−1)n+(n−1) 0 0 1 3 2 ................................ 0 0 0 0 0...
3 000000...12.Äàëåå ðàçëîæèì âòîðîé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó. Ïîëó÷èìðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèåDn = 3 · Dn−1 − 2 · Dn−2 .Äàííîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âûðàæåíèþ âèäàDn − Dn−1 = 2 · (Dn−1 − Dn−2 )èëèDn − 2Dn−1 = Dn−1 − 2Dn−2 .Ðàññìîòðèì ïåðâîå èç íèõ. Èñïîëüçóÿ ýòî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ Dn−1 −Dn−2 è ïîäñòàâèì åãî â èñõîäíîå (ìåòîä ¾ñâåðõó âíèç¿).Dn − Dn−1 = 2 · (Dn−1 − Dn−2 ) = 22 · (Dn−2 − Dn−3 ).Ïðîäîëæàÿ òàê äàëåå, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ Dn − Dn−1 ÷åðåç îïðåäåëèòåëè íàèìåíüøèõ ïîðÿäêîâ D2 è D1 , êîòîðûå ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 1è 5.Dn − Dn−1 = 2n−2 · (D2 − D1 ) = −2n .68Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå ñëåäñòâèå ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿDn − 2Dn−1 = Dn−1 − 2Dn−2 .Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, íàõîäèì çíà÷åíèå Dn − 2Dn−1 :Dn − 2Dn−1 = Dn−1 − 2Dn−2 = . .
. = D2 − 2D1 = −9.Èç ñèñòåìû ðàâåíñòâDn − Dn−1 = −2n ,Dn − 2Dn−1 = −9,íàõîäèì Dn−1 = 9. Òîãäà Dn = Dn−1 − 2n = 9 − 2n .JÏðåäñòàâëåíèå îïðåäåëèòåëÿ â âèäå ñóììû îïðåäåëèòåëåé.Íåêîòîðûå îïðåäåëèòåëè ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿâ ñóììó îïðåäåëèòåëåé òîãî æå ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ñòðîê (ñòîëáöîâ).Ïðèìåð 43 Ïðåäñòàâèâ îïðåäåëèòåëü â âèäå ñóììû äâóõ îïðåäåëåòåëåé, âû÷èñëèòåDn = x1a1 b2 a1 b3 . . . a1 bna2 b1x2a2 b3 . .
. a2 bna3 b1 a3 b2x3. . . a3 bn..............................an b1 an b2 an b3 . . .xn.I Ê xn ïðèáàâèì è âû÷òåì an bn . Òîãäà ïîñëåäíèé ñòîëáåö äàííîãî îïðåäåëèòåëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ñòîëáöîâ, à ñàì îïðåäåëèòåëü â âèäå ñóììû äâóõ îïðåäåëèòåëåé, îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî ïîñëåäíèìè ñòîëáöàìè. x1a1 b2 .
. .a1 bnx2...a2 bn a2 b1Dn = ...................................... an b1 an b2 . . . (xn − an bn ) + an bn x1a1 b2 . . . a1 bn x1a1 b2 . . .0 x2. . . a2 bn a2 b1x2...0 a2 b1=+. ....................... .............................
an b1 an b2 . . . an bn an b1 an b2 . . . xn − an bn Ðàñêëàäûâàÿ âòîðîé îïðåäåëèòåëü â ñóììå ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó, ïîëó÷èì îïðåäåëèòåëü òîãî æå âèäà, ÷òî è èñõîäíûé, òîëüêî ïîðÿäêà n − 1.Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ïåðâûé îïðåäåëèòåëü â ñóììå. Âû÷èñëèì åãîìåòîäîì ïðèâåäåíèÿ ê òðåóãîëüíîìó âèäó. Çàìåòèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû69ïîñëåäíåé ñòðîêè êðàòíû an . Âûíåñåì an èç ïîñëåäíåé ñòðîêè è, ïîñëåäîâàòåëüíî äîìíîæàÿ åå íà ai , áóäåì âû÷èòàòü èç i-îé ñòðîêè, ãäå1 ≤ i ≤ (n − 1).
x1 x1 a1 b2 . . . a1 bn a1 b2 . . . a1 bn x2. . . a2 bn a2 b1 a2 b1 x2 . . . a2 bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = an · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an b1 an b2 . . . an bn b1b2...bn x1 − a1 b10... 0 0x2 − a2 b2 . . . 0 = an · . .............................. b1b2. . . bn Ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü îïðåäåëèòåëü íèæíåòðåóãîëüíîé. Îí ðàâåíïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ñëåäîâàòåëüíî, x1a1 b2 .
. . a1 bn x2. . . a2 bn a2 b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = an bn (x1 − a1 b1 )(x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 ). an b1 an b2 . . . an bn Èòàê, ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ Dn èìååò âèäDn = (x1 − a1 b1 )(x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 )an bn + (xn − an bn )Dn−1 .Èñïîëüçóÿ ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, íàõîäèìDn =(x1 − a1 b1 )(x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 )an bn+ (x1 − a1 b1 ) . .
