1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Íî áàçèñ è íå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.J13.Ñîáñòâåííûå è êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâàÈíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà.Ïîäïðîñòðàíñòâî U ⊆ V íàçûâà-èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ : V → V , åñëèåòñÿϕ(U) ⊆ U , ò.å.ϕ(x) ∈ U äëÿ âñåõ x ∈ U.86Òåîðåìà 32 Äëÿ âñÿêîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ : V → V ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:(1) V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk , ãäå âñå Vi èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ϕ;(2) â íåêîòîðîì áàçèñå ïðîñòðàíñòâà V îïåðàòîð ϕ çàäàåòñÿ áëî÷íîäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ñ k áëîêàìè íà äèàãîíàëè.Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Âåêòîð v 6= 0 íà-ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : V → V , ïðèñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ (÷èñëó) λ ∈ F, åñëè A(x) = λx.Ñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì, ïðèíàäëåæùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëóçûâàåòñÿíàäëåæàùèìλ ∈ F, íàçûâàþò ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A, îòâå÷àþùèõ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ, â îáúåäèíåíèè ñ íóëåâûì âåêòîðîì, ò.å.V λ = {x ∈ V | A(x) = λx} ∪ {0}Äðóãèìè ñëîâàìè, V λ = Ker(A − λE), ãäå çà E îáîçíà÷åí òîæäåñòâåííûéîïåðàòîð íà V .
Ðàçìåðíîñòü dim V λ ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V λ íàçûâàþò÷èñëà λ.îïåðàòîðà A íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé A âìåñòå ñ èõ ãåîìåòðè÷åñêèìè êðàòíîñòÿìè è îáîçíà÷àþò Spec A.ãåîìåòðè÷åñêîé êðàòíîñòüþÑïåêòðîìÒåîðåìà 33 Ïóñòü äàí ëèíåéíûé îïåðàòîð A : V → V . Òîãäà:(1) ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì, ëèíåéíî íåçàâèñèìû;(2) ñóììà âñåõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ïðÿìàÿ.Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû è îïåðàòîðà.Ìíîãî÷ëåí χA (t) = det(A − tE) íàçûâàåòñÿìàòðèöû A.χA (t) îïåðàòîðà A : V → V ýòî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A ýòîãî îïåðàòîðà â íåêîòîðîì áàçèñå.Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n × n õàðàêòåðèñòè÷åñêèéìíîãî÷ëåí ðàâåíõàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîìÕàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí|A − λE| = (−λ)n + c1 (−λ)n−1 + .
. . + cn ,ãäå ci ñóììà ãëàâíûõ ìèíîðîâ ïîðÿäêà i ìàòðèöû A.Òåîðåìà 34 Ïóñòü λ ∈ F. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:(1) λ ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà A;(2) χA(λ) = 0;(3) V λ 6= {0}.87Ïðèìåð 57 Íàéäèòå ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, çàäàííîãî â íåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöåé"A=−5−7−9456234#.I (1) Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χA (λ) = det(A − λE).
Òîãäà ïî òåîðåìå 34 âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà äàííîãî îïåðàòîðà ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíà χA (λ). Âû÷èñëÿÿ ãëàâíûå ìèíîðû ìàòðèöû A, íàõîäèìõàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà: 4−λ−52 −7 − λ3 = (−λ)3 + (4 − 7 + 4)(−λ)2χA (λ) = 5 6−94−λ 4 −5 2 4 −5 4 2 −7 3 (−λ) + 5 −7 3 +++ −9 46 45 −7 6 −9 4 = − λ3 + λ 2 .Êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíà χA (λ), à, ñëåäîâàòåëüíî, è ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìèîïåðàòîðà ÿâëÿþòñÿ λ = 1 è λ = 0.(2) Íàéäåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå ñîáñòâåííûì ÷èñëàì1 è 0. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè áàçèñ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ V 1è V 0 , ò.å. áàçèñ Ker(A − λE) äëÿ λ = 1 è λ = 0.λ = 1. Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó îïåðàòîðà A1 = A − λE ïðè λ = 1:"# "#A1 = A − 1 · E =4−156−5−7 − 1−9234−1=356−5−8−9233.Èùåì áàçèñ ÿäðà îïåðàòîðà A1 . Äëÿ ýòîãî ñîñòàâëÿåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó [E|AT1 ] è ïðèâîäèì åå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó:32666666664100112−5010011−3Ïîëó÷èëè ìàòðèöó:2001110024 −513−5250101−315−83802−1001×6−93903−37 ×77 ×77 ×77751002−1088A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)3= A(3) + A(1)= A(4) + A(2)= A(2) + 2A(1)= A(1) − 3A(6) .3A(6)−3 5 A(7)A(5) .0Îòñþäà îïðåäåëÿåì áàçèñ ÿäðà Ker A1 ñîñòàâëÿåò âåêòîð ñ êîîðäèíàòàìè[1, 1, 1]T .
