1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå, ñîäåðæàøèå y1 , è âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò:q(Y ) =[y12 + y1 (y3 + y4 )] − y22 − y2 y4 + y2 y3 + y3 y4111=[y1 + y3 + y4 ]2 − (y3 + y4 )2 − y22 − y2 y4 + y2 y3 + y3 y422411 21=[y1 + y3 + y4 ] − y22 + y2 y3 − y2 y4 − [y3 − y4 ]2 .224Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ äëÿ −y22 + y2 y3 − y2 y4 − 14 [y3 − y4 ]2 , íàéäåì êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:1111q(Y ) = [y1 + y3 + y4 ]2 − [y2 − y3 + y4 ]2 .2222Ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå z1 = y1 + 21 y3 + 12 y4 , z2 = y2 − 21 y3 + 12 y4 , z3 = y3è z4 = y4 . Òîãäà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïðèìåò âèä:q(Z) = z12 − z22 .Òåïåðü íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåå êâàäðàòè÷íóþôîðìó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.
Ïåðåïèøåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ âìàòðè÷íîì âèäå:111 01 −1 0 022 0 1 −1 1 11 0 0 22 ·Z · Y,Y =X= 0 0 00 1 0 1 0 00 0 10 00 1Èòàê, ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåå äàííóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó:111 −122 11 − 12 21 · Z.X= 001 0 000 1Çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò îïðåäåëåíî íåîäíîçíà÷íî.JÂåùåñòâåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìûÑëåäñòâèå 11 Äëÿ âñÿêîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q ðàíãà r íà ïðîñòðàíñòâå Fn, íàéäåòñÿ áàçèñ, â êîòîðîìq(X) = c1 x21 + . . . cr x2r ,ãäå ci ∈ F× = F {0}.80 ñëó÷àå F = C êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî ïðèâåñòè ê ñóììå êâàäðàòîâ. Ñëó÷àé F = R ñëîæíåå: íåëüçÿ èçáàâèòñÿ îò ìèíóñîâ.Ñëåäñòâèå 12 Äëÿ âñÿêîé âåùåñòâåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q ñóùåñòâóåò áàçèñ, â êîòîðîì îíà ïðèíèìàåò íîðìàëüíûé âèäq(X) = x21 + .
. . + x2p − x2p+1 − . . . − x2r .Òåîðåìà 29 (çàêîí èíåðöèè) ×èñëà p è r, îïðåäåëÿþùèå âèä íîðìàëü-íûé âèä âåùåñòâåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q, çàâèñÿò òîëüêî îò q èíå çàâèñÿò îò âûáîðà áàçèñà, ïðèâîäÿùåãî åãî ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.×èñëî r íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì èíåðöèè (ðàíãîì) êâàäðàòè÷íîé ôîðìû,p ïîëîæèòåëüíûì èíäåêñîì èíåðöèè, r−p îòðèöàòåëüíûì èíäåêñîìèíåðöèè, 2p − r ñèãíàòóðà.
Èíîãäà ñèãíàòóðîé íàçûâàþò ïàðó ÷èñåë(p, r − p).Èíäåêñèíåðöèèr=np=nr−p=nr−p=0p=0ÄîïîëíèòåëüíûåóñëîâèÿÍàçâàíèåÍåâûðîæäåííàÿÏîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíàÿx 6= 0 =⇒ q(x) > 0Îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíàÿx 6= 0 =⇒ q(x) < 0Íåîòðèöàòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíàÿq(x) ≥ 0Íåïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíàÿq(x) ≤ 0Ãëàâíûì ìèíîðîì ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ ìèíîð ∆k (A), ñîñòàâëåííûéèç ïåðâûõ k ñòðîê ìàòðèöû A è ïåðâûõ k ñòîëáöîâ.Òåîðåìà 30 Åñëè âñå ãëàâíûå ìèíîðû ìàòðèöû âåùåñòâåííîé êâàäðà-òè÷íîé ôîðìû q èìåþò íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ ∆0, ..., ∆n, òî êîëè÷åñòâàñîõðàíåíèé è ïåðåìåí çíàêîâ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíû ïîëîæèòåëüíîìó è îòðèöàòåëüíîìó èíäåêñàì èíåðöèè ôîðìû q.Ñëåäñòâèå 13 (êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà) Äëÿ âñÿêîé âåùåñòâåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ðàâíîñèëüíû óòâåðæäåíèÿ:(1) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà;(2) â ëþáîì áàçèñå åå ãëàâíûå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû.Ïðèìåð 52 Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ, ïðè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìàf = 2x21 + x22 + 3x23 + 2λx1 x2 + 2x1 x3 .81I Âûïèøåì ìàòðèöó êâàäðàòè÷íîé2A= λ1ôîðìû:λ 11 0 ,0 3è âû÷èñëèì ãëàâíûå ìèíîðû ìàòðèöû A:∆0 = 1,∆1 = 2,∆2 = 2 − λ2 ,∆3 = 5 − 3λ2 .Äëÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè äàííîé ôîðìó íåîáõîäèìî, ÷òîáû∆2 = 2−λ2 > 0pè ∆3 = 5−3λ2 > 0.
Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó íåðàâåíñòâ,íàõîäèì |λ| < 5/3.J12.Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ è ëèíåéíûå îïåðàòîðûÏóñòü F îáîçíà÷àåò îäíó èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì: R èëè C. Ïðåäïîëîæèì,÷òî V è W ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íàä F ðàçìåðíîñòåé dim V = n èdim W = m ñîîòâåòñòâåííî.Îòîáðàæåíèå ϕ : V → W ïðîñòðàíñòâà V â ïðîñòðàíñòâî W íàçûâàåòñÿ, åñëè äëÿ ëþáûõ X, Y ∈ V è äëÿ ëþáûõ α, β ∈ Fëèíåéíûìϕ(αX + βY ) = αϕ(X) + βϕ(Y ).Åñëè V = W , òî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ϕ : V → V íàçûâàåòñÿîïåðàòîðîì.Òåîðåìà 31 Ìåæäó ëèíåéíûìè îòîáðàæåíèÿìè V âðèöàìè èìååòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå.Wëèíåéíûìè m × n ìàò-Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ.Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ëèíåéíûìè îòîáðàæåíèÿìè è ìàòðèöàìè çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíûé áàçèñ {e1 , . . . , en } ïðîñòðàíñòâà Fn . Îáðàçû ϕ(ei ) (i =1, . . . , n) âåêòîðîâ ñòàíäàðòíîãî áàçèñà {e1 , . . . , en } ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó Fm , ñëåäîâàòåëüíî, ìîãóò áûòü ðàçëîæåíû ïî áàçèñó {f1 , . . . , fm }ñòàíäðàòíîãî áàçèñà Fm :ϕ(e1 ) =a11 f1 + . . . + am1 fm ,......................ϕ(en ) =a1n f1 + . . .
+ amn fm .ñòîëáöû êîòîðîé ñîñòîÿò èç êîîðäèíàò îáðàçîâ ϕ(e ) áà-Òîãäà ìàòðèöà,çèñíûõ âåêòîðîâ,ia11 . . . a1nA = ............... am1 . . . amn82áóäåò èñêîìîé ìàòðèöåé. Îíà íàçûâàåòñÿâ áàçèñàõ {e1 , . . . , en }, {f1 , . . . , fm }.æåíèÿìàòðèöåé ëèíåéíîãî îòîáðà-Ïðèìåð 53 Íàéäèòå ìàòðèöó ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ(x) = (x, a)a â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R3, åñëè a = e1 −2e3 â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå{e1 , e2 , e3 } , à (x, a) îáîçíà÷àåò ñòàíäàðòíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.I Âû÷èñëèì ϕ(ei ), i = 1, 2, 3:ϕ(e1 ) = (e1 , e1 − 2e3 ) · (e1 − 2e3 ) = (e1 , e1 ) · (e1 − 2e3 ) = e1 − 2e3 ,ϕ(e2 ) = (e2 , e1 − 2e3 ) · (e1 − 2e3 ) = 0,ϕ(e3 ) = (e3 , e1 − 2e3 ) · (e1 − 2e3 ) = −3(e3 , e3 ) · (e1 − 2e3 ) = −3e1 + 6e3 .Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ â áàçèñå {e1 , e2 , e3 } èìååòâèä1 0 −30 .A= 0 0−2 06JÎáðàç âåêòîðà ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè.Ïóñòü x ∈ V â áàçèñå{e1 , .
