1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíÿÿ äåëåíèå f (x) íà x − 2 ñ îñòàòêîì ïî ñõåìå35Ãîðíåðà äî òåõ ïîð, ïîêà îñòàòîê ðàâåí íóëþ, íàéäåì ïîêàçàòåëü êðàòíîñòè êîðíÿ, êîòîðûé áóäåò ðàâåí êîëè÷åñòâó íóëåâûõ îñòàòêîâ â ñõåìåÃîðíåðà.2222Òàêèì îáðàçîì,11111−5−3−11371−117−20−20440−80f (x) = (x − 2)3 · (x2 + x + 1)è ïîêàçàòåëü êðàòíîñòè êîðíÿ k = 3.JÒåîðåìà ÃàóññàÒåîðåìà 6 (Ãàóññ) Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ C, deg f ≥ 1, èìååò êîìïëåêñíûé êîðåíü.Ñëåäñòâèå 1 Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ C[x] ñòåïåíè n ≥ 1 èìååò ðîâíîn êîìïëåêñíûõ êîðíåé, ñ÷èòàåìûõ ñî ñâîèìè êðàòíîñòÿìè.Ñëåäñòâèå 2 Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ C[x] ñòåïåíè n ≥ 1f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + .

. . + anìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí, ïðè÷åì åäèíñòâåííûì (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé) îáðàçîì, â âèäåf (x) = a0 (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − cn ),ãäå ci ∈ C, i = 1, 2, . . . , n.Íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíûíåïðèâîäèìûì íàäÌíîãî÷ëåí f (x) ∈ F[x], deg f ≥ 1, íàçûâàåòñÿF, åñëèf (x)ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ h(x)·g(x) ìíîãî÷ëåíîâ h(x)è g(x) ñ êîýôôèöèåíòàìè â F, òàêèõ, ÷òî 0 < deg h, deg g < deg f .íåëüçÿÑëåäñòâèå 3 Íåïðèâîäèìûìè íàä C ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû.Òåîðåìà 7 Åñëè c êîìïëåêñíûé êîðåíü f (x) ∈ R[x], òî f (c) = 0.Ñëåäñòâèå 4 Íåïðèâîäèìûìè íàä R ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ëèíåéíûå ìíîãî÷ëåíû è êâàäðàòè÷íûå ñ îòðèöàòåëüíûì äèñêðèìèíàòîì.36Ïðèìåð 22 Ïîñòðîéòå ìíîãî÷ëåí íàèìåíüøåé ñòåïåíè:(1) ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè;(2) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè;åñëè 1 ÿâëÿåòñÿ åãî äâîéíûì êîðíåì, à 2, 3 è 1 + i ïðîñòûìè.I (1) Ìíîãî÷ëåí f (x) = (x − 1)2 (x − 2)(x − 3)(x − 1 − i) ìíîãî÷ëåííàèìåíüøåé ñòåïåíè ñêîýôôèöèåíòàìè, èìåþùèé äàííûåêîðíè.(2) Òàê êàê 1 + i ÿâëÿåòñÿ êîðíåì èñêîìîãî ìíîãî÷ëåíà ñêîýôôèöèåíòàìè, òî 1 − i òàêæå ÿâëÿåòñÿ åãî êîðíåì.

Òîãäàìíîãî÷ëåí íàèìåíüøåé ñòåïåíè ðàâåíêîìïëåêñíûìèäåéñòâè-òåëüíûìèf (x) =(x − 1)2 (x − 2)(x − 3)(x − 1 − i)(x − 1 + i)=(x − 1)2 (x − 2)(x − 3)(x2 − 2x + 5).JÏðèìåð 23 Ðàçëîæèòå íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè íàä C è íàä Rìíîãî÷ëåíû:(1) x3 − 6x2 + 11x − 6; (2) x4 + 4.I (1) Ìíîãî÷ëåí x3 − 6x2 + 11x − 6 èìååò äåéñòâèòåëüíûå êîðíè 1, 2 è 3,ïîýòîìó åãî ðàçëîæåíèÿ íàä C è íàä R ñîâïàäàþò è ðàâíû:x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3).(2) Ìíîãî÷ëåí x4 + 4 íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, îäíàêî åãî ñòåïåíü ðàâíà 4, ïîýòîìó îí ïðèâîäèì. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèáàâëÿÿ è âû÷èòàÿ4x2 , íàéäåì ðàçëîæåíèå íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè íàä R:x4 + 4 =(x4 + 4x2 + 4) − 4x2=(x2 + 2)2 − (2x)2=(x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2).À òåïåðü, âû÷èñëÿÿ êîðíè êàæäîãî èç ìíîæèòåëåé, íàõîäèì ðàçëîæåíèåíà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè íàä C:x4 = (x − 1 − i)(x − 1 + i)(x + 1 − 1)(x + 1 + i).J378.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÏóñòü F îäíà èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì: R èëè C.Ñèñòåìîé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéîò n íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , .

. . , xníàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà:a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 , a x + a x + ... + a x = b ,21 122 22n n2(F)..........................am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm ,ãäå aij , bi ∈ F.Îñíîâíîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (F) íàçûâàþò ìàòðèöóa11 a12 . .

. a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amnÐàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (F) íàçûâàþò ìàòðèöóa11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn bm.Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë (x◦1 , x◦2 , . . . , x◦n ) íàçûâàåòñÿñèñòåìû (F), åñëè ïðè ïîäñòàíîâêå x1 = x◦1 , x2 = x◦2 , . . .

, xn = x◦n êàæäîå óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ ââåðíîå ðàâåíñòâî.ðåøåíèåìÊîëè÷åñòâîðåøåíèéÎäíî ðåøåíèåÌíîãî ðåøåíèéÍåò ðåøåíèéÑîâìåñòíàÿÎïðåäåëåííàÿ Íåîïðåäåëåííàÿ ÍåñîâìåñòíàÿÄâå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè íåñîâìåñòíû èëèÑèñòåìàñîâìåñòíû è èìåþò îäèíàêîâîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõÝëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé.(R1) Óìíîæåíèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íà ÷èñëî, íå ðàâíîå íóëþ.(R2) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî, óìíîæåííîãî íà ÷èñëî.(R3) Ïåðåñòàíîâêà ïàðû óðàâíåíèé ìåñòàìè.38Òåîðåìà 8 Äâå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû, åñëè îäíà èç íèõ ïîëó÷åíà ïó-òåì ïðèìåíåíèÿ êîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.Ñòóïåí÷àòûé âèä ìàòðèöû.0;ñòóïåí÷àòîéÌàòðèöó íàçûâàþò, åñëè:(1) ïåðâûé ñëåâà ýëåìåíò â êàæäîé ñòðîêå ðàâåí 1 (ãëàâíàÿ åäèíèöà);(2) îñòàëüíûå ýëåìåíòû ñòîëáöà, ñîäåðæàùåãî ãëàâíóþ åäèíèöó, ðàâíû(3) â êàæäîé ñëåäóþùåé ñòðîêå ãëàâíàÿ åäèíèöà ðàñïîëîæåíà ïðàâåå,÷åì ãëàâíàÿ åäèíèöà ïðåäûäóùåé ñòðîêè....

0 1 ∗ ... ∗ 0 ∗ ...∗ 0 ∗ ... ∗. . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . .∗ 0 ∗ ... ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 0 0 0 ... 0 0 0 ...0 1 ∗ ... ∗  ... 0 0 0 ... 0 0 0 ...0 0 0 ... 0 . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 0 0 0 ... 0 0 0 ...0 0 0 ... 0ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìèÏîäñòðîê ìàòðèöû ïîíèìàþò ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì óðàâíåíèé, ò.å.(R1) óìíîæåíèå ëþáîé ñòðîêè íà íåíóëåâîå ÷èñëî;(R2) ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå, äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî;(R3) ïåðåñòàíîâêà ìåñòàìè ëþáîé ïàðû ñòðîê.Ñòàíäàðòíûé ìåòîä ïðèâåäåíèÿ ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì çàíóëåíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû, íà÷èíàÿ ñ ëåâîãî ñòîëáöàè äâèãàÿñü âïðàâî.Ïðèìåð 24 Ïðèâåäèòå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó ìàòðèöó0 −3 121 −2 32 −7 0 .01 2 10 1I Îáîçíà÷èì ÷åðåç A(k) ñòðîêó k òåêóùåé ìàòðèöû, è ñïðàâà îò ìàòðèöûáóäåì óêàçûâàòü ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðûì ïîëó÷åíà äàííàÿ ñòðîêà.01 −23 −32 −70  èñõîäíàÿ ìàòðèöà 1012 210139(R3)(R2)(R2)(R3)(R2)(R2)(R3)(R1)(R2)(R2)1−30210021000100010001000100010001000100002110211021101210101010001000100010001001−7−201−4−201−4−2−21−2−4−21−20−21−2001−2001−2001−2001−20020312631263−3236−3230−3230−623−6023100310001040A(1) ↔ A(2)A(2) A(2) + 3A(1)A(4) A(4) − 2A(1)A(2) ↔ A(3)A(3) A(3) − 2A(2)A(4) A(4) − A(2)A(3) ↔ A(4)A(3) − 61 A(3)A(1) A(1) − 2A(3)A(2) A(2) − 3A(3) .Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïîðÿäîê ñòðîê â ìàòðèöå ïî õîäó âû÷èñëåíèéñîâåðøåííî íå âàæåí.

