1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèÿ X1 = [0, 1, 0, 0, 0]T , X2 = [−2, 0, 1, 1, 0]T èX3 = [−1, 0, −3, 0, 1]T îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé äàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.J58Ïðèìåð 34 Íàéòè ñèñòåìó óðàâíåíèé, çàäàþùèõ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà âåêòîðûa1 = [1, −1, 1, 0]T ,a2 = [1, 1, 0, 1]T ,a3 = [2, 0, 1, 1]T .I Ïóñòü x ∈ ha1 , a2 , a3 i ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîîðäèíàòû x = [x1 , x2 , x3 , x4 ]T .
Òîãäàx = α1 a1 + α2 a2 + α3 a3äëÿ íåêîòîðûõ α1 , α2 , α3 . Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ ÷èñåë îçíà÷àåò ñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû óðàâíåíèéα1 + α2 + 2α3 = x1 , α +α= x2 ,12−α1 +α3 = x3 ,α2 + α3 = x4 .Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ê ñòóïåí÷àòîìóâèäó.2316 −166 166 066 066 064 0011012−10020112−100x1x2x3x4x1 + x2x3 − x1x4 + x3 − x1x1 + x2 − 2x477777777775××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)= A(2) + A(1)= A(3) − A(1)= A(6) + A(4)= A(5) − 2A(4)Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàx1 − x3 − x4 =0,x1 + x2 − 2x4 =0.JËèíåéíûå ìíîãîîáðàçèÿËèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì (òèïà V ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî M = a + V , ãäåV íåêîòîðîå ïîäïðîñòðàíñòâî, a âåêòîð, íå ïðèíàäëåæàùèé V .Òåîðåìà 16 (1) Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé AX = B ñîâ-ïàäàåò ñ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì X0 + L, ãäå X0 íåêîòîðîå ÷àñòíîåðåøåíèå AX = B , L ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñîïóòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû AX = 0.(2) Âñÿêîå ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå â Fn ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé íåêîòîðîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé.59Ïðèìåð 35 Íàéäèòå îáùåå ðåøåíèå è ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ñèñòåìûóðàâíåíèé−x1 + x3 − 3x4 + 2x5 = 1,2x1 − x3 + 5x4 − x5 = 3,x1 − 2x3 + 4x4 − 5x5 = −6.I Îáùåå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìûx1 = −2x4 − x5 + 4,x3 =x4 − 3x5 + 5,x2 , x4 , x5 ∈ R ïðîèçâîëüíûå,áûëî íàéäåíî â ïðèìåðå 25, à áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ñîïóòñòâóþùåéîäíîðîäíîé ñèñòåìû â ïðèìåðå 33:X1 = [0, 1, 0, 0, 0]T , X2 = [−2, 0, 1, 1, 0]T , X3 = [−1, 0, −3, 0, 1]T .×àñòíîå ðåøåíèå óäîáíî íàõîäèòü, çàíóëÿÿ âñå ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå:X0 = [4, 0, 5, 0, 0]T .Èòàê, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåX0 + αX1 + βX2 + γX3 ,ãäå α, β è γ ∈ R ïðîèçâîëüíûå.JÏðèìåð 36 Äàíû âåêòîðûa0 = [1, −1, 1, −1]T , a1 = [1, −1, 1, 0]T ,a2 = [1, 1, 0, 1]T ,a3 = [2, 0, 1, 1]T .Íàéäèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé, çàäàþùèõ ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå{a0 + αa1 + βa2 + γa3 }.I Ñíà÷àëà íàéäåì ñîïóòñòâóþùóþ îäíîðîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ a1 , a2 ,a3 . ïðèìåðå 34 ìû íàøëè ñîïóòñòâóþùóþ îäíîðîäíóþ ñèñòåìó(x1 − x3 − x4 = 0,x1 + x2 − 2x4 = 0.60Òîãäà a0 ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé(x1 − x3 − x4 = b1 ,x1 + x2 − 2x4 = b2 .Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî íåèçâåñòíûõ êîîðäèíàòû âåêòîðà a0 , íàõîäèì b1 = 1,b2 = 2.Èòàê, íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé(x1 − x3 − x4 = 1,x1 + x2 − 2x4 = 2.J6110.ÎïðåäåëèòåëèÏåðåñòàíîâêè è ïîäñòàíîâêè.Âñÿêîå ðàñïîëîæåíèå ÷èñåë 1, 2, .
