1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 3
Текст из файла (страница 3)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëû.x2Ky2− K = 1.82Îñòàåòñÿ íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò, ïðèâîäÿùåå ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó. Äëÿ ýòîãî íóæíî äëÿ âñåõ âûïîëíåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîäñòàâèòüîäíó ôîðìóëó â äðóãóþ è âûïèñàòü îêîí÷àòåëüíûå ôîðìóëû:# "yK − √31011xx13 −13 −1=√,·=√·33yy1xK + √11010 110 1îòêóäà íàõîäèì(x=y=√1 (−xk10√1 (3xK10+ 3yK ) − 1,+ yK ).II ñïîñîá. Ñîñòàâèìõàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå det(δ − λE) = 0: 7−λ 33 = 0 ⇐⇒ λ2 − 6λ − 16 = 0−1 − λ è íàõîäèì åãî êîðíè ñîáñòâåííûå ÷èñëà: λ = −2, λ = 8. Äàëåå äëÿêàæäîãî êîðíÿ λ ðåøàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (δ − λE) = 0: x03−13λ = 8 =⇒·==⇒ ðåøåíèå,3 −9y01 x019 3λ = −2 =⇒·==⇒ ðåøåíèå.3 1y0−320Íîðìèðóåì ïîëó÷åííûå âåêòîðû è ìåíÿåì çíàê ó âòîðîãî âåêòîðà òàê,÷òîáû ïîëó÷èëàñü ìàòðèöà13 1T =√.10 −1 3Íàõîäèì êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ÷àñòè D1 , E1 è ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Êðîìå òîãî, äàííûé ñïîñîáãàðàíòèðóåò, ÷òî A1 = 8 è C1 = −2.
Ñíîâà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:4848x21 − 2y12 + √ x1 + √ y1 + 23 = 0.1010Äàëåå ðàññóæäåíèÿ ïîâòîðÿþò ïðåäûäóùèé ìåòîä. 73 6= 0, çíà÷èò, äàííîå óðàâíåíèåÇàìåòèì, ÷òî |δ| = 3 −1 çàäàåò öåíòðàëüíóþ ëèíèþ. Êîîðäèíàòû öåíòðà ëèíèè ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé:(7x0 + 3y0 + 7 = 0,3x0 − y0 + 3 = 0.III ñïîñîá.Ïîëó÷àåì öåíòð (x0 , y0 ) = (−1, 0).
Öåíòðàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñâÿçàíà ñ èñõîäíîé ðàâåíñòâàìè x = xc − 1, y = yc . Òîãäà óðàâíåíèå êðèâîéïðèíèìàåò âèä7x2c + 6xc yc − yc2 + F1 = 0,ãäå F1 = 7x0 + 3y0 + 23 = 16. Äàëåå ïîâîðîò âûïîëíÿåòñÿ îäíèì èç îïèñàííûõ âûøå ñïîñîáîâ.Íàêîíåö, íàõîäèì ñâÿçü èñõîäíûõ è êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò ïîäñòàíîâêîé ðàâåíñòâ äëÿ öåíòðàëüíûõ è êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò â ðàâåíñòâàñâÿçè èñõîäíûõ è öåíòðàëüíûõ êîîðäèíàò.(b)  ýòîì ïðèìåðå ðàññìîòðèì òîëüêî âòîðîé ñïîñîá ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ ê êàíîíè÷åñêîìó.
