1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. Nuk....... . . Nhk ukÝëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ æîðäàíîé òàáëèöû.(1) Èñêëþ÷åíèå íóëåâîãî âåêòîðà íà âûñîòå 1 ñî ñäâèãîì âñåé öåïèâíèç.(2) Óìíîæåíèå íà α 6= 0.(3) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé öåïè âûñîòû h îòðåçêà âûcîòû h äðóãîé öåïè(âûñîòû ≥ h).(4) Ïåðåñòàíîâêà öåïåé.Òåîðåìà 37 Åñëè â æîðäàíîâîé ñèñòåìå âåêòîðû íà âûñîòå 1 ëèíåéíîíåçàâèñèìû, òî âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà.Òåîðåìà 38 Äëÿ âñÿêîãî íèëüïîòåíòíîãî îïåðàòîðà N : V → V ñóùåñòâóåò áàçèñ V , ÿâëÿþùèéñÿ æîðäàíîâîé ñèñòåìîé. Ïðè ýòîì ÷èñëî chíèëü-öåïåé âûñîòû h íå çàâèñèò îò âûáîðà æîðäàíîâîé ñèñòåìû è ðàâíîch = rh−1 − 2rh + rh+1 ,ãäå ri = dim Ni(V).Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ æîðäàíîâîé áàçû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî íèëüïîòåíòíîãî îïåðàòîðà.(1) Ïóñòü e1 ∈ V áàçèñíûé âåêòîð. Âû÷èñëèòü íèëü-öåïü ñ íà÷àëîìâ e1 :e1 , Ne1 , N2 e1 , .
. . , Nh−1 e1 6= 0,åñëè Nh e1 = 0. Çàïèñàòü ýòîò ñòîëáåö â æîðäàíîâó òàáëèöó.95(*) Åñëè ÷èñëî âåêòîðîâ â æîðäàíîâîé òàáëèöå ðàâíî ðàçìåðíîñòè âñåãî ïðîñòðàíñòâà V , òî îíè îáðàçóþò áàçó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïåðåéòè êï. 2.(2) Äîïîëíèòü òàáëèöó íèëü-öåïüþ ñ íà÷àëîì â íîâîì âåêòîðå ei .(3) Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè íèëü-öåïåé ïåðåñòðîèòü æîðäàíîâó òàáëèöó òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñèñòåìà âåòîðîâ íà âûñîòå 1 áûëàëèíåéíî íåçàâèñèìà.Ïåðåéòè ê (*).(4) Ïåðåíóìåðîâàòü âåêòîðû â æîðäàíîâîé ñèñòåìå ñíèçó ââåðõ è ñëåâàíàïðàâî. Íàïðèìåð,v3v2 v5v1 v4 v6Ïðèìåð 61 Íàéòè êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Nè ìàòðèöó ïåðåõîäà ê íîâîìó (æîðäàíîâîìó) áàçèñó, åñëè N çàäàí â íåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöåé"N=21−142−284−4#I Ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χN (λ) = −λ3 .
Îí èìååòòðîéíîé êîðåíü 0:Spec N = {0}.Äàëåå âîçâîäèì N â ñòåïåíü ≤ 3 = dim R3 . Îäíàêî óæå"2N =21−142−284−4#2"=000000000#.Ñëåäîâàòåëüíî, N : R3 → R3 íèëüïîòåíòíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð, ñòåïåíü íèëüïîòåíòíîñòè N ðàâíà 2, ò. å. N2 = O è 2 íàèìåíüøåå ÷èñëî ñýòèì ñâîéñòâîì.Ïîñòðîèì æîðäàíîâ áàçèñ äëÿ îïåðàòîðà N.