. (xn−2 − an−2 bn−2 )(xn − an bn )an−1 bn−1+ (xn − an bn )(xn−1 − an−1 bn−1 )Dn−2 .Ïðîäîëæàÿ òàê äàëåå, íàõîäèìDn =(x1 − a1 b1 )(x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 )an bn+ (x1 − a1 b1 ) . . . (xn−2 − an−2 bn−2 )(xn − an bn )an−1 bn−1 + . . .+ (x2 − a2 b2 ) . . . (xn−1 − an−1 bn−1 )(xn − an bn )a1 b1 .QÂûíåñÿ ìíîæèòåëü(xi − ai bi ), ïîëó÷èì âûðàæåíèå îïðåäåëèòåëÿ1≤i≤nDn =Y(xi − ai bi ) ×1≤i≤nX1≤j≤naj bj.xj − aj bjJ70Âûäåëåíèå ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé.Îïðåäåëèòåëü ðàññìàòðèâàåòñÿêàê ìíîãî÷ëåí îò îäíîé èëè íåñêîëüêèõ âõîäÿùèõ â íåãî áóêâ.
Ïðåîáðàçóÿåãî, âûÿñíÿþò, ÷òî îí äåëèòñÿ íà ðÿä ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé, à çíà÷èò, åñëèýòè ìíîæèòåëè âçàèìíî ïðîñòû, è íà èõ ïðîèçâåäåíèå.Ñðàâíèâàÿ îòäåëüíûå ÷ëåíû îïðåäåëèòåëÿ ñ ÷ëåíàìè ïðîèçâåäåíèÿìíîæèòåëåé, íàõîäÿò ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ íà ýòî ïðîèçâåäåíèå è òåì ñàìûì íàõîäÿò ñàì îïðåäåëèòåëü.Ïðèìåð 44 Âû÷èñëèòå ìåòîäîì âûäåëåíèÿ ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà n-ãî ïîðÿäêàDn = 1 x1 x21 . . . x1n−11 x2 x22 . . . xn−12.......................1 xn x2n .
. . xn−1n.I Ðàññìîòðèì Dn êàê ìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííîé xn â êîýôôèöèåíòàìè,çàâèñÿùèìè îò x1 , x2 , . . . , xn−1 . Âèäèì, ÷òî Dn îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèxn = x1 , xn = x2 , . . . , xn = xn−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, Dn äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåíû xn − x1 , xn − x2 , . . . , xn − xn−1 . Òàê êàê âñå ýòè ìíîãî÷ëåíû âçàèìíîïðîñòû, òî Dn äåëèòñÿ è íà èõ ïðîèçâåäåíèå, ò.å.Dn = q · (xn − x1 )(xn − x2 ) . .
. (xn − xn−1 ),(∗)ãäå q íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí, çàâèñÿùèé îò x1 , x2 , . . . , xn .Ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü Âàðäåðìîíäà ïî ïîñëåäíåé ñòðîêå, âèäèì, ÷òîîí ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n − 1 îò xn , ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðèñòàðøåì ÷ëåíå xn−1ðàâåí Dn−1 :nDn = Dn−1 xn−1+ ìëàäøèå ÷ëåíû.nÑ äðóãîé ñòîðîíû, èç ðàâåíñòâà (∗) êîýôôèöèåíò ïðè xn−1ðàâåí q .nÑëåäîâàòåëüíî,q = Dn−1 .Ïîëó÷èëè ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëóDn = Dn−1 (xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 ).Îòêóäà íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿYDn =(xi − xj ).1≤j<i≤nJÍåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëåé71Ðàíã ìàòðèöû ïî ìèíîðàì. Ìåòîä îêàéìëÿþùèõ ìèíîðîâ.
Ðàíãîì ïî ìèíîðàì ïðîèçâîëüíîé (íåîáÿçàòåëüíî êâàäðàòíîé) ìàòðèöû A íàçûâàþò íàèáîëüøèé ïîðÿäîê rkM A åå ìèíîðà ñ íåíóëåâûì çíà÷åíèåì.Òåîðåìà 22 Ðàíã ìàòðèöû ïî ìèíîðàì ðàâåí åå ðàíãó ïî ñòðîêàì/ñòîëáöàì.Îêàéìëÿþùèì ìèíîðîì äàííîãî ìèíîðà M ìàòðèöû A íàçûâàþò êàæ-f, âû÷åðêèâàíèå èç êîòîðîãî êðàéíåé ñòðîêè è êðàéíåãîäûé ìèíîð Mñòîëáöà äàåò M .Òåîðåìà 23 Ðàíã A ïî ìèíîðàì ðàâåí òàêîìó ÷èñëó r, ÷òî ó A èìååòñÿíåíóëåâîé ìèíîð M ïîðÿäêà r, à çíà÷åíèÿ âñåõ ìèíîðîâ A, îêàéìëÿþùèõM , íóëåâûå.Òàêèì îáðàçîì, ïðè âû÷èñëåíèè ðàíãà ìàòðèöû A ïî ìèíîðàì, ñëåäóåòïåðåõîäèòü îò ìèíîðîâ ìåíüøèõ ïîðÿäêîâ ê ìèíîðàì ìåíüøèõ ïîðÿäêîâ.Åñëè M 6= 0 ïîðÿäêà r, òî ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ëèøü ìèíîðû ïîðÿäêà r + 1,îêàéìëÿþùèå M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
