1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü îáùååðåøåíèå â âèäåx1 = −2x4 − x5 + 4,x3 =x4 − 3x5 + 5,x2 , x4 , x5 ∈ R ïðîèçâîëüíûå.JÏðèìåð 26 Èññëåäîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé íà ñîâìåñòíîñòü è íàéòèîáùåå ðåøåíèå â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà λ5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3,4x1 − 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1,8x1 − 6x1 − x3 − 5x4 = 9,7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = λ.I Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ñíà÷àëà êïåöåâèäíîìó âèäó.5 4 87−324−237−6 −1 −5−37 1731 9 λòðà-A(1)A(2)A(3)A(4)Çàìåòèì, ÷òî â ïåðâîì ñòîëáöå ìàòðèöû íåò íè îäíîãî ÷èñëà, êðàòíîãîâñåì îñòàëüíûì.

Ìîæíî, íàïðèìåð, â êà÷åñòâå âåäóùåé âûáðàòü ïåðâóþñòðîêó, íî òîãäà â õîäå âû÷èñëåíèé ïîÿâÿòñÿ äðîáíûå ÷èñëà, ÷òî çàòðóäíÿåò âû÷èñëåíèÿ. Îäíàêî, åñëè âû÷åñòü èç ïåðâîé ñòðîêè âòîðóþ, ïîëó÷èìñòðîêó ñ ïåðâûì åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì.43548710000001−324−237−6 −1 −5−37 17−1 −1 −327 1927 194 14 38000000719122513022319λ2−7−7λ − 140λ− 7292××××××××A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) = A(1) − A(2)A(6) = A(2) − 4A(5)A(7) = A(3) − 8A(5)A(8) = A(4) − 7A(5)A(9) = A(7) − A(6)A(10) = A(8) − 2A(6)A(11) = 21 A(6)A(12) = A(5) + A(11)Èòàê, òðàïåöåâèäíàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû10 25 13− 232 0 1 7 19 − 7 222  00 00λ 00 000A(12)A(11)A(10)A(9)Ïîñêîëüêó ñèñòåìà ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîé íóëåâîé ñòðîêå îñíîâíîé ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñâîáîäíûé ÷ëåí, òîäàííàÿ ñèñòåìàòîëüêî ïðè λ = 0. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ïðèλ=01x1 = − 2 (3 + 5x3 + 13x4 ),x2 = − 12 (7 + 7x3 + 19x4 ),x3 , x4 ∈ R ïðîèçâîëüíûå.ñîâìåñòíàÑèñòåìàíå ñîâìåñòíà ïðè λ 6= 0.J449.Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâàÏóñòü F îäíà èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì: R èëè C.íàä F íàçûâàåòñÿ íåïóñòîåìíîæåñòâî L ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû èç F, òàêèìè, ÷òî äëÿ ëþáûõ a, b è c ∈ L è ëþáûõ α è β ∈ F âûïîëíåíû àêñèîìû:(L1) (a + b) + c = a + (b + c) (àññîöèàòèâíîñòü);(L2) a + b = b + a (êîììóòàòèâíîñòü);(L3) ∃0 ∈ L : a + 0 = 0 + a = a (ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ);(L4) ∃(−a) ∈ L : a + (−a) = (−a) + a = 0 (ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî âåêòîðà);(L5) α(βa) = (αβ)a (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð);(L6) (α + β)a = αa + βa è α(a + b) = αa + αb (äèñòðèáóòèâíîñòüóìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ;(L7) 1 · a = a (ñâîéñòâî åäèíèöû).Ýëåìåíòû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþò.Ëèíåéíûì (âåêòîðíûì) ïðîñòðàíñòâîìâåêòîðàìèÏðèìåð 27 Âûÿñíèòå, ÿâëÿåòñÿ ëè ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì êàæäîåèç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ:(1) ìíîæåñòâî Fn = {(a1, a2, .

. . , an) : ai ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} ñòîëáöîââûñîòû n íàä F ñ îïåðàöèÿìè ïîêîìïîíåíòíîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ñêàëÿð:[a1 , . . . an ] + [b1 , . . . , bn ] = [a1 + b1 , . . . , an + bn ],λ[a1 , . . . , an ] = [λa1 , . . . , λan ];(2) ìíîæåñòâî Mm×n(F) ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö [aij ] ïîðÿäêà m × níàä F ñ îïåðàöèÿìè ïîêîìïîíåíòíîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð:[aij ] + [bij ] = [aij + bij ],λ[aij ] = [λaij ];(3) ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå nFn [x] = {f (x) = at xt + at−1 xt−1 + .