 êà÷åñòâå èñõîäíîãî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà R3 ìîæíî âçÿòü ñòàíäàðòíûé áàçèñ.Ïóñòü e1 = [1, 0, 0]T . Ñòðîèì íèëü-öåïü ñ íà÷àëîì â âåêòîðå e1 :e1 = [1, 0, 0]T ,"Ne1 =21−142−284−4# "·100#Çàïèñûâàåì ýòè âåêòîðû â æîðäàíîâó òàáëèöó:96"=21−1#,N2 e1 = 0.10021−1Òàê êàê êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ â æîðäàíîâîé òàáëèöå ðàâíî 2 < dim R3 ,òî áåðåì ñëåäóþùèé áàçèñíûé âåêòîð e2 = [0, 1, 0]T ïðîñòðàíñòâà R3 èñòðîèì íèëü-öåïü ñ íà÷àëîì â e2 :"# " # "#e2 = [0, 1, 0]T , Ne2 =21−142−284−4·010=42−2,N2 e2 = 0.Äîïèñûâàåì íàéäåííóþ íèëü-öåïü â æîðäàíîâó òàáëèöó:10021−1âûñîòà 2âûñîòà 101042−2Âèäèì, ÷òî âåêòîðû [2, 1, −1]T è [4, 2, −2]T âûñîòû 1 ëèíåéíî çàâèñèìû.Ïðåîáðàçóåì æîðäàíîâó òàáëèöó òàê, ÷òîáû âåêòîðû âûñîòû 1 áûëè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Äëÿ ýòîãî âû÷òåì èç âòîðîãî ñòîëáöà óäâîåííûé ïåðâûé:10021−110021−101042−2−210000Èñêëþ÷àåì íóëåâîé âåêòîð íà âûñîòå 1 ñäâèãîì âñåé öåïè âíèç:10021−1−21000010021−1−210Òàê êàê ÷èñëî âåêòîðîâ â òàáëèöå ðàâíî 3 = dim R3 , òî íàéäåííûå âåêòîðûîáðàçóþò æîðäàíîâ áàçèñ: f1 = [2, 1, −1]T , f2 = [1, 0, 0]T , f3 = [−2, 1, 0]T .97Íàéäåì ìàòðèöó îïåðàòîðà N â ýòîì áàçèñå. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì"# "# " #Nf1 ="Nf2 ="Nf3 =21−142−284−421−121−142−284−4# "21−142−284−4# "·100·#·"=−210#0N = 0010000 ,0T =#000#=21−1,21−1"Òîãäà ìàòðèöà îïåðàòîðà â æîðäàíîâîì áàçèñå"0000=100= f1 ,.−210#,ãäå T ìàòðèöà ïåðåõîäà ê æîðäàíîâîìó áàçèñó.
Âåðòèêàëüíàÿ è ãîðè0çîíàëüíàÿ ëèíèè ðàçäåëÿþò æîðäàíîâó ìàòðèöó N íà äâå ïîäìàòðèöû0010è [0] æîðäàíîâû êëåòêè.JÎáùèé ñëó÷àéÏóñòü V = V(λ1 )⊕V(λ2 )⊕. . .⊕V(λs ) êîðíåâîå ðàçëîæåíèå ïðîñòðàíñòâàV îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λ1 , λ2 , . . . , λsñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì Ni = (A − λi E)|V(λi ) .
Òàê êàêV(λi ) = Ker(A − λi E)ki ,òî Nki i |V(λi ) = O è Ni íèëüïîòåíòíûé îïåðàòîð íà V(λi ).Æîðäàíîâà íîðìàëüíàÿ ôîðìà (ìàòðèöû) ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Æîðäàíîâîé êëåòêîé J (λ) ïîðÿäêà k ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λkíà ãëàâíîé äèàãîíàëè íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà âèäà:λ10...0 0 λ 1 ... 0Jk (λ) = . . . . . . . . . .
. . . . . . . 0 0 0 ... 100|0{zk98....λ}Æîðäàíîâîé íîðìàëüíîé ôîðìîé ìàòðèöû A ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A íà-çûâàåòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, íà äèàãîíàëè êîòîðîé ñòîÿò æîðäàíîâû êëåòêè:Jk1 (λ1 )Jk2 (λ2 )J(A) = ...,Jks (λs )ãäå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 , λ2 , . . .
