1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978)
Текст из файла
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÔÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÔèçè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà âûñøåé ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÈ.À. Äîëãóíöåâà, À.Ï. ÓëüÿíîâÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ ÈËÈÍÅÉÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÅ(Ó÷åáíîå ïîñîáèå)Íîâîñèáèðñê2010 íàñòîÿùåì ó÷åáíîì ïîñîáèè ïðèâåäåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, òåîðåìûè ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ àíàëèòè÷åñêèé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû,ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîãðàììå êóðñà ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿãåîìåòðèÿ¿ ïî íàïðàâëåíèþ ¾Ôèçèêà¿ Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà. êàæäîì ðàçäåëå êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿè ïðèâåäåíû òèïû ðåøåíèÿ çàäà÷.Öåëü ïîñîáèÿ îáåñïå÷èòü ïîìîùü ïðè ñàìîñòîÿòåëüíîì îñâîåíèèäàííîãî êóðñà, à òàêæå ïðè ïîäãîòîâêå ê ñåìèíàðñêèì çàíÿòèÿì ïî äàííîìó êóðñó ñòóäåíòàì è íà÷èíàþùèì ïðåïîäàâàòåëÿì.ÀâòîðûÈ.
À. Äîëãóíöåâà, ê. ô.-ì. í., À. Ï. ÓëüÿíîâÓ÷åáíîå ïîñîáèå ¾Ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå¿ïîäãîòîâëåíî â ðàìêàõ ðåàëèçàöèè ¾Ïðîãðàììû ðàçâèòèÿ ÍÈÓ ÍÃÓ íà 20092018 ãîäû¿, à òàêæå ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ñîâåòà ïî Ãðàíòàì ÏðåçèäåíòàÐÔ äëÿ ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë (ïðîåêò ÍØ-3669.2010.1).c È.À. Äîëãóíöåâà,À.Ï. Óëüÿíîâ, 2010c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò, 2010Ñîäåðæàíèå1.2.3.4.5.Âåêòîðíàÿ àëãåáðà . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé . . . . . . . .Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèâåäåíèå îáùåãî óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .6.Ñèñòåìà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.Ìíîãî÷ëåíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .10. Îïðåäåëèòåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11. Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìû . . . . . . . . . . . . . .12. Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ è ëèíåéíûå îïåðàòîðû . . . . . . . .13. Ñîáñòâåííûå è êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . .14. Æîðäàíîâà íîðìàëüíàÿ ôîðìà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà . . . .15.
Ôóíêöèè îò ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16. Ãåîìåòðèÿ åâêëèäîâûõ è ýðìèòîâûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . .17. Îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì (ýðìèòîâîì) ïðîñòðàíñòâå . . . . .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3471013152332384562778286941021041101221.Âåêòîðíàÿ àëãåáðàÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåÎïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîðûõ êîîðäèíàòàõÑêàëÿðíûé êâàäðàòda · b = |a| · |b| · cos(a,b)1) êîììóòàòèâíîñòü (ïåðåìåñòèòåëüíîå)2) àññîöèàòèâíîñòü (ñî÷åòàòåëüíîå) îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãîìíîæèòåëÿ λ3) äèñòðèáóòèâíîñòü (ðàñïðåäåëèòåëüíîå)Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè äâóõâåêòîðîâa·b=b·a1) óãîë ìåæäó âåêòîðàìè2) (âåêòîðíàÿ) ïðîåêöèÿ âåêòîðà aíà âåêòîð ba·bdcos(a,b) = |a|·|b|a·bbprb a = b·bÎïðåäåëåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâa × b = c, òàêîé ÷òî:a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3a2 = |a|2 = a21 + a22 + a23Ñâîéñòâà:λ(a · b) = (λa) · a = a · (λb)a · (b + c) = a · b + a · ca · b = 0 ⇐⇒ a⊥bÏðèëîæåíèÿ:Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèåd1) |c| = |a| · |b| sin(a,b),2) c⊥a, c⊥b,3) a, b, c ïðàâàÿ òðîéêà âåêòîðîâ.