Äîñòàòî÷íî ëèøü ñëåäèòü çà òåì, êàêàÿ ñòðîêà ÿâëÿåòñÿ âåäóùåé íà äàííîì øàãå, íå âçèðàÿ íà åå ïîëîæåíèå â ìàòðèöå.Ïîñêîëüêó ïîðÿäîê ñòðîê â ìàòðèöå íå èãðàåò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ, ìîæíî çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü çàïèñü êàæäîãî øàãà. Çàìåíèì ïåðåïèñûâàíèåìàòðèöû áîëåå êîðîòêèìè äåéñòâèÿìè:(1) óêàçàòü ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå R, ñîâåðøàåìîå íà äàííîìøàãå;(2) ïðèïèñàòü ñíèçó ê ìàòðèöå ðåçóëüòàò ïðåîáðàçîâàíèÿ R, ò.å. íîâóþñòðîêó;(3) ïîìåòèòü êàê óäàëåííóþ ñðîêó, ê êîòîðîé ïðèìåíÿëîñü ïðåîáðàçîâàíèå R; âìåñòî íåå äàëåå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííàÿñòðîêà.Ïðè ýòîì ïîëåçíî íóìåðîâàòü ñòðîêè, à óäàëåííûå ñòðîêè íå çà÷åðêèâàòü, à èìåííî ïîìå÷àòü (íàïðèìåð, çíàêîì ×)Âåðíåìñÿ ê ðàçîáðàííîìó ïðèìåðó.

Ïîñëå ïåðâîãî øàãà ïîëó÷èëàñüçàïèñüA(1)0 1 −2 3 −3 2 −7 0  ×A(2) 1 0A(3)12 2 1A(4)0 1 A(5) = A(2) + 3A(3) .0 2 −4 6âñåéÏðîäîëæàÿ, ïîëó÷èì çàïèñü âû÷èñëåíèé â âèäå òàáëèöûA(1)0 1 −23× −3 2 −7 ×A(2)0 1 0 ×A(3)12 2 1 ×A(4)01 0 2 −4 ×A(5) = A(2) + 3A(3)6 0 1 −2 −3  ×A(6) = A(4) − 2A(3) 0 0A(7) = A(5) − 2A(1)00 0 0 ×A(8) = A(6) − A(1)0−6 0 001A(9) = − 16 A(8) 0 1 −20 A(10) = A(1) − 3A(9)1 010A(11) = A(3) − 2A(9) .Ðàñïîëàãàÿ íåâû÷åðêíóòûå ñòðîêè ìàòðèöû â ïðàâèëüíîì ïîðÿäêå, ïî-41ëó÷àåì ñòóïåí÷àòûé âèä èñõîäíîé ìàòðèöû1 01 0A(11) 0 1 −2 0  A(10) 0 00 1  A(9)A(7)0 00 0JÊðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÒåîðåìà 9 Ëþáàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíà (åäèíñòâåííîé) ñèñòåìå ñòóïåí÷àòîãî âèäà.Ñëåäñòâèå 5(1) Ñèñòåìà îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ñòîëáöû ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöû ãëàâíûå.(2) Ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîé íóëåâîé ñòðîêå â ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñâîáîäíûé÷ëåí.(3) ×èñëî ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû,ðàâíî ÷èñëó íåãëàâíûõ ñòîëáöîâ.Ïðèìåð 25 Ðåøèòå ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1,2x1 − x3 + 5x4 − x5 = 3,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6.I Çàìåòèì, ÷òî âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû ìåíÿþò òîëüêîêîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèÿõ, ïîýòîìó âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáû÷íî ïðîèçâîäÿò íàä ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé äàííîé ñèñòåìû.Çàïèøåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ê ñòóïåí÷àòîìóâèäó.A(1)−1 01 −321× 2 0 −1 ×A(2)5−13 1 0 −2 ×A(3)4−5−6 0 0 −1 ×A(4) = A(1) + A(3)1−3−5 0 0 ×A(5) = A(2) − 2A(3)3−3915 0 01−135A(6) = 13 A(5) 0 00000 A(7) = A(4) + A(6)1 00214A(8) = A(3) + 2A(6)42Èòàê, ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû"#10021400 1 −135A(8)A(6),ãäå ðàìêîé âûäåëåíû ãëàâíûå åäèíèöû.

Характеристики

Список файлов книги