1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Åñëè âñå îíè ðàâíû 0, òî rk A = r.Ïðèìåð 45 Íàéäèòå ìåòîäîì îêàéìëÿþùèõ ìèíîðîâ ðàíã ìàòðèöû"A=242−1−2−1351−218472#.I  êà÷åñòâå íåíóëåâîãîìèíîðàïîðÿäêà 1 ìîæíî âçÿòü M1 = 2. Ðàñ 2 −1 ïîðÿäêà 2, îêàéìëÿþùèé íàéäåííûé ìèñìîòðèì ìèíîð M2 = 4 −2 íîð M1 . Çàìåòèì,÷òî M2 = 0. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì åùå îäèí ìèíîð23 ïîðÿäêà 2, îêàéìëÿþùèé ìèíîð M1 .

Òàê êàê M20 6= 0, òîM20 = 4 5 ïåðåéäåì ê ìèíîðàì 3-ãî ïîðÿäêà, îêàéìëÿþùèì äàííûé ìèíîð. ìàòðèöå A ñîäåðæèòñÿ òðè ìèíîðà ïîðÿäêà 3, îêàéìëÿþùèõ ìèíîðM20 . À èìåííî, 2 3 −1 2 3 −2 2 3 4 1 , M300 = 4 5 7 .M3 = 4 5 −2 , M30 = 4 5 2 1 −1 2 1 2 1 2 8 Ïîñêîëüêó êàæäûé èç íèõ ðàâåí íóëþ, òî rkM A = 2.72JÊðèòåðèé íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû. Îáðàòíûå ìàòðèöû. Ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ.Òåîðåìà 24 Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà n × n ìàòðèöó A ðàâíîñèëüíû:(1) det A 6= 0;(2) rk A = n;(3) ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà A−1, ÷òî AA−1 = A−1A = E .Åñëè ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû, òî ìàòðèöó A íàçûâàþò íåâûðîæäåííîé,à ìàòðèöó A−1 îáðàòíîé ê A.∨òðàíñïîíèðîâàííóþÎáîçíà÷èì Aìàòðèöó àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëi+jíåíèé, ò.å.

ìàòðèöó ñ ýëåìåíòàìè a∨Mji . Òîãäàij = (−1)A−1 =1· A∨ .det AÎäíàêî ïðè âû÷èñëåíèè îáðàòíûõ ìàòðèö áîëåå ýôôåêòèâíûì è ìåíååòðóäîåìêèì ÿâÿåòñÿ.Çàìåòèì, ÷òî îáðàòíàÿ ìàòðèöà A−1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìAX = E ñ èçâåñòíîé ìàòðèöåé A è åäèíè÷íîé ìàòðèöåé E(òîãî æå ðàçìåðà). Òîãäà ìàòðèöà X äîëæíà áûòü êâàäðàòíîé, è êàæäûéåå ñòîëáåö X (i) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé AX (i) = E (i) , ãäåX (i) îáîçíà÷àåò i-é ñòîëáåö X . Ðàçóìíî ïîñòóïèòü àíàëîãè÷íî ïðèìåðó 31,ñîñòàâèâ ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó [A|E] è ïðèâåäÿ åå ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó,íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó.ìåòîä ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèéìàòðè÷íîãîóðàâíåíèÿÏðèìåð 46 Íàéäèòå îáðàòíóþ ìàòðèöó A äëÿ ìàòðèöû−13A =  −2111010 .0I Ïðèïèñûâàåì ê ìàòðèöå A ñïðàâà ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû E , ò.å.ñàìó åäèíè÷íóþ ìàòðèöó, çàòåì ïðèâîäèì ëåâóþ ïîëîâèíó ê ñòóïåí÷àòîìóâèäó:3−2100011011010001110001000101210 −31 −1 −573×××A(1)A(2)A(3)A(4) = A(2) + 2A(3)A(5) = A(1) − 3A(3)A(6) = A(5) − A(4) .Âûïèñûâàåì îñòàâøèåñÿ ñòðîêè0010 0 100 1ìàòðèöû001012 1 −1 −5A(3)A(4)A(6) .Ìàòðèöà, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè, îáðàòíà ê èñõîäíîé ìàòðèöå A.JÏðèìåð 47 Ðåøèòå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå"232−3−5−4122#"·X =−3−5−4586−2−3−2#.I Åñëè ìàòðèöà A íåâûðîæäåíà, òî ðåøåíèå X ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿAX = B (XA = B ) ìîæíî íàéòè, óìíîæàÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà ìàòðèöó A−1 :X = A−1 B (X = BA−1 ). äàííîì ïðèìåðå ìàòðèöà A íå îáðàòèìà, ò.ê.