. . , nâ íåêîòîðîì ïîðÿäêå íàçûâàåòñÿ(n).Ìíîæåñòâî âñåõ n-ïåðåñòàíîâîê îáîçíà÷àåòñÿ Pn . ×èñëî âñåâîçìîæíûõn-ïåðåñòàíîâîê ðàâíî n!.Ãîâîðÿò, ÷òî â äàííîé ïåðåñòàíîâêå ÷èñëà i è j îáðàçóþò,åñëè i > j , íî ñòîèò ðàíüøå j . Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ, åñëè÷èñëî èíâåðñèé ÷åòíîå, èíà÷å .Âñÿêîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , n} íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ(n). Îáû÷íî ïîäñòàíîâêè çàïèñûâàþò â âèäå òàáëèöû, ðàñïîëàãàÿ ÷èñëà â ïåðâîé ñòðîêå â ïîðÿäêåâîçðàñòàíèÿ:1 2 ... nσ=,i1 i2 .
. . inïåðåñòàíîâêîé -ïåðåñòàíîâêîéíå÷åòíîéïîäñòàíîâêîé -ïîäñòàíîâêîéèíâåðñèþ÷åòíîéãäå (i1 , i2 , . . . , in ) n-ïåðåñòàíîâêà. Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè îçíà÷àåò, ÷òîσ(1) = i1 , σ(2) = i2 , . . . , σ(n) = in .Ìíîæåñòâî âñåõ n-ïîäñòàíîâîê îáîçíà÷àåòñÿ Sn . ×èñëî ðàçëè÷íûõ nïîäñòàíîâîê ðàâíî ÷èñëó âñåõ n-ïåðåñòàíîâîê. ×èñëî èíâåðñèé ïîäñòàíîâêè inv σ ðàâíî ÷èñëó èíâåðñèé ïåðåñòàíîâêè (i1 , i2 , . . . , in ).sgn σ ïîäñòàíîâêè σ ðàâåí (−1)inv σ .ÇíàêÏðèìåð 37 Îïðåäåëèòå ÷åòíîñòü ïåðåñòàíîâêè (7, 5, 6, 4, 1, 3, 2).I Êîëè÷åñòâî èíâåðñèé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êàê ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïåðåñòàíîâêè ïåðåä 1 + ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïåðåä 2, êðîìå 1, + ÷èñëî ýëåìåíòîâïåðåä 3, êðîìå 1 è 2, è ò.ä..
. .Äëÿ äàííîé ïåðåñòàíîâêè ÷èñëî èíâåðñèé ðàâíî 4+5+4+3+1+1 = 18.Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷åòíàÿ.JÎïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà.Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà n-ãîïîðÿäêà.A íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà n!ñëàãàåìûõ, êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé ïðîèçâåäåíèå n ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A,âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è êàæäîãî ñòîëáöà. Ïðè ýòîì êàæäîåñëàãàåìîå a1i1 a2i2 . . . anin âõîäèò ñî çíàêîì sgn σ , ãäå1 2 ... nσ=,i1 i2 . . . inÎïðåäåëèòåëåì ìàòðèöûò.å.det A =Xsgn σ a1i1 a2i2 .
. . anin .σ∈Sn62Ïðèìåð 38 Âûÿñíèå, êàêèå èç ïðîèçâåäåíèé âõîäÿò â îïðåäåëèòåëü ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà? Åñëè âõîäÿò, òî ñ êàêèì çíàêîì?(1) a27 a36 a51a74a25 a43 a62;(2) a33 a16 a72a27a55 a61 a44.I (1) Íå âõîäèò, ò.ê. ñîäåðæèò äâà ìíîæèòåëÿ èç âòîðîé ñòðîêè: a27 èa25 .(2) Âõîäèò ñî çíàêîì +, ò.ê. ïîäñòàíîâêà1 2 3 4 5 6 76 7 3 4 5 1 2÷åòíàÿ (÷èñëî èíâåðñèé ðàâíî 16).JÏðèìåð 39 Ïîëüçóÿñü òîëüêî îïðåäåëåíèåì îïðåäåëèòåëÿ, âû÷èñëèòåa110 ...0a21 a22 . . .0...................an1 an2 . . . ann.I Çàìåòèì, ÷òî åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè ()áóäåò òîëüêî ïðîèçâåäåíèå a11 a22 .