. . + a1 x + a0 : ai ∈ F, 0 ≤ i ≤ t, t ≤ n}ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû ìíîãî÷ëåíîâ;(4) C ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàä R ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìèñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.I Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ÷òî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî îáðàçóåò ëèíåéíîåïðîñòðàíñòâî, íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü âûïîëíèìîñòü âñåõ àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.45(1) Ïîñêîëüêó îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû â ïðîñòðàíñòâå ñòîëáöîâ Fn îïðåäåëåíû ïîêîìïîíåíòíî, òî àêñèîìû (L1), (L2), (L5) (L7) âûïîëíåíû, òàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòññÿ äëÿ ýëåìåíòîâ F. Íóëåâûì âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ ñòîëáåö ñ íóëåâûìè êîìïîíåíòàìè:0 = [0, 0, .

. . , 0].Òîãäà âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé äàííîìó ýòî âåêòîð, âñå êîîðäèíàòûêîòîðîãî ïðîòèâîïîëîæíû êîîðäèíàòàì äàííîãî, ò.å.−[a1 , a2 , . . . , an ] = [−a1 , −a2 , . . . , −an ].(2) Àíàëîãè÷íî, ïîñêîëüêó ñëîæåíèå ìàòðèö è óìíîæåíèå íà ñêàëÿðîïðåäåëÿåòñÿ ïîêîìïîíåíòíî, òî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå àêñèîì (L3) è (L4). Ðîëü íóëåâîãî ýëåìåíòà â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö èãðàåò íóëåâàÿ ìàòðèöà ìàòðèöà ñ íóëåâûìè ýëåìåíòàìè, à ìàòðèöà, ïðîòèâîïîëîæíàÿ äàííîé, ýòî ìàòðèöà, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîé ïðîòèâîïîëîæíûñîîòâåòñòâóþùèì êîìïîíåíòàì äàííîé ìàòðèöû.(3) Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå áîëåå n òàêæå îáðàçóþò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.

 ýòîì ìíîæåñòâå ðîëü íóëåâîãî âåêòîðà âûïîëíÿåòíóëåâîé ìíîãî÷ëåí, à ïðîòèâîïîëîæíîãî ìíîãî÷ëåí ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè êîìïîíåíòàìè.(4) Ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî(1).JËèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ.êîìáèíàöèåéòîðËèíåéíîéÏóñòü {X1 , X2 , . . . , Xr } = X ⊆ Fn .âåêòîðîâ X ñ êîýôôèöèåíòàìè α1 , α2 , . . . , αr íàçûâàþò âåê-X = α1 X1 + α2 X2 + . . . + αr Xr .Åñëè α1 = 0, α2 = 0, . . .

, αr = 0, òî êîìáèíàöèþ α1 X1 + α2 X2 + . . . + αr Xríàçûâàþò.òðèâèàëüíîéËèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü.Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ {X1 , X2 , . . . , Xr } = X ⊆ëèíåéíî çàâèñèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò èõ íåòðèâèàëüíàÿ ëè-Fn íàçûâàþòíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ò.å.∃(α1 , α2 , . . .

, αr ) 6= (0, 0, . . . , 0) : α1 X1 + α2 X2 + . . . + αr Xr = 0.Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ {X1 , X2 , . . . , Xr } = X ⊆ Fn íàçûâàþò, åñëèíåçàâèñèìûìëèíåéíîα1 X1 + α2 X2 + . . . + αr Xr = 0 =⇒ α1 = α2 = . . . = αr = 0.46Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé.Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà âåêòîðîâ{X1 , X2 , . . . , Xr } = X ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà:(1) åñëè Y ⊆ X è Y ëèíåéíî çàâèñèìî, òî X ëèíåéíî çàâèñèìî;(2) åñëè Y ⊆ X è X ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî Y ëèíåéíî íåçàâèñèìî;(3) õîòÿ áû îäèí âåêòîð Xi ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå âåêòîðû X òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà X ëèíåéíî çàâèñèìî;(4) åñëè X ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òî Z ∈ hX i òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàX ∪ {Z} ëèíåéíî çàâèñèìî.Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Ïîäïðîñòðàíñòâî.Ìíîæåñòâî hX i âñåõ âîçìîæíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ èç X íàçûâàåòñÿX , ò.å.ëî÷íîéëèíåéíîé îáî-hX i = {α1 X1 + α2 X2 + . .

. + αr Xr | αi ∈ F, i = 1, 2, . . . , r}.Òåîðåìà 10 Ïóñòü L ⊆ F íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî. Òîãäà L nïîä-ïðîñòðàíñòâà Fn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé, ò.å. äëÿ ëþáûõX, Y ∈ L è äëÿ ëþáûõ λ, µ ∈ FïðîñòðàíñòâîλX + µY ∈ L.Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà hX i çàêìêíóòà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ èóìíîæåíèÿ íà ñêàëÿðû, ò.å. äëÿ ëþáûõ X , Y ∈ hX i èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ αX + βY ∈ hX i. Ñëåäîâàòåëüíî, hX i ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîìFn .Ïðèìåð 28 Âûÿñíèòå, ÿâëÿþòñÿ ëè ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà êàæäàÿ èç ñëåäóþùèõ ñîâîêóïíîñòåé âåêòîðîâ:(1) âñå âåêòîðû ïëîñêîñòè, êàæäûé èç êîòîðûõ ëåæèò íà îäíîé èçîñåé êîîðäèíàò Ox è Oy;(2) ìíîãî÷ëåíû ñ âåùåñòâåííûìèêîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè n;(3) {(x1, x2, .