i a1 b1 a × b = j a2 b2 k a b Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ3Ñâîéñòâà:1) àíòèêîììóòàòèâíîñòü (àíòèïåðåìåñòèòåëüíîå)2) àññîöèàòèâíîñòü (ñî÷åòàòåëüíîå) îòíîñèòåëüíîãî ñêàëÿðíîãîìíîæèòåëÿ λ3) äèñòðèáóòèâíîñòü (ðàñïðåäåëèòåëüíîå)3a × b = −b × aλ(a × b) = (λa) × a = a × (λb)a × (b + c) = a × b + a × c4(b + c) × a = b × a + c × aa × b = 0 ⇐⇒ a||bÓñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè äâóõíåíóëåâûõ âåêòîðîâÒîæäåñòâî Ëàãðàíæà ("ÁÀÖ ìèíóñ ÖÀÁ")a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)(a × b) × c = b(a · c) − a(b · c)Ïðèëîæåíèå:1) ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è bSab = |a × b|Îïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ òðåõ âåêòîðîâ(a, b, c) = (a × b) · c = a · (b × c)Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèåa1(a, b, c) = a2aÑìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ3Ñâîéñòâà:b1b2b3c1 c3 c3 1) èçìåíåíèå çíàêà ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé2) íå ìåíÿåò çíàê ïðè öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêå ìíîæèòåëåé3) âåêòîðû a, b, c îáðàçóþò:- ïðàâóþ òðîéêó, åñëè- ëåâóþ òðîéêó, åñëèÓñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè òðåõâåêòîðîâ(a, b, c) = −(a, c, b) = −(c, b, a) =−(b, a, c)(a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a, b, cVa,b,c = |(a, b, c)|(a, b, c) > 0(a, b, c) < 0(a, b, c) = 0 ⇐⇒ a, b, c êîìïëàíàðíûÏðèëîæåíèå:Ïðèìåð 1 Äàíû ðàäèóñ-âåêòîðû r1 −→è r2 òî÷åê A è B .
Íàéòè ðàäèóñâåêòîð r òî÷êè C , äåëÿùåé âåêòîð −ABâ îòíîøåíèè λ.−−→−→I Ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ OC ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó OA+−→−→ −−→ACACλAC , ãäå AC||AB . Òàê êàê= λ, òî=. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðCBABλ+1−→−−→ −−→ −→λ −−→AC =AB . Äàëåå çàìå÷àåì, ÷òî AB = OB − OA.
Òåïåðü, ïîäñòàâëÿÿλ+1−−→âñå çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå OC , ïîëó÷àåì:−−→ −→OC = OA +λ −−→λ −→ 1λOB −OA = r1 +r2 .λ+1λ+1λλ+15JÐèñ. 1Ïðèìåð 2 Äëèíû åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ√ àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàòñóòü ñîîòâåòñòâåííî |e1| = 2, |e2| = 3, à óãîë ìåæäó íèìè ω = 5π6 .Îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèñòåìû êîîðäèíàò äàíû äâà âåêòîðà a = [1, 2],b = [2, 2]. Íàéòè óãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè.I Ïî ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿa · b = (e1 + 2e2 ) · (2e1 + 2e2 ) = 2e21 + 6e1 e2 + 4e22 .√Òàê êàê äëèíà |e1 | = 2, òî e21 = 4; |e2 | = 3, òî e22 = 3.
Ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå áàçèñíûõ âåêòîðîâ íàéäåì ïî îïðåäåëåíèþ:√√ − 3= −3.e1 e2 = |e1 | · |e2 | cos ω = 2 · 3 ·2Ïîäñòàâëÿåì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ â a · b:a · b = 2 · 4 − 6 · 3 + 4 · 3 = 2.Ïðèìåð 3 Äàíû äâà âåêòîðà a è b. Íàéòè âåêòîð c, ÿâëÿþùèéñÿ:J(a) îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà b íà âåêòîð a;(b) îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà a íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê âåêòîðó b.I (a) Íàéäåì âåêòîðíóþ ïðîåêöèþ b íà a. Îíà ðàâíàc=b·a ab·a·=· a.kak kaka·a(b) Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ a íà ïëîñêîñòü ñíîðìàëüþ b íóæíî íàéòè ïðîåêöèþ a íà âåêòîð íîìàëè b, à çàòåì âû÷åñòüè a íàéäåííóþ îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêèöþ. Ïîëó÷åííûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿïðîåêöèåé íà ïëîñêîñòü.a·bc=a−b.b·b6Äðóãîé ñïîñîá ðåøåíèÿ ñîñòîèò â âåêòîðíîì óìíîæåíèè âåêòîðà a äâàæäûbíà åäèíè÷íûé âåêòîð, êîëëèíåàðíûé b, ò.å.
íà e = kbk. Âû÷èñëÿÿ ïåðâûéðàç âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a × e ïîëó÷èì âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé a èb, ò.å. ëåæàùèé â ïëîñêîñòè, íîðìàëüþ ê êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ b. Óìíîæàÿ ýòîïðîèçâåäåíèå åùå ðàç íà âåêòîð e: (a × e) × e, ïîëó÷èì âåêòîð, ëåæàùèéñ a â îäíîé ïëîñêîñòè è èìåþùèé äëèíó, ðàâíóþ äëèíå ïðîåêöèè a íàïëîñêîñòü.JÏðèìåð 4 Âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a = [8, 4, 1], b = [2, −2, 1].I Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà äàííûõ, âåêòîðàõ ðàâíàìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b: i 82 a × b = j 4 −2 = 6i − 6j − 24k =⇒ k 11 p√S = ka × bk = 62 + (−6)2 + (−24)2 = 12 6J2.Ïðÿìûå è ïëîñêîñòèÎñíîâíûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. òàáëèöå íî-ìåðà óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâóþò íàçâàíèÿì:1) îáùåå óðàâíåíèå;2) íîðìàëüíîå óðàâíåíèå;3) ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå;4) óðàâíåíèå ïî òî÷êàì.ÏðÿìàÿR2(1) Ax+By+C = 0(2) (r − r0 ) · n = 0ÏëîñêîñòüR3R3Ax + By + Cz + D = 0Ax + By + Cz + D = 0A0 x + B 0 y + C 0 z + D0 = 0(r − r0 ) · n = 0(r − r0 ) · m = 0(3) r = r0 + vtr = r0 + vt(4)x−x0x1 −x0x−x0x1 −x0=y−y0y1 −y0=y−y0y1 −y0=(r − r0 ) · n = 0z−z0z1 −z0r = r0 + vt + ws x − x0 y − y0 z − z0 x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0x − x y − y z − z 2Îáîçíà÷åíèÿ:702020 âåêòîð íîðìàëèn = [A, B]n = [A, B, C],m = [A1 , B1 , C1 ]n = [A, B, C] çàäàííàÿ òî÷êàr0 = [x0 , y0 ]r1 = [x1 , y1 ]r0 = [x0 , y0 , z0 ],r1 = [x1 , y1 , z1 ],r2 = [x2 , y2 , z2 ] ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êàr = [x, y]r = [x, y, z] íàïðàâëÿþùèé âåêòîðvvr0 = [x0 , y0 , z0 ]r1 = [x1 , y1 , z1 ]r = [x, y, z]v, wÏåðåõîä îò îäíîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ ê äðóãîìó.×àñòî â çàäà÷àõ òðåáóåòñÿ ïî îäíîìó óðàâíåíèþ ïðÿìîé èëè ïëîñêîñòè íàéòè äðóãîåóðàâíåíèå.