Çàïèøåì ìàòðèöó ∆ äëÿ äàííîãî óðàâåíåíèÿ:96 −84 −1 .∆= 6−8 −16Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå det(δ − λE) = 0: 9−λ6 = λ2 − 13λ = 0 64−λ 21è íàõîäèì åãî êîðíè: λ = 0 è λ = 13. Äëÿ êàæäîãî êîðíÿ λ ðåøàåì ñèñòåìóóðàâíåíèé (δ − λE) = 0: x03−46λ = 13 =⇒·==⇒ ðåøåíèå,6 −9y02 x029 6λ = 0 =⇒·==⇒ ðåøåíèå.6 4y0−3Íîðìèðóåì ïîëó÷åííûå âåêòîðû è ìåíÿåì çíàê ó âòîðîãî âåêòîðà òàê,÷òîáû ïîëó÷èëàñü ìàòðèöà13 2T =√.13 −2 3Îòêóäà ïîëó÷àåì ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò:(x = √113 (3x1 − 2y1 ),y=√1 (2x113+ 3y1 ).Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå, íàõîäèì êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå èìååò âèä:522613x21 − √ x1 + √ y1 + 6 = 0.1313Äîïîëíÿåì äî ïîëíîãî êâàäðàòà ÷àñòü âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííîé x1 :4264− 4 + √ y1 + 6 = 0;13 x21 − √ x1 + √13131322213 x1 − √+ √ y1 + 2 = 0.1313√Òåïåðü ãðóïïèðóåì ñëàãàåìîå ñ y1 è ñâîáîäíûé ÷ëåí, âûíîñÿ 2 13 çà ñêîáêè, ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíûé ñäâèã ïî îñè y1 :22261+√y1 + √= 0.13 x1 − √131313Òåïåðü, ïîëàãàÿ y2 = y1 − √113 è x2 = x1 − √213 è äåëÿ îáå ÷àñòè íà 13,ïîëó÷èì ¾ïî÷òè êàíîíè÷åñêîå¿ óðàâíåíèå ïàðàáîëû2x22 + √ y2 = 0.1322Äëÿ òîãî, ÷òîáû îêîí÷àòåëüíî ïðèâåñòè åãî ê êàíîíè÷åñêîìó, äîïîëíèòåëüíî ïîâåðíåì ñèñòåìó êîîðäèíàò íà óãîë ψ = −90◦ :(x2 = yK ,22=⇒ yK= √ xK .y2 = −xK ,13Íàêîíåö, íàõîäèì ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò:"yK +1x3 −2=√23y−xK −13√213√113#,îòêóäà ïîëó÷àåì ñèñòåìó ðàâåíñòâ:(x = √113 (2xK + 3yK ) +y=√1 (−3xK13+ 2yK )813 ,1+ 13.J6.Ñèñòåìà êîìïëåêñíûõ ÷èñåëÌíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àþò C.Êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ∈ C ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåííî â âèäåz = x + iy,àëãåáðàè÷åñêîéãäå x, y ∈ R, i2 = −1.
Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè íàçûâàåòñÿ.×èñëî x íàçûâàåòñÿz è îáîçíà÷àåòñÿ Re z , à yêîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ Im z .ê êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z = x + iy íàçûâàåòñÿ ÷èñëîz = x − iy .ìíèìîé ÷àñòüþÑîïðÿæåííûìäåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþÎïåðàöèè ñ êîïëåêñíûìè ÷èñëàìèÑëîæåíèå è âû÷èòàíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Ïðè ñëîæåíèè èëèâû÷èòàíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2 ñîîòâåòñòâåííîñêëàäûâàþòñÿ èëè âû÷èòàþòñÿ èõ äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè:z1 ± z2 = (x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) = (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 ).Óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ïåðåìíîæàþòñÿ êàê ìíîãî÷ëåíû îò ïåðåìåííîé i, ïðè ýòîì i2 çàìåíÿåòñÿ íà −1:z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).23Äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè îáðàòíîå ê êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z = x + iy 6= 0, íåîáõîäèìî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëüäðîáè z1 äîìíîæèòü è ðàçäåëèòü íà ñîïðÿæåííîå ê z :1x − iyx−y1=== 2+i 2.zx + iy(x + iy) · (x − iy)x + y2x + y2Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàçäåëèòü ÷èñëî z1 = x1 + iy1 íà z2 = x2 + iy2 6= 0,íóæíî óìíîæèòü z1 íà z2−1 :z1x1 + iy1(x1 + iy1 ) · (x2 − iy2 )x1 x2 + y1 y2x2 y1 − x1 y2===+i.z2x2 + iy2(x2 + iy2 ) · (x2 − iy2 )x22 + y22x22 + y22Ñâîéñòâà îïåðàöèé ñ êîìïëåêíûìè ÷èñëàìèÒåîðåìà 1 Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë äëÿ ëþáûõ z ,,îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(1) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ);(2) z1 + z2 = z2 + z1 (êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ);(3) z + 0 = 0 + z = z (ñóùåñòâîâàíèå íóëÿ 0);(4) z + (−z) = (−z) + z = 0 (ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî ÷èñëà);(5) (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ);(6) z1 · z2 = z2 · z1 (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ);(7) z · 1 = 1 · z = z (ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû);(8) z · z−1 = z−1 · z = 1, åñëè z 6= 0 (ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ÷èñëà);(9) (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3 è z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3 (äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).Ïðèìåð 12 Âû÷èñëèòå(5+i)(7−6i)âûðàæåíèÿ:(c) i77.(à) (2 + i)(3 − i); (b) 3+i1z2 z3 ∈ CI (a) Ðàñêðîåì ñêîáêè, ñ÷èòàÿ êàæäîå ÷èñëî ìíîãî÷ëåíîì îò ïåðåìåííîéi, è çàìåíèì i2 íà −1.
Ïîëó÷èì(2 + i)(3 − i) = 2 · 3 − 2i + 3i − i2 = 6 − 2i + 3i + 1 = 7 + i.24(b) Âíà÷àëå âû÷èñëèì ïðîèçâåäåíèå â ÷èñëèòåëå äðîáè:(5 + i)(7 − 6i)5 · 7 + 7i − 5 · 6i − 6i235 + 6 + 7i − 30i41 − 23i===.3+i3+i3+i3+iÒåïåðü äîìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîëó÷åííîé äðîáè íà ÷èñëî,ñîïðÿæåííîå ê çíàìåíàòåëþ è ðàñêðîåì âñå ñêîáêè:41 − 23i (41 − 23i) · (3 − i)123 − 69i − 41i + 23i2==3+i(3 + i) · (3 − i)32 − i2100 − 110i== 10 − 11i.10(c) Çàìåòèì, ÷òî i2 = −1 è i4 = 1.
Òîãäà i77 = i4·19+1 = (i4 )19 · i = i JÒðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëàÐèñ. 1Êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x + iy ìîæíî èçîáðàçèòü òî÷êîé íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (x, y) â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ 1).  òàêîì ñëó÷àå ñóììà z1 +z2 è ðàçíîñòü z1 −z2 êîìïëåêñíûõ÷èñåë z1 è z2 ãåîìåòðè÷åñêè èçîáðàæàåòñÿ êàê ñóììà èëè ðàçíîñòü ðàäèóñâåêòîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì òî÷åê íà ïëîñêîñòè (ðèñ 2, 3).Ðàññìîòðèì ïîëÿðíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ðàñïîëàãàÿ åå òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëþñ ñîâïàäàë ñ íà÷àëîì ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò,è ïîëÿðíàÿ îñü áûëà íàïðàâëåíà âäîëü îñè Ox .