Çíà÷èò, V 1 = h[1, 1, 1]T i.Òåïåðü ðàññìîòðèì λ = 0 è îïåðàòîð A0 = A. Ïîâòîðÿÿ ðàññóæåíèÿ,íàõîäèì:012 0 2 5123−100−110−12 .0Èòàê, áàçèñ ÿäðà îïåðàòîðà A0 ñîñòàâëÿåò âåêòîð [1, 2, 3]T . Çíà÷èò, V 0 =h[1, 2, 3]T i.JÏðèìåð 58 Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íàëþáóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ A, èíâàðèàíòíîîòíîñèòåëüíî A.I Ïóñòü a1 , . . . , ak ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà A, ïðèíàäëåæàùèåñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λ1 , . .
. , λk ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþîáîëî÷êó ha1 , . . . , ak i è âåêòîð x ∈ ha1 , . . . , ak i. ÒîãäàAx = A(x1 a1 + . . . + xk ak ) = (x1 λ1 )a1 + . . . + (xk λk )ak ,òî åñòü Ax ∈ ha1 , . . . , ak i.JÄèàãîíàëèçàöèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðàäèàãîíàëèçèðóåìûìâïîëíå ðàçëîæèìûì íàäËèíåéíûé îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ, åñëè â íåêîòîðîìáàçèñå åãî ìàòðèöà A äèàãîíàëüíà.Ìíîãî÷ëåí â F[x] íàçûâàåòñÿF, åñëè îí ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â F[x].Òåîðåìà 35 (êðèòåðèé äèàãîíàëèçèðóåìîñòè) Äëÿ âñÿêîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V íàä F ýêâèâàëåíòíû óòâåðæäåíèÿ:(1) îïåðàòîð A äèàãîíàëèçèðóåì;(2) õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χA(t) âïîëíå ðàçëîæèì íàä F èãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòü êîðíÿ λ ðàâíà åãî êðàòíîñòè êàê êîðíÿ χA(t);(3) ïðÿìàÿ ñóììà âñåõ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ îïåðàòîðà A ðàâíà âñåìó ïðîñòðàíñòâó V , ò.å.V=MV λ.λ∈Spec AÑëåäñòâèå 14 Ëþáîé îïåðàòîð, èìåþùèé ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, äèàãîíàëèçèðóåì.89Ïðèìåð 59 Âûÿñíèòå, ìîæíî ëè ïðèâåñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó íàäìàòðèöó îïåðàòîðà:#"#"#−1 3 −16 −5 −31 −20(a) −3 5 −1 ; (b) 3 −2 −2 ; (c) 0 1 −2 .−3 312 −20−201Åñëè âîçìîæíî, òî íàéäèòå ýòîò âèä è áàçèñ, â êîòîðîì ìàòðèöà îïåðàòîðà äèàãîíàëüíà.R "I (a) Ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χA (λ) è íàõîäèì åãîêîðíè.
−1 − λ3−1 5−λ−1 = −(λ − 2)2 (λ − 1).χA (λ) = −3 −331−λ Ìíîãî÷ëåí χA (λ) èìååò ïðîñòîé êîðåíü 1 è äâîéíîé êîðåíü 2.Íàéäåì áàçèñ ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V 1 = Ker A1 , ãäå A1 =A − 1 · E.2316 066 064 1101001Ïîëó÷èëè ìàòðèöó00111−23−1−30214 01001−34−1−40111−330−30−3−10×7 ×7775−4−10A(1)A(2)A(3)A(4) = A(1) + A(3)A(5) = A(2) + A(4) .3−3A(4)0 5 A(3)A(5) .0Ïîýòîìó V 1 = Ker A1 = h[1, 1, 1]T i.Òåïåðü íàéäåì áàçèñ äëÿ ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V 2 = Ker A2 ,ãäå A2 = A − 2 · E.2316 066 064 100101100103−33−100Òîãäà ìàòðèöà èìååò âèä204 10011−33−100103−33−100−100×7 ×7775−10090A(1)A(2)A(3)A(4) = A(1) + A(2)A(5) = A(2) + 3A(3) .3−1A(3)0 5 A(4)A(5) .0Ïîýòîìó V 2 = Ker A2 = h[1, 1, 0]T , [0, 1, 3]T i.Èòàê, V 1 ⊕V 2 = h[1, 1, 1]T , [1, 1, 0]T , [0, 1, 3]T i = V .
Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð A äèàãîíàëèçèðóåì. Ïåðåõîäÿ ê áàçèñó, ñîñòàâëåííîìó èç ñîáñòâåííûõâåêòîðîâ, íàõîäèì ìàòðèöó îïåðàòîðà â íîâîì áàçèñå:"#100A0 = T −1 AT ="ãäå T =111110013020002,# ìàòðèöà ïåðåõîäà ê íîâîìó áàçèñó.(b) Ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χB (λ) è íàõîäèì åãîêîðíè. 6−λ−5−3 −2 − λ−2 = −(λ − 1)2 (λ − 2).χB (λ) = 3 2−20−λ Ìíîãî÷ëåí χB (λ) èìååò ïðîñòîé êîðåíü 2 è äâîéíîé êîðåíü 1.Íàéäåì áàçèñ ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V 1 = Ker B1 , ãäå B1 =B − 1 · E.2316 066 064 1101010001025−5−30−13−3−20−1Ïîëó÷åííàÿ ìàòðèöà èìååò âèä204 11001120×2−2−1007 ×7775−3−10−2−10A(1)A(2)A(3)A(4) = A(2) + A(1)A(5) = A(1) + 2A(3) .3−1A(3)0 5 A(5)A(4) .0Ïîýòîìó V 1 = Ker B1 = h[1, 1, 0]T i.Òåïåðü íàéäåì áàçèñ äëÿ ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V 2 = Ker B2 ,ãäå B2 = B − 2 · E.3266666641000210101100011114−5−3−8013−4−2−6012−2−2−4007 ×77 ×77 ×7591A(1)A(2)A(3)A(4) = A(2) + A(3)A(5) = A(4) + 2A(1)A(6) = A(3) + A(1)Òîãäà ìàòðèöà èìååò âèä214 1200101141031032A(1)0 5 A(6)A(5) .0Çíà÷èò, V 2 = Ker B2 = h[2, 1, 1]T i.Èòàê, V 1 ⊕ V 2 = h[1, 1, 0]T , [2, 1, 1]T i $ V .
Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð B íåäèàãîíàëèçèðóåì.(ñ) Ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χC (λ) è íàõîäèì åãîêîðíè. 1−λ−20 1−λ−2 = −(λ + 1)(λ2 − 4t + 7).χC (λ) = 0 −201−λ Ìíîãî÷ëåíχC (λ) èìååò âåùåñòâåííûé êîðåíü −1 è äâà êîìïëåêñíûõ êîðíÿ√2 ± i 3. Ïîýòîìó χC (λ) íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå ðàçëîæèìûì íàä R, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð C íå äèàãîíàëèçèðóåì.JÒàêèì îáðàçîì,ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, ÿâëÿþòñÿ:(1) ðàçëîæèìîñòü íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ìàòðèöû îïåðàòîðà;(2) ðàâåíñòâî ðàçìåðíîñòè ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà è êðàòíîñòèõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî êîðíÿ.âàæíûìè óñëîâèÿìè äèàãîíàëèçèðóåìîñòèÊîðíåâîå ðàçëîæåíèå ïðîñòðàíñòâàÊîðíåâûì ïîäïðîñòðàíñòâîì V(λ), ñîîòâåòñòâóþùèì ñîáñòâåííîìón çíà-÷åíèþ λ îïåðàòîðà A, íàçûâàåòñÿ ÿäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (A − λE) , ãäån = dim V .Ðàçìåðíîñòü dim V(λ) íàçûâàåòñÿêîðíÿλ.Çàìåòèì, ÷òî V λ = Ker(A − λE) ⊆ Ker(A − λE)n = V(λ).àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòüþÒåîðåìà 36 (êîðíåâîå ðàçëîæåíèå) Äëÿ âñÿêîãî îïåðàòîðà A íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V íàä F ýêâèâàëåíòíû óòâåðæäåíèÿ:(1) õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χA(λ) âïîëíå ðàçëîæèì íàä F;(2) ïðÿìàÿ ñóììà âñåõ êîðíåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ðàâíà âñåìó V .Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ êîðíåâîãî ðàçëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà.(1) Íàéòè ñîáñòâåíûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A.(2) Ñîñòàâèòü ìàòðèöó ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Ai = A − λi E äëÿ íåêîòîðîãî λi ∈ Spec A.92(3) Íàéòè áàçèñ ÿäðàKer Ani i = Ker(A − λi E)niè îáðàçàIm Ani i = Im(A − λi E)niîïåðàòîðà Ani i , ãäå ni ïîêàçàòåëü êðàòíîñòè êîðíÿ λi ìíîãî÷ëåíà χA (t).Áàçèñ ÿäðà Ker Ani i ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V(λi ).(4) Ïîâòîðèòü (1) (3) äëÿ âñåõ λi ∈ Spec A.Ïðèìåð 60 Íàéòè êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A,çàäàííîãî â íåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöåé:"456−5−7−9234#.I Ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí:χA (λ) = −λ3 + λ2 .Òîãäà ñïåêòð ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A ðàâåí Spec A = {1, 0}.Íàéäåì êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî V(1) äëÿ λ = 1.