Ñëåäóþùàÿ òàáëèöà èëëþñòðèðóåò ñïîñîáû ïåðåõîäà îò îäíîãîóðàâíåíèÿ ê äðóãîìó.Ïî(1)(2)(3)(4)Ïð.Ïð.Ïë.Ïð.Ïð.Ïë.Ïð.Ïð.Ïë.Ïð.Ïð.(1)R2R3R3R2R3R3R2R3R3R2R3Ïë. R3Èùåì(2)ÎáùååÑïèñàòü n,ïîäîáðàòü r0ÐàñêðûòüñêîáêèÍîðìàëüíîån⊥vÏðîéòè ÷åðåçm, n⊥víîðìàëüíîån=v×wÐàñêðûòü âñå(3)Ðåøèòü óðàâíåíèå, ñèñòåìó óðàâíåíèév⊥nv =n×mv, w⊥nÏàðàìåòðè÷åñêîåv = r1 − r0Ïðîéòè ÷åðåçv = r1 − r0ïàðàìåòðûv = r1 − r0 ,w = r2 − r0(4)Ïðîéòè ÷åðåçïàðàìåòðûÏðîéòè ÷åðåçïàðàìåòðûÏîäñòàâèòüçíà÷åíèåïàðàìåòðîâÏî òî÷êàìÏðèìåð 5 Ñîñòàâèòü îáùåå, íîðìàëüíîå, ïàðàìåòðè÷åñêîå è ïî òî÷-êàì óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (1, 3) è(2, 4).8I Òàê êàê äàíû äâå òî÷êè íà ïðÿìîé, òî ñðàçó çàïèñûâàåì óðàâíåíèåïðÿìîé ïî òî÷êàì:x−1y−3x−1y−3=⇐⇒=.2−14−311Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ëåãêî âûâîäèòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî çíàìåíàòåëè äðîáåé ÿâëÿëþòñÿ êîîðäèíàòàìèíàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé v1 = [1, 1]. Çàïèñûâàåì ïàðàìåòðè÷åñêèåóðàâíåíèÿ:x = 1 + t, y = 3 + t.Äðóãîé ñïîñîá ñîñòîèò â ïðèðàâíèâàíèè êàæäîé äðîáè â óðàâíåíèè ïîòî÷êàì ê ïàðàìåòðó t:x−1y−3x−1y−3== t =⇒=tè= t =⇒ x = 1 + t, y = 3 + t.1111Äëÿ èçâåñòíîãî íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà óãàäûâàåì íîðìàëü ê ïðÿìîé:êàêîé-íèáóäü âåêòîð n⊥v, íàïðèìåð, n = [−1, 1]. Òîãäà íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä[−1, 1] · [x − 1, y − 3] = 0.Âû÷èñëÿÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷àåì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîéx − y + 2 = 0.JÏðèìåð 6 Äàí òðåóãîëüíèê ABC : A(−2, 3), B(4, 1) è C(6, −5).
Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ìåäèàíû ýòîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû A.I Èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A è ñåðåäèíó ñòîðîíû BC . Ñëå-Ðèñ. 1äîâàòåëüíî, îíà ñîäåðæèò äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà9−−→ −→−−→ −→âåêòîðàõ AB è AC . Ïîýòîìó ðàññìîòðèì èõ ñóììó v = AB + AC â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé ìåäèàíó.