. . ann . Åãî èíäåêñû ñîñòàâëÿþò òîæäå1 2 ... nñòâåííóþ ïîäñòàíîâêó ε = 1 2 . . . n , sgn ε = 1. Ñëåäîâàòåëüíî,a110 ...0a21 a22 . . .0...................an1 an2 . . . ann = a11 a22 . . . ann .JÂû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé 2-ãî è 3-ãî ïîðÿäêà.Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåéÒåîðåìà 17 Äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû det A = det A .T ÷àñòíîñòè, âñå ñâîéñòâà, ñôîðìóëèðâàííûå äëÿ ñòðîê, âåðíû è äëÿñòîëáöîâ.Òåîðåìà 18 Åñëè â ìàòðèöå ïîìåíÿòü ìåñòàìè ëþáûå äâå ñòðîêè, òîîïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñìåíèò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Èíà÷å ãîâîðÿ, det åñòü êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ôóêíöèÿ ñòðîê ìàòðèöû.63Òåîðåìà 19 Îïðåäåëèòåëü åñòü ëèíåéíàÿ ôóêíöèÿ ýëåìåíòîâ ëþáîé ååñòðîêè.
Èíà÷å ãîâîðÿ, îïðåäåëèòåëü åñòü ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîêìàòðèöû.Òåîðåìà 20 Äëÿ âñåõ n × n ìàòðèö A è B,det(A · B) = det A · det B.Ñëåäñòâèå 7 Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ íóëåâîé ñòðîêîé ðàâåí íóëþ.Ñëåäñòâèå 8 Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòðîêàìèðàâåí íóëþ.Ñëåäñòâèå 9 Äëÿ ëþáîé n × n ìàòðèöû A è ëþáîãî ñêàëÿðà λ,det(λA) = λn det A.Ñëåäñòâèå 10 Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî, íå ìåíÿåò îïðåäåëèòåëÿ.Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ñòðîêå.
Ìèíîðîì ïîðÿäêà k (íå îáÿ-çàòåëüíî êâàäðàòíîé) ìàòðèöû A íàçûâàþò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A, ñòîÿùèõ íà ïåðåñå÷åíèè êàêèõ-ëèáîðàçëè÷íûõ k ñòðîê è k ñòîëáöîâ ìàòðèöû A.Ïóñòü A n × n ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì Mij (A) ìèíîð ïîðÿäêà n − 1, ïîëó÷åííûé èç A âû÷åðêèâàíèåì ñòðîêè è ñòîëáöà, ñîäåðæàùèõ aij . ×èñëî(−1)i+j Mij (A) íàçûâàþòýëåìåíòà aij ìàòðèöû Aàëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåìÒåîðåìà 21 (Ëàïëàñ) Äëÿ êàæäîé ñòðîêè ìàòðèöû A îïðåäåëèòåëüðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ â ýòîé ñòðîêå íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ; àíàëîãè÷íî äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà:det Adet A =X(−1)i+j aij Mij (A),1 ≤ i ≤ n;(−1)i+j aij Mij (A),1 ≤ j ≤ n.1≤j≤ndet A =X1≤i≤nÏðèìåð 40 Ïîëüçóÿñüîïðåäåëèòåëåé,âû÷èñëèòå: ñâîéñòâàìè(1)a 3 0 50 b 0 21 2 c 30 0 0 d; (2)11111 −11111 −11111 −164.I (1) Îïðåäåëèòåëè ïîðÿäêà 4 è âûøå âû÷èñëÿþò ðàçëîæåíèåì ïî ñòðîêåèëè ïî ñòîëáöó. Ïðè ýòîì ëó÷øå âûáèðàòü òó ñòðîêó (èëè ñòîëáåö), âêîòîðîé ïî÷òè âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. äàííîì ïðèìåðå ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü, íàïðèìåð, ïî ïîñëåäíåéñòðîêå.
Òàê êàê ïî÷òè âñå ýëåìåíòû ýòîé ñòðîêè, êðîìå d, ðàâíû íóëþ, òîåäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ñëàãàåìûì áóäåò ïðîèçâåäåíèå d íà åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå a 3 0 5 a 3 0 a 3 0 0 b 0 2 4+4 1 2 c 3 = (−1) d · 0 b 0 = d · 0 b 0 . 1 2 c 1 2 c 0 0 0 d Äàëåå ìîæíî ðàçëîæèòü a 3d · 0 b 1 2ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó0 a 33+30 = (−1) cd 0 bc = abcd.(2) Ïðåîáðàçóåì îïðåäåëèòåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îäèí èç åãî ñòîëáöîâ (èëè îäíà èç ñòðîê) ñîäåðæàë ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî íóëåé. Äëÿýòîãî áóäåì ïðèáàâëÿòü ê ñòðîêàì (ñòîëáöàì) îïðåäåëèòåëÿ äðóãèå ñòðîêè(ñòîëáöû), óìíîæåííûå íà ïîäõîäÿùèå ÷èñëà.