, λs íå îáÿçàòåëüíî âñå ðàçëè÷íû.Ïóñòü k íàèâûñøèé ïîðÿäîê æîðäàíîâûõ êëåòîê Jt (λ) íà ãëàâíîéäèàãîíàëè; ri = dim Ni (V). Òîãäà ÷èñëî ch òàêèõ êëåòîê ïîðÿäêà h (h =1, 2, . . . , k ) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåch = rh−1 − 2rh + rh+1 , h = 1, 2, . . . , k.Òåîðåìà 39 Äëÿ âñÿêîãî îïåðàòîðà A íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V íàäýêâèâàëåíòíû óòâåðæåíèÿ:(1) õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χA(t) âïîëíå ðàçëîæèì íàä F;(2) ñóùåñòâóåò áàçèñ â V , â êîòîðîì A çàäàåòñÿ æîðäàíîâîé ìàòðèöåé.FÀëãîðèòì íàõîæäåíèÿ æîðäàíîâîé ôîðìû ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.(1) Íàéòè êîðíåâîå ðàçëîæåíèå ïðîñòðàíñòâà V = V(λ1 ) ⊕ . . .
⊕ V(λs )îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λ1 , . . . , λs .(2) Íà êàæäîì êîðíåâîì ïîäïðîñòðàíñòâå V(λi ) (i = 1, . . . , s) ðàññìîòðåòü íèëüïîòåíòíûé îïåðàòîð Ni : V(λi ) → V(λi ); äëÿ íåãî ïîñòðîèòüæîðäàíîâó ñèñòåìó è íàéòè æîðäàíîâó íîðìàëüíóþ ôîðìó.(3) Æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöû A îïåðàòîðà A ïîëó÷àåòñÿ îáúåäèíåíèåì íàéäåííûõ æîðäàíîâûõ êëåòîê, à æîðäàíîâà ñèñòåìà îïåðàòîðàA ïîëó÷àåòñÿ îáúåäèíåíèåì æîðäàíîâûõ ñèñòåì âñåõ êîðíåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.Ïðèìåð 62 Íàéäèòå æîðäàíîâó íîðìàëüíóþ ôîðìó ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, çàäàííîãî ìàòðèöåé0 −1A=−12651−499−2−1−1421 .−1 2I Íàéäåì êîðíåâîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà A. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χA (λ) = λ(λ − 2)3 è íàéäåì åãî êîðíè: ïðîñòîéêîðåíü λ = 0 è òðîéíîé êîðåíü λ = 2. ðàçëîæåíèè V = V(0) ⊕ V(2) êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî V(0) ðàâíîñîáñòâåííîìó ïîäïðîñòðàíñòâó V 0 = Ker(A − 0 · E) = Ker A, òàê êàê λ = 0 ïðîñòîé êîðåíü.
Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîå ïðÿìîå ñëàãàåìîå V(2) áóäåòîáðàçîì Im(A − 0 · E) = Im A. Èñïîëüçóåì ýòî çàìå÷àíèå äëÿ íàõîæäåíèÿêîðíåâîãî ðàçëîæåíèÿ.Èòàê, íàéäåì êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî V(0):236666666666410000022010001110010100106−22000000011−3−3−2−15−110200−11−1−1−24202−4426−10−6077777777775××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)= A(4) + A(3)= A(2) − 3A(4)= A(6) + 2A(1)= A(5) + A(7) .Âûïèøåì îñòàâøèåñÿ ñòðîêè ïîëó÷åííîé ìàòðèöû:3206 164 220011000110−3−220001−100−1−1202A(7)2 77 A(4)−6 5 A(1)A(8) .0Íàõîäèì áàçèñû êîðíåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ: V(0) = Ker A = h[2, 1, 1, −2]T iè V(2) = Im A = h[2, 1, −1, 2]T [0, 1, 1, −2]T , [0, 0, 1, −3]T i.Ïîñêîëüêó êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî V(0) îäíîìåðíî, òî æîðäàíîâ áàçèñ íà ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå ñîâïàäàåò ñ [2, 1, 1, −2]T , à æîðäàíîâà êëåòêàîïåðàòîðà A èìååò âèä [0].Íàéäåì æîðäàâíîâó ñèñòåìó äëÿ V(2).