Íàéäåì åãîêîîðäèíàòû:−−→AB = [4 − (−2), 1 − 3] = [6, −2],−→AC = [4 − 6, 1 − (−5)] = [−2, 6]v = [6 − 2, −2 + 6] = [4, 4]. êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ìîæíî âçÿòü ëþáîé äðóãîé, êîëëèíåàðíûé äàííîìó. Ïóñòü ýòî áóäåò [1, 1]. Ìîæíî ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêèåóðàâíåíèÿ ïðÿìîé: x = −2 + t, y = 3 + t.J3.Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåéÂñþäó äàëåå ∆r îáîçíà÷àåò ∆r = r2 − r1 .Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõl1 : r = r1 + v1 t1 è r = r2 + v2 t2 .Ðàñïîëîæåíèå:1) Ñêðåùèâàþòñÿ2) Ïåðåñåêàþòñÿ3) Ïàðàëëåëüíû4) ÑîâïàäàþòÓñëîâèå:(v1 , v2 , ∆r) 6= 0(v1 , v2 , ∆r) = 0 è v1 × v2 6= 0v1 × v2 = 0 è v1 × ∆r 6= 0v1 × v2 = 0 è v1 × ∆r = 0Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåér − 2) = 0.Ðàñïîëîæåíèå:1) Ïåðåñåêàþòñÿ2) Ïàðàëëåëüíû3) Ñîâïàäàþòα1 : n1 (r − r1 ) = 0 è α2 : n2 (r −Óñëîâèå:n1 × n2 = 0n1 × n2 = 0 è n1 · ∆r 6= 0n1 × n2 = 0 è n1 · ∆r = 0Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîén2 (r − r2 ) = 0.Ðàñïîëîæåíèå:1) Ïåðåñåêàþòñÿ2) Ïàðàëëåëüíû3) Ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòèl1 : r = r1 + v1 t èïëîñêîñòèÓñëîâèår1 · n2 6= 0r1 · n2 = 0 è ∆r1 · n2 =6 0r1 · n2 = 0 è ∆r1 · n2 = 010Ðàññòîÿíèÿ.Îòòî÷êè r1Äîòî÷êèr2k∆rkïðÿìîé r =r1 + v1 t â R2ïðÿìîé r =r1 + v1 t â R3ïðÿìîé r =r2 + v2 t â R2ïðÿìîé r =r2 + v2 t â R3kv2 × ∆rkkr2 kkv2 × ∆rkkr2 k0, åñëè v1 k v2kv2 × ∆rkkr2 k*ïëîñêîñòèn2 (r − r2 ) = 0â R3|n2 · r2 |kn2 k*|(v1 × v2 ) · ∆r| |n2 · r2 |kv1 × v2 kkn2 k|n2 · r2 |kn2 kïëîñêîñòèn1 (r−r1 ) =0 â R3Ïîëåçíûå ôîðìóëû.ÍàèìåíîâàíèåÎïðåäåëåíèÿ è ôîðìóëû1) l1 : r = r1 + v1 t è l2 : r = r2 + v2 t2) l1 : n1 (r−r1 ) = 0 è l2 : n2 (r−r2 ) = 0lα:1) l : r = r1 + v1 t è α : m(r − r2 ) = 02) l : n(r − r1 ) = 0 è α : m(r − r2 ) = 0α1 α2= ∠(v1 , v2 ),= ∠(n1 , n2 ).α1 : m1 (r−r1 ) = 0 è α2 : m2 (r−r2 ) = 0= ∠(m1 , m2 ).v2 · ∆rr⊥ = r2 −v2 , ãäå ∆r =v2 · v2r2 − r1n2 · ∆rr⊥ = r1 +n2 , ãäå ∆r =n2 · n2r2 − r1Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè l1 è l2, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìè:Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìèÓãîë ìåæäó ïëîêîñòÿìè è , çàäàííûõ óðàâíåíèÿìèÏðîåêöèÿ òî÷êè r1 íà ïðÿìóþ r=r2 + v2 tÏðîåêöèÿ òî÷êè r1 íà ïëîñêîñòü (r−r2 ) · n2 = 011= π2 − ∠(v1 , m),= ∠(n1 , m).Óðàâíåíèÿ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðàñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ r = r1 +v1 t1 è r = r2 + v2 t2Îñíîâàíèÿ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðàñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõr = r1 + v1 t1 è r = r2 + v2 t2((v1 × v2 , v1 , r − r1 ) = 0,(v1 × v2 , v2 , r − r2 ) = 0.(∆r × v2 ) · (v1 × v2 ),(v1 × v2 ) · (v1 × v2 )(v1 × ∆r) · (v1 × v2 )t2 = −(v1 × v2 ) · (v1 × v2 )t1 =Ïðèìåð 7 Îïðåäåëèòå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ:(à) x = 1 + 2t, y = 2 − 2t, z = −t è x = −2t, y = −5 + 3t, z = 4;(b) x = 9t, y = 5t, z = −3 + t è 2x − 3y − 3z − 9 = 0, x − 2y + z + 3 = 0.I Èññëåäîâàíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìûõ ïðîâåäåì ïî ñõåìå.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