åå ñòîëáöû ëèíåéíî çàâèñèìû: A(1) + A(2) + A(3) = 0. Çàìåòèì, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû B òàêæåëèíåéíî çàâèñèìû: B (1) + B (2) + B (3) = 0. Íàéäåì ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ.Ñîñòàâèì òàáëèöó è ïðèâåäåì åå ëåâóþ ïîëîâèíó ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó:2 −31 −35 −2×A(1) 3 −52 −58 −3  ×A(2) 2 −42 −46 −2  ×A(3) 1 −10 −12 −1  ×A(4) = A(2) − A(3) 0 1 −11−10A(5) = A(1) − A(3) 0 −2 ×−2202A(6) = A(3) − 2A(4) 000000 A(7) = A(6) + 2A(5)A(8) = A(4) + A(5) .10 −101 −1 ñòîðêå A(7) âûÿñíèëîñü, ÷òî âñå òðè ñòîëáöà íà÷àëüíîé ìàòðèöû B äàþòñîâìåñòíûå ñèñòåìû.

Âûïèøåì îñòàâøèåñÿ íåíóëåâûå ñòðîêè:#"A(8)10 −1 01 −1A(5) .0 1 −1 1 −10Òåïåðü ïî íèì íóæíî çàïèñàòü ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ ñîïóòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû AX = 0 è ïî îäíîìó ÷àñòíîìó ðåøåíèþ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû AX = B (k) äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà ìàòðèöû B . Ïóñòü x374 ïàðàìåòð. Ïîäñòàâëÿÿ x3 = 1, íàõîäèì ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå X0 ;ïîäñòàâëÿÿ x3 = 0 íàõîäèì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ X1 , X2 , X3 :  101−1X0 =  1  , X1 =  1  , X2 =  −1  , X3 =  0  .1000Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû AX = B (k) åñòü ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå{X (k) + αk X (0) | αk ∈ R},ïðè÷åì ïàðàìåòðû α1 , α2 , α3 ìåæäó ñîáîé íåçàâèñûìû. Ïîýòîìó îáùååðåøåíèå èñõîäíîãî ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå  101 −10  +  1  · α1 α2 α3 ,X =  1 −11000èëè 01 −1α10  +  α1X =  1 −1000α1α2α2α2α3α3  .α3JÏðàâèëî Êðàìåðà.Òåîðåìà 25 Åñëè det A 6= 0, òî ñèñòåìà AX = B ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè, îíà æåA(1) x1 + A(2) x2 + .

. . + A(n) xn = Bâ ôîðìå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåX = [bx1 , xb2 , . . . , xbn ]T ,xbj = Dj / det A,ãäå Dj åñòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç ìàòðèöû A çàìåíîéñòîëáöà A(j) íà ñòîëáåö B .Ïðèìåíåíèå îïðåäåëèòåëåé ê ñîñòàâëåíèþ óðàâíåíèé è äîêàçàòåëüñòâó ëèíåéíîé (íå)çàâèñèìîñòè.Ïðèìåð 48 Íàéäèòå óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå äëÿ òîãî,÷òîáû òðè òî÷êè (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé.75I Ïóñòü Ax + By + c = 0 óðàâíåíèå ïðÿìîé. Ïðèíàäëåæíîñòü äàííûõòî÷åê ïðÿìîé ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî êàæäîå èç ðàâåíñòâAx1 + By1 + C = 0,Ax2 + By2 + C = 0,Ax3 + By3 + C = 0ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâîì.