. . , xn) ∈ Rn : x1 + x2 + . . . + xn = 0, } nîòíîñèòåëüíîîáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿn è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð â R ;(4) {(x1, x2, . . . , xn) ∈ R : x1 + x2 + . . . + xn = 1, } îòíîñèòåëüíîîáû÷íûõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð â Rn.I (1) Ìíîæåñòâî Ox ∪ Oy âåêòîðîâ, ëåæàùèõ íà îäíîé èç îñåé Ox è Oyíå çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì íà ïëîñêîñòè.47(2) Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n íå îáðàçóåò ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàñòâî â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ R[x].

Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèìäâà ìíîãî÷ëåíàf (x) = xn + an−1 xn−1 . . . + a1 x + a0èg(x) = −xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 .Òîãäà ñóììà ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ(f + g)(x) = (an−1 + bn−1 )xn−1 + . . . + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 )èìååò ñòåïåíü ìåíüøå n, à çíà÷èò, íå ïðèíàäëåæèò äàííîìó ìíîæåñòâó.(3) Äàííîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòàíñòâîì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîâåðèì çàìêíóòîñòü îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ äàííîé ñîâîêóïíîñòè. Ïóñòü [x1 , . . .

, xn ] è [y1 , . . . , yn ]ïðèíàäëåæàò äàííîìó ìíîæåñòâó, ò.å.x1 + . . . + xn = y1 + . . . + yn = 0.Òîãäàλ[x1 , . . . , xn ] + µ[y1 , . . . , yn ] = [λx1 + µy1 , . . . , λxn + µyn ]òîæå ïðèíàäëåæèò äàííîìó ìíîæåñòâó, ò.ê. óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ(λx1 + µy1 ) + . . . + (λxn + µyn ) = λ(x1 + . . . + xn ) + µ(y1 + . . . + yn ) = 0.(4) Äàííîå ìíîæåñòâî íå ÿâëÿòåñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â Rn ,ò.ê. îíî íå çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè [x1 , .

. . , xn ] è [y1 , . . . , yn ] ïðèíàäëåæàò äàííîìó ìíîæåñòâó, ò.å.x1 + . . . + xn = y1 + . . . + yn = 1,òî(x1 + y1 ) + . . . + (xn + yn ) = (x1 + . . . + xn ) + (y1 + . . . + yn ) = 2 6= 1.JÁàçèñ ïðîñòðàíñòâà. Ðàçìåðíîñòü.Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ Fn ⊇ X = {X1 , . . . , Xr } íàçûâàåòñÿïðîñòðàíñòâà L ⊂ Fn ,åñëè:(1) X ëèíåéíî íåçàâèñèìî;48áàçèñîì(2) hX i = L.Äðóãèìè ñëîâàìè, êàæäûé âåêòîð Y èç Lâ âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç X :îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿY = α1 X1 + . .

. + αr Xr .Êîýôôèöèåíòû [α1 , . . . , αr ]T â ðàçëîæåíèè âåêòîðà Y íàçûâàþòñÿâåêòîðà Y â áàçèñå X .Ïðîñòðàíñòâî Fn îáëàäàåò:íàòàìèêîîðäè-ñòàíäàðòíûì áàçèñîìTE1 = [1, 0, . . . , 0] , E2 = [0, 1, . . . , 0]T , . . . , En = [0, . . . , 0, 1]T .Òåîðåìà 11 Ïóñòü L ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà â F ñ áàçèñîì {X , X , . . . , X }nè Y1, Y2, ..., Ys ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ èç L. Òîãäà:(1) s ≤ r;(2) {Y1, Y2, .

. . , Ys} ìîæåò áûòü äîïîëíåíà äî áàçèñà L.Òåîðåìà 12 Êàæäîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ∅ 6= L ⊆ Fn îáëàäàåò êîíå÷íûì áàçèñîì. Âñå áàçèñû L ñîñòîÿò èç îäèíàêîâîãî ÷èñëà r ≤ n âåêòîðîâ.×èñëî âåêòîðîâ â áàçèñå L ∈ Rn íàçûâàþò ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà12rè îáîçíà÷àþò dim L.Ñëåäñòâèå 6 Ïóñòü L ⊆ R . Òîãäàn(1) åñëè S ⊆ L ïîäïðîñòðàíñòâî, òî dim S ≤ dim L;(2) åñëè dim S = dim L, òî S = L.ÏðèìåðT 29 Âåêòîðû e1 = [1, 1, 1]T, e2 = [1, 1, 2]T, e1 = [1, 2, 3]T è x =[6, 9, 14] çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè â íåêîòîðîì áàçèñå. Ïîêàçàòü,÷òî {e1, e2, e3} îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà R3.

Характеристики

Список файлов книги