Äëÿ ýòîãî ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó îïåðàòîðà A1 = A − 1 · E = A − E:"# "#A1 = A − E =4−156−5−7 − 1−9234−1=356−5−8−9233.Òàê êàê λ = 1 ïðîñòîé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà χA (t)(ïîêàçàòåëü êðàòíîñòè ýòîãî êîðíÿ ðàâåí 1), òî êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâîV(1) = Ker A11 = Ker(A − E)1ðàâíî ñîáñòâåííîìó ïîäïðîñòðàíñòâóV 1 = Ker A1 = Ker(A − E),ïðèíàäëåæàùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ = 1. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàéòèáàçèñ ÿäðà Ker A1 (ñì. ðåøåíèå ïðèìåðà 57).2324 −511−31001100Ñëåäîâàòåëüíî, V(1) = V 1 = h[1, 1, 1]T i.932−103−3 50Òåïåðü íàéäåì êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî V (0), ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ = 0. Òàê æå ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó îïåðàòîðà A0 =A − 0 · E = A:"#−5−7−9456A0 = A =234.Òàê êàê ïîêàçàòåëü êðàòíîñòè êîðíÿ λ = 0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà χA (t) ðàâíà 2, òî êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî V(0) = Ker A20 = Ker A2 .Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A20 ðàâíà:"A202=A =456−5−7−9#2234"=333−3−3−3111#.Íàéäåì ÿäðî Ker A20 , ìàòðèöà êîòîðîãî ðàâíà A20 .2316 066 064 1001011001033−3100Ïîëó÷èëè ìàòðèöó âèäà:204 103−31000113−3100103100×7 ×7775100A(1)A(2)A(3)A(4) = A(1) + A(2)A(5) = A(2) + 3A(3) .31A(3)0 5 A(4)A(5) .0Ñëåäîâàòåëüíî, V(0) = h[1, 1, 0]T , [0, 1, 3]T i.Èòàê, êîðíåâîå ðàçëîæåíèå âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà R3 = V(1) ⊕ V(0).JÇàìåòèì, ÷òîR3 = V(1) ⊕ V(0).Ïîñêîëüêó êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî V(1) åñòü ÿäðî Ker(A − E) îïåðàòîðàA − E, òî îáðàçîì Im(A − E) ýòîãî îïåðàòîðà áóäåò âòîðîå ñëàãàåìîå V(0)â ïðÿìîé ñóììå V(1) ⊕ V(0).
Ñëåäîâàòåëüíî, â êà÷åñòâå áàçèñà êîðíåâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V(0) ìîæíî âçÿòü áàçèñíûå âåêòîðû Im(A − E), ò.å.âåêòîðû [1, 2, 3]T è [0, 1, 3]T .14.Æîðäàíîâà íîðìàëüíàÿ ôîðìà ëèíåéíîãî îïåðàòîðàÑëó÷àé íèëüïîòåíòíîãî îïåðàòîðà94Íèëü-öåïè.Ïóñòü N : V → V íèëüïîòåíòíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð,ò. å. Nm (V) = 0 äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî m > 1.Ïóñòü u ∈ V . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ u, Nu, N2 u, . . . , Nh−1 uíàçûâàåòñÿhu, åñëè Nh u = 0.Ñèñòåìà âåêòîðîâ, ñîñòàâëåííàÿ èç íèëü-öåïåé, íàçûâàåòñÿ. Çàïèñü æîðäàíîâîé ñèñòåìû âåêòîðîâ â âèäå òàáëèöû èç íèëü-öåïåéíàçûâàåòñÿ.íèëü-öåïüþ âûñîòû ñ íà÷àëîì â âåêòîðåâîéæîðäàíî-æîðäàíîâîé òàáëèöåéâûñîòàâûñîòàâûñîòàâûñîòàh1 + 1h1h1 − 1h1 − 2âûñîòà 1u1Nu1N2 u1N3 u1...Nh1 u1u2Nu2N2 u2...Nh2 u2...uk. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