Ïðè ýòîì âàæíî ñëåäèòü çàòåì, ÷òîáû èçìåíÿòü èìåííî òó ñòðîêó (ñòîëáåö),ïðèáàâëÿåì,à òàêæå çà ïîðÿäêîì ñòðîê.Ïðèáàâèì ïîñëåäíþþ ñòðîêó êî âñåì ïðåäûäóùèì è ðàçëîæèì ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó 1111 2 2 20 2 2 2 1 −111 2 0 20 == (−1)4+4 · (−1) · 2 0 2 . 11 −11 2 2 00 2 2 0 111 −1 1 1 1 −1 ê êîòîðîéÄàëåå, åñëè âûíåñòè 2 èç êàæäîé ñòðîêè îïðåäåëèòåëÿ è âû÷åñòü èç ïåðâîãî ñòîëáöà ïîñëåäíèé, ïîëó÷èì 2 2 2 0 1 1 − 2 0 2 = −23 · 0 0 1 . 2 2 0 1 1 0 Îñòàëîñü ðàçëîæèòü 03 −2 · 0 1ïî ïåðâîìó ñòîëáöó:1 1 33+1 10 1 = −2 · (−1)·01 0 1 = −23 .1 J65Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåén-ãîïîðÿäêàÌåòîä âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé ñ ÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè, ñîñòîÿùèéâ îáðàùåíèè â íóëü âñåõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñòðîêè (ñòîëáöà), êðîìå îäíîãî, è ïîñëåäóþùåì ïîíèæåíèè ïîðÿäêà, ñòàíîâèòñÿ âåñüìà ãðîìîçäêèìâ ñëó÷àå îïðåäåëèòåëåé ñ áóêâåííûìè ýëåìåíòàìè. Òåì áîëåå ýòîò ìåòîäíåóäîáåí â ñëó÷àå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà n.Îáùåãî ìåòîäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ òàêèõ îïðåäåëèòåëåé íå ñóùåñòâóåò.Ê îïðåäåëèòåëÿì òîãî èëè èíîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà ïðèìåíÿþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû, ïðèâîäÿùèå ê áîëåå ïðîñòîé, ÷åì (), ôîðìóëå.
Ïðèâåäåìíàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå èç íèõ.Ïðèâåäåíèå ê òðåóãîëüíîìó âèäó.Îïðåäåëèòåëü ïðåîáðàçóþò ê òàêîìó âèäó, ãäå âñå ýëåìåíòû, ëåæàùèå ïî îäíîìó ñòîðîíó îäíîé èç äèàãîíàëåé, ðàâíû íóëþ. Ñëó÷àé ïîáî÷íîé äèàãîíàëè ñâîäèòñÿ ê ãëàâíîé ïóòåìèçìåíåíèÿ ïîðÿäêà ñòðîê (ñòîëáöîâ).Ïðèìåð 41 Âû÷èñëèòå ïðèâåäåíèåì ê òðåóãîëüíîìó âèäó îïðåäåëèòåëüD=1 2 3 ... n − 2 n − 1 n2 3 4 ... n − 1nn3 4 5 ...nnn.................................n n n ...nnn.I Âû÷òåì ïîñëåäíþþ ñòðîêó èç êàæäîé ñòðîêè. 1 2 3 . .
. n − 2 n − 1 n 1 − n 2 − n . . . −2 −1 0 2 3 4 ... n − 1nn 2 − n 3 − n . . . −100 nnn = ................................D = 3 4 5 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −10...000 n n n ...nnn nn... nn n.Ðàçëîæèì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó. Ïîëó÷èì îïðåäåëèòåëü, ñîäåðæàùèé íóëåâûå ýëåìåíòû íèæå ïîáî÷íîé äèàãîíàëè. Ïðèýòîì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü èìååò ïîðÿäîê n − 1. 1 − n 2 − n . .
. −2 −1 2 − n 3 − n . . . −1 0 D = (−1)n+n · n · . ............................ −10...00 Ïåðåñòàíîâêîé ñòîëáöîâ ïðèâåäåì ìàòðèöó îïðåäåëèòåëÿ ê âåðõíåòðåóãîëüíîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ïîñòàâèì ïîñëåäíèé ñòîëáåö íà ìåñòîïåðâîãî, ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñòàâëÿÿ åãî ñ ñîñåäíèì ñòîëáöîì. Ïðè ýòîì66áóäåò ïðîèçâåäåíî n − 1 ïåðåñòàíîâêà ñòîëáöîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëü èçìåíèò çíàê n − 1 ðàç. −1 1 − n 2 − n . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