Äàííóþ ñèñòåìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ A, B , C , íå ðàâíûõîäíîâðåìåííî íóëþ.Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà rk A ìåíüøå ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ñòðîê ìàòðèöû, ÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâóíóëþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ñèñòåìû, ò.å.

x1 y1 1 x2 y2 1 = 0. x3 y3 1 JÏðèìåð 49 Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.I Ïóñòü (x, y) åñòü ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðóæíîñòè, è (x − x0 )2 + (y −y0 )2 = R2 óðàâíåíèå èñêîìîé îêðóæíîñòè. Òàê êàê âñå ÷åòûðå òî÷êè(x, y), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ïðèíàäëåæàò íà äàííîé îêðóæíîñòè, òîèõ êîîðäèíàòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè. Ïîëó÷àåì ñèñòåìóóðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî x0 , y0 è R: 2x − 2xx0 + x20 + y 2 − 2yy0 + y02 − R2 = 0, 2x1 − 2x1 x0 + x20 + y12 − 2y1 y0 + y02 − R2 = 0,x22 − 2x2 x0 + x20 + y22 − 2y2 y0 + y02 − R2 = 0, 2x3 − 2x3 x0 + x20 + y32 − 2y3 y0 + y02 − R2 = 0,êîòîðóþ ïåðåïèøåì â âèäå−2xx0 − 2yy0 + (x20 + y02 − R2 ) + (x2 + y 2 ) = 0,−2x x − 2y y + (x2 + y 2 − R2 ) + (x2 + y 2 ) = 0,1 01 0001122222−2xx−2yy+(x+y−R)+(x+y2 02 00022 ) = 0,22222−2x3 x0 − 2y3 y0 + (x0 + y0 − R ) + (x3 + y3 ) = 0.76Ïîëó÷èëè ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ x0 , y0 è x20 + y02 −R2 .

Îíà ñîâìåñòíà òîãäà, êîãäà ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû äàííîé ñèñòåìû ëèíåéíî çàâèñèìû, ò.å. −2x −2y 1 x2 + y 2 −2x1 −2y1 1 x21 + y12 −2x2 −2y2 1 x22 + y22 = 0. −2x3 −2y3 1 x23 + y32 JÏðèìåð 50 Äîêàæèòå ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû ôóíêöèéek1 x , ek2 x , . .

. , ekn x ,ãäå âñå k1, k2, ..., kn ïîïàðíî ðàçëè÷íûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà.I Çàïèøåì òðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþα1 ek1 x + α2 ek2 x + . . . + αn ekn x = 0è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî n − 1 ðàç. Ïîëó÷èì ñèñòåìóóðàâíåíèé: ek1 xek2 x...ekn xα1 k1 ek1 xk2 ek2 x...kn ekn x   α2  . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ·  . . .  = 0.αnk1n−1 ek1 x k2n−1 ek2 x . . . knn−1 ekn xÒàê êàê eki 6= 0, i = 1, 2, . . . , n, òî ñèñòåìà ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå 11...1α1 k1k2...kn   α2  . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .  ·  . . .  = 0.αnk1n−1 k2n−1 . . . knn−1Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû äàííîé ñèñòåìû åñòü îïðåäåëèòåëü Âàíäðåìîíäà,êîòîðûé íå ðàâåí íóëþ äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë k1 , k2 , . . . , kn . Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå α1 = . .

. =αn = 0, è äàííàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé ëèíåéíî íåçàâèñèìà.J11.Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìûÏóñòü F îáîçíà÷àåò îäíó èç ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ R èëè C.77Áèëèíåéíîé ôîðìîé íà Fn íàçûâàþò âûðàæåíèå âèäàf (X, Y ) = X T AY,ãäå X = [x1 , . . . , xn ]T è Y = [y1 , . .