Îïåðàòîð N = A − 2E íèëüïîòåíòåí íà V(2). Åãî ìàòðèöà:−2 −1N = A − 2E = −12631−4−2−1−3421 .−1 0Ïîñòðîèì íèëü-öåïü â íà÷àëîì â âåêòîðå e1 = [2, 1, −1, 2]T : −2e1 , −1Ne1 = −12631−4−2−1−342281 1 4 ·=,−1 −1 0 02−4100N2 e1 = 0.Äîáàâëÿåì íàéäåííóþ íèëüöåïü â æîðäàíîâó òàáëèöó:21−12840−4×èñëî âåêòîðîâ â òàáëèöå ðàâíî 2 < dim V(2) = 3. Ïîýòîìó ïîñòðîèìåùå îäíó íèëü-öåïü ñ íà÷àëîì â âåêòîðå e2 = [0, 1, 1, −2]T : e2 , Ne2 = 0, èäîïèøåì åå â æîðäàíîâó òàáëèöó:21−12840−4011−2Òåïåðü ÷èñëî âåêòîðîâ â æîðäàíîâîé òàáëèöå ðàâíî 3, ïðè÷åì âåêòîðûâûñîòû 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû f1 = [8, 4, 0, −4]T ,f2 = [2, 1, −1, 2]T , f3 = [0, 1, 1, −2]T îáðàçóþò æîðäàíîâó ñèñòåìó ïîäïðîñòðàíñòâà V(2), â êîòîðîì îïåðàòîð A èìååò æîðäàíîâó ôîðìó2 1 0 0 2 0 .0 0 2Çàìåòèì, ÷òî ðàçìåð êàæäîé æîðäàíîâîé êëåòêè ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìλ íà äèàãîíàëè òàêæå ðàâåí âûñîòå íèëü-öåïè.  äàííîì ïðèìåðå ìûíàøëè äâå íèëü-öåïè, âûñîòû 1 è 2, â êîðíåâîì ïîäïðîñòðàíñòâå V(2), âìàòðèöå J(A) èì ñîîòâåòñòâóþò äâå æîðäàíîâûõ êëåòêè ïîðÿäêà 1 è 2,ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòèì öåïÿì.Òåïåðü, ÷òîáû íàéòè æîðäàíîâ áàçèñ âñåãî ïðîñòðàíñòâà V è æîðäàíîâó ôîðìó ìàòðèöû J(A) äîñòàòî÷íî îáúåäèíèòü íàéäåííûå áàçèñû èñîñòàâèòü J(A) èç íàéäåííûõ êëåòîê:2100 0 2 0 0 ,J(A) = 0 0 2 0 000T =0840−421−12011−221 .1 −2J10115.Ôóíêöèè îò ìàòðèöÏóñòü Jn (λ) åñòü æîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêà n ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìλ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè:λ10...0 0 λ 1 ...
0Jn (λ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 1000....λÒîãäà äëÿ ëþáîé ÷èñëîâîé ôóíêöèè f (x), îïðåäåëåííîé â îêðåñòíîñòè λ,èìåþùåé êîíå÷íûå ïðîèçâîäíûå f 0 (λ), . . . , f (n−1) (λ)â ýòîé òî÷êå, çíà÷åíèåôóêíöèè îò æîðäàíîâîé êëåòêè Jn (λ) ðàâíî(n−1)1 01 001f (λ)1!f (λ)2f (λ)...(n−1)!f(λ)11 0 0f (λ) .
. . (n−2)!f (n−2) (λ)f (λ) 1!1f (Jn (λ)) = 00f (λ) . . . (n−3)! f (n−3) (λ) ..............................................000....f (λ)Åñëè ìàòðèöà J ÿâëÿåòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ñ æîðäàíîâûìèêëåêòàìè J1 , J2 , . . . , Jk íà ãëàâíîé äèàãîíàëèJ1J =J2...,Jkòî çíà÷åíèå f (J) ðàâíîJ =f (J1 )f (J2 )....f (Jk )Ïóñòü A ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, J(A) åå æîðäàíîâàíîðìàëüíàÿ ôîðìà, T ìàòðèöà ïåðåõîäà ê æîðäàíîâîìó áàçèñó, ò.å.J(A) = T −1 AT èëè, íàîáîðîò, A = T J(A)T −1 .