. . , en } èìååò êîîðäèíàòû X . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ϕ : V → W çàäàíî ìàòðèöåé A â áàçèñàõ {e1 , . . . , en }, {f1 , . . . , fn }.Òîãäà êîîðäèíàòû îáðàçà âåêòîðà x â áàçèñå {f1 , . . . , fn } ìîæíî íàéòè ïîôîðìóëå:ϕ(x) = AX.Ïðèìåð 54 Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð ïðîñòðàíñòâà R3, ïåðåâîäÿùèé âåêòîðûa1 , a2 , a3 ñîîòâåòñòâåííî â âåêòîðûb1 , b2 , b3 , åñëè a1 = [2, 3, 5]T , a2 = [0, 1, 2]T , a3 = [1, 0, 0]T ,b1 = [1, 1, 1]T , b2 = [1, 1, −1]T , b3 = [2, 1, 2]T .I Îáîçíà÷èì Aϕ ìàòðèöó èñêîìîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ â òîì æå áàçèñå, â êîòîðîì çàäàíû êîîðäèíàòû âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 . ÒîãäàAϕ · ai = bi ,i = 1, 2, 3.Ñîñòàâèì ìàòðèöû A è B èç ñòîëáöîâ êîîðäèíàò âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 èb1 , b2 , b3 ñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà ìàòðèöà Aϕ áóäåò ðåøåíèåì ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿAϕ · A = B.83Ýòî óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A îáðàòèìàÿ ìàòðèöà, ò.å. åå ñòîëáöû a1 ,"a2 , a3 ëèíåéíî# íåçàâèñèìû.001Èòàê, Aϕ = BA−1 . ÍàõîäèìA−1 ="Aϕ =212−11−7−1640−1322−5−4. Ñëåäîâàòåëüíî,#.JÌàòðèöà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ â ðàçíûõ áàçèñàõ.Ðàññìîòðèì{e1 , . . . , en } è {e01 , . . . , e0n } ñòàðûé è íîâûé áàçèñû ïðîñòðàíñòâà V , à0{f1 , . .
. , fm } è {f10 , . . . , fm} ñòàðûé è íîâûé áàçèñû ïðîñòðàíñòâà W . Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî S è T ìàòðèöû ïåðåõîäà ìåæäó áàçèñàìè ïðîñòðàíñòâ V è W .Ïóñòü ϕ : V → W ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå. Òîãäà ìàòðèöà A ýòîãîîòîáðàæåíèÿ â áàçèñàõ {e1 , . . . , en }, {f1 , . . . , fm } ñâÿçàíà ñ ìàòðèöåé A00îòîáðàæåíèÿ â áàçèñàõ {e01 , . . . , e0n }, {f10 , . .