. , yn ]T ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç Fn , àA = [aij ] ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïîðÿäêà n × n, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ.Áèëèíåéíóþ ôîðìó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ìíîãî÷ëåíà îò ïåðåìåííûõx1 , . . . , xn , y1 , . . . , ynXf (X, Y ) =aij xi yj .ìàòðèöåé áèëèíåéíîé ôîðìû1≤i,j≤nÁèëèíåéíàÿ ôîðìà îáëàäàåò ñâîéñòâîììåíòó:ëèíåéíîñòè ïî êàæäîìó àðãó-f (α1 X1 + α2 X2 , Y ) =α1 f (X1 , Y ) + α2 f (X2 , Y ),f (X, β1 Y1 + β2 Y2 ) =β1 f (X, Y1 ) + β2 f (X, Y2 ),ãäå Xi , Yj ∈ Fn , αi , βj ∈ F (i, j = 1, 2).íàçûâàþò âûðàæåíèå âèäàÊâàäðàòè÷íîé ôîðìîéq(X) = f (X, X) = X T AX.êîòîðîå òàêæå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìíîãî÷ëåíàXq(X) =aij xi xj .1≤i,j≤nÁèëèíåéíàÿ ôîðìà íàçûâàåòñÿñèììåòðè÷íîé, åñëèf (X, Y ) = f (Y, X).Òåîðåìà 26 Áèëèíåéíàÿ ôîðìà f (X, Y ) = XAY ñèììåòðè÷íàÿ òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöà A áèëèíåéíîé ôîðìû f ñèììåòðè÷íà.Òåîðåìà 27 Ëþáàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà çàäàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé.TÈçìåíåíèå ìàòðèöû áèëèíåéíîé ôîðìû ïðè ñìåíå áàçèñîâ.ÏóñòüS ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà {e1 , .

. . , en } ê áàçèñó {f1 , . . . , fn }, ñâÿçûâàþùàÿ ñòàðûå è íîâûå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ X = SX 0 è Y = SY 0 . Òîãäàìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû â íîâûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä:A0 = S T AS.78ýêâèâàëåíòûìèêàíîíè÷åñêèé âèäÄâå áèëèíåéíûå ôîðìû íàçûâàþòñÿ, åñëè îäíà ïîëó÷åíà èç äðóãîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ.Ãîâîðÿò, ÷òî áèëèíåéíàÿ ôîðìà f èìååò, åñëè åå ìàòðèöà A äèàãîíàëüíà. Áàçèñ B , â êîòîðîì A äèàãîíàëüíà, íàçûâàåòñÿ.íîíè÷åñêèìêà-Òåîðåìà 28 (Ëàãðàíæ) Äëÿ âñÿêîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ñóùåñòâóåòêàíîíè÷åñêèé áàçèñ.Ìåòîä ïðèâåäåíèÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó(ìåòîä Ëàãðàíæà, ìåòîä âûäåëåíèÿ ïîëíûõ êâàäðàòîâ).

Ïóñòüäàíà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìàq(X) =Xaij xi xj .1≤i,j≤n(1) Ïóñòü a11 6= 0. Åñëè a11 = 0 è aii 6= 0, òî ïåðåíóìåðîâûâàåì ïåðåìåííûå.Èòàê, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî a11 6= 0. Ñãðóïïèðóåì âñå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå x1 , è âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò:Xq(X) =[a11 x21 + 2x1 (a12 x2 + . . . + a1n xn )] +aij xi xj2≤i,j≤na12a1n=a11 (x1 +x2 + .

. . +xn )2 +a11a11Äàëåå ïîâòîðÿåì ðàññóæäåíèÿ äëÿ ôîðìûXbij xi xj .2≤i,j≤nPbij xi xj è ò.ä.2≤i,j≤n(2) Åñëè âñå aii = 0 è aij 6= 0, òî ìîæíî ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííûõ:xi = x0i − x0j ,xj = x0i + x0j ,xk = x0k äëÿ âñåõ k 6= i, j.Ïðèìåð 51 Íàéäèòå íîðìàëüíûé âèä è íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå ê ýòîìó âèäó ôîðìó, äëÿ ôîðìûq(X) = x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 .I Òàê êàê âñå aii = 0 è a12 6= 0, òî âûïîëíèì çàìåíóx1 = y1 − y2 ,x2 = y1 + y2 ,x3 = y3 ,x4 = y4 .Òîãäàq(Y ) =(y1 − y2 )(y1 + y2 + y4 ) + (y1 + y2 )y3 + y3 y4=y12 + y1 y3 + y1 y4 − y22 − y2 y4 + y2 y3 + y3 y4 .79Òåïåðü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ñîäåðæèò y12 .

Характеристики

Список файлов книги