Òîãäàf (A) = T f (J(A))T −1 .(♣)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû âû÷èñëèòü ôóíêöèþ f îò ìàòðèöû A,íóæíî:102(1) ïðèâåñòè ìàòðèöó A ê æîðäàíîâîé ôîðìå J è íàéòè æîðäàíîâóñèñòåìó (ìàòðèöó ïåðåõîäà T );(2) âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ôóêíöèè îò êàæäîé èç æîðäàíîâûõ êëåòîê èñîñòàâèòü èç íèõ ìàòðèöó f (J);(3) íàéòè f (A) ïî ôîðìóëå (♣).21exp AA=Ïðèìåð 63 Âû÷èñëèòå, åñëè−4.−2I Íàéäåì æîðäàíîâó ôîðìó ìàòðèöû A. Ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîåóðàâíåíèå χA (λ) = λ2 . Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå èìååò äâîéíîé êîðåíü λ =0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà A íèëüïîòåíòíà, åå êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâîñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì.Ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíûé áàçèñ {e1 , e2 } ïðîñòðàíñòâà R2 . Ïîñòðîèìíèëü-öåïü ñ íà÷àëîì â âåêòîðå e1 : 2 112e1 , Ae1 =·=, A2 e1 = 0.−4 −2−40Òàê êàê âûñîòà íèëü-öåïè ðàâíà 2 = dim R2 , òî âåêòîðû Ae1 , e1 îáðàçóþòæîðäàíîâó ñèñòåìó âåêòîðîâ. Âûïèñûâàåì æîðäàíîâó íîðìàëüíóþ ôîðìóìàòðèöû A è ñ÷èòàåì çíà÷åíèå f (A): 0 0 1 10 1e e=.J(A) ==⇒ f (J(A)) =00 e0 0Òîãäà ìàòðèöà f (A) áóäåò ðàâíà:f (A) = T f (J(A))T −1 =1 20 −41 10 1103144 20 −10 1=1 −1/40−1.J16.Ãåîìåòðèÿ åâêëèäîâûõ è ýðìèòîâûõ ïðîñòðàíñòâÑðàâíèì åâêëèäîâî è ýðìèòîâî ïðîñòðàíñòâî.ÅâêëèäîâîÓíèòàðíîåïðîñòðàíñòâî íàä ÷èñëîâûì ïîëåìRCñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì áèëèíåéíîé ôóíêöèåé, ñòàâÿùåé áèëèíåéíîé ôóíêöèåé, ñòàâÿùåéêàæäîé ïàðå âåêòîðîâ (x, y) òà- êàæäîé ïàðå âåêòîðîâ (x, y) òàêîåêîå÷èñëî, ÷òî äëÿ÷èñëî, ÷òî äëÿ ëþëþáûõ x, y, z ∈ V , α, β ∈ R âûïîë- áûõ x, y, z ∈ V , α, β ∈ C âûïîëíåíåíû ñëåäóþøèå óñëîâèÿ:íû ñëåäóþøèå óñëîâèÿ:(1) (x, y) = (y, x);(1) (x, y) = (y, x);(2) (x, αy + βz) = α(x, y) + β(x, z); (2) (x, αy + βz) = α(x, y) + β(x, z);(3) (x, x) > 0 äëÿ ëþáîãî x 6= 0.(3) (x, x) > 0 äëÿ ëþáîãî x 6= 0.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ÎÍÁnnPP(x, y) =xi yi = X T Y(x, y) =xi yi = X † YâåùåñòâåííîåêîìïëåêñíîåÌàòðèöà Ãðàìà Gi=1i=1= [gij ] = [(ei , ej )] áàçèñà (e1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