. , fm} ðàâåíñòâîìA0 = S −1 AT.Ïðèìåð 55 Ëèíåéíûé îïåðàòîð ϕ â áàçèñå {e , e , e } èìååò ìàòðèöó1"A=−11−15−71520858623#.Íàéòè ìàòðèöó ýòîãî îïåðàòîðà â áàçèñå f1 = 2e1 + 3e2 + e3, f2 = 3e1 +4e2 + e3 , f3 = e1 + 2e2 + 2e3 .I Ìàòðèöó îïåðàòîðà â íîâîì áàçèñå íàéäåì ïî ôîðìóëå A0 = T −1 AT .Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó ïåðåõîäà, íàõîäèì T −1 , à çàòåì A0 :"#"#"#T =231341122,T −1 =−6415−3−1−211,A0 =100020003.Jßäðî è îáðàç ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ. ßäðîìKer ϕ ëèíåéíîãîîòîáðàæåíèÿ ϕ : V → W íàçûâàåòñÿ òàêîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ x ∈ V ,÷òî ϕ(x) = 0, ò.å.Ker ϕ = {x ∈ V | ϕ(x) = 0}.ÎáðàçîìIm ϕ ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ : V → W íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîîáðàçîâ ϕ(x) âñåõ âåêòîðîâ x ∈ V , ò.å.Im ϕ = ϕ(V) = {ϕ(x) | x ∈ V}.84Åñëè A ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ, òîKer ϕ = ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé Ax = 0,Im ϕ = ïðîñòðàíñòâî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A.Ïðèìåð 56 Íàéäèòå áàçèñ ÿäðà è îáðàçà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, çàäàííîãîìàòðèöåé2 3A=0510−31−115012 .1 3I ñïîñîá.IÄëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè áàçèñ ÿäðà Ker ϕ ëèíåéíîãî îïåðàòîðàϕ, íóæíî íàéòè áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé AX = 0.23666666666666664230510000110−31−130602−11502−50−100−312131−10−200××777777777777775A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(2) − A(1)A(6) = A(1) − 2A(5)A(7) = A(6) + A(3)A(8) = A(4) − 5A(5)A(9) = A(8) + 2A(3)A(10) = A(5) − A(3)××××Âûïèøåì íåíóëåâûå ñòðîêè ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû, âûäåëÿÿ ãëàâíûå åäèíèöû:"#102−3−3501A(10)A(3) .Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíî ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ x2 , x3çíà÷åíèå 1 è çàíóëÿÿ îñòàëüíûå ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, íàõîäèì áàçèñïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé:X1 = −21 ,0 3X2 = 30 .1 −5Äàëåå, ÷òîáû íàéòè áàçèñ îáðàçà Im ϕ îïåðàòîðà ϕ, íóæíî îïðåäåëèòüáàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñòîëáöîâ ìàòðèöû A.
Ïî íàéäåííîìó ñòóïåí÷àòîìóâèäó ìàòðèöû A, îïðåäåëÿåì, ÷òî, íàïðèìåð, ïåðâûé è ïîñëåäíèé ñòîëáöûìàòðèöû A ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå áàçèñíûõ.Èòàê,Ker ϕ = h[−2, 1, 0, 3]T , [3, 0, 1, −5]T i85Im ϕ = h[2, 3, 0, 5]T , [12, 1, 3]T iII ñïîñîáïîçâîëÿåò îäíîâðåìåííî íàõîäèòü áàçèñ ÿäðà è îáðàçà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî íóæíî:(1) ñîñòàâèòü ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó E|AT ;(2) íàä ñòðîêàìè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû âûïîëíèòü ïðåîáðàçîâàíèÿ,ïðèâîäÿùèå AT ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó B , è ïóñòü â ðåçóëüòàòå ñïðàâà áóäåòïîëó÷åíà ìàòðèöà C ;(3) íåíóëåâûå ñòðîêè ìàòðèöû B îáðàçóþò áàçèñ îáðàçà ëèíåéíîãîîòîáðàæåíèÿ, à ñòðîêè ìàòðèöû C , ñïðàâà îò êîòîðûõ ñòîÿò íóëåâûå ñòðîêè ìàòðèöû B , îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ.Èòàê, ñîñòàâëÿåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó E|AT è ïðèâîäèì AT ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó:23666666666666410000010101001−1−2−3−500101002−300010101021−1100000301212300Âûïèøåì îñòàâøèåñÿ ñòðîêè:206 064 0111−3−5012−30−351246000010510312300100001007777777777775×A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)A(9)××××−3200311 770 50= A(2) + A(3)= A(4) − A(2)= A(1) − 2A(2)= A(6) − 2A(5)= A(7) − 3A(5) .A(2)A(5)A(8)A(9) .ÍàõîäèìKer ϕ = h[0, −3, 2, 1]T , [1, −5, −3, 0]T i,Im ϕ = h[1, 0, −3, 1]T , [0, 1, 2, 1]T i.Íàéäåííûå âòîðûì ñïîñîáîì áàçèñû ÿäðà è îáðàçà îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùèõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