Òîãäà ôîðìóëû ñâÿçèïðÿìîóãîëüíîé è ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èìåþò âèä:(x = ρ cos ϕ,y = ρ sin ϕ,ãäå (ϕ, ρ) ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè z : ρ äëèíà ðàäèóñ-âåêòîðàòî÷êè z , à ϕ óãîë ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðîì òî÷êè z è ïîëÿðíîé îñüþ(ðèñ 4).25Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî z = x + iy ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:z = x + iy = ρ cos ϕ + iρ sin ϕ = ρ(cos ϕ + i sin ϕ).òðèãîíîìåòðè÷åñêîé.àðãóìåíòîìÒàêóþ ôîðìó çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçûâàþò×èñëî ρ íàçûâàþò÷èñëà z è îáîçíà÷àþò |z|, óãîë ϕ ÷èñëà z è îáîçíà÷àþò arg z . Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òîp|z| = x2 + y 2 ∈ R≥0 .ìîäóëåìÇàìåòèì, ÷òî äëÿ îäíîãî è òîãî æå çíà÷åíèÿ |z| àðãóìåíòû ϕ è ϕ + 2πk ,k ∈ Z, îïðåäåëÿþò îäíó è òó æå òî÷êó íà ïëîñêîñòè, ò.
å. îäíî è òî æåêîìïëåêñíîå ÷èñëî (ðèñ 5). Ïîýòîìó ïðèíÿòî ðàññìàòðèâàòüarg z ∈ [0, 2π) èëè arg z ∈ [− π2 ; π2 ]. Ñ÷èòàþò, ÷òî arg 0 íå îïðåäåëåí.ãëàâíûé àð-ãóìåíòÏðèìåð 13 Íàéäèòå òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó ÷èñëà:(a) −3i; (b) −1 + i; (c) 2 + √3 + i; (d) sin α + i cos α.I (a) ×èñëî −3i íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé ñ êîîð-Ðèñ. 1äèíàòàìè (0; −3) (ðèñ. 6).Íàõîäèì àðãóìåíò arg(−3i) = 3π2 è ìîäóëü | − 3i| = 3. Òîãäà òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ÷èñëà3π3π+ i sin.−3i = 3 cos22(b) ×èñëî −1 + i íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé ñêîîðäèíàòàìè (−1; 1)p(ðèñ.
7).√Ìîäóëü |−1+i| = (−1)2 + 12 = 2, à àðãóìåíò arg(−1+i) = π2 +ϕ, ãäåóãîë ϕ ìîæíî íàéòè èç ðàâåíñòâà tg ϕ = 1 =⇒ ϕ = π4 . Òîãäà arg(−1 + i) =3π4 , à òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ÷èñëà√3π3π−1 + i = 2 cos+ i sin.4426√(c) ×èñëî 2 + 3√+ i íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé ñêîîðäèíàòàìè (2 + 3; 1) (ðèñq 8).√pp√√√Ìîäóëü |2 + 3 + i| = (2 + 3)2 + 12 = 8 + 4 3 = 2 2 + 3. Îä√íàêî äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ arg(2 + 3 + i) íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü arctg 2+1√3 .√ Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó ÷èñëà 2 +3 + i, ïðåîáðàçóåì åãî:√√312 + 3 + i = 2 · (1 ++ i + i · 0).22√Çàìåíÿÿ 1 = cos 0, 23 = cos π6 , 12 = sin π6 , 0 = sin 0 è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëûñóììû êîñèíóñîâ è ñèíóñîâ, ïîëó÷èì:√ππ2 + 3 + i =2 · cos 0 + cos + i sin + i sin 066 π πππ=2 · 2 coscos −+ i · 2 sincos −12121212π ππ=4 cos· cos+ i sin.121212πÈñïîëüçóÿ ôîðìóëó êîñèíóñà äâîéíîãî óãëà, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî 4 cos 12=p√√2 2 + 3, ò.å.
ìîäóëþ 2+ 3+i. Ñëåäîâàòåëüíî, òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ÷èñëàq√√ ππ2 + 3 + i = 2 2 + 3 · cos.+ i sin1212p(d) Çàìåòèì, ÷òî | sin α + i cos α| =sin2 α + cos2 α = 1. Ïðèìåíÿÿôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, íàõîäèì òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó ÷èñëàππsin α + i cos α = cos− α + i sin−α .22JÓìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå.Ïðè óìíîæåíèè äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) è z2 =ρ2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå èõ ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ:z1 · z2 = (ρ1 · ρ2 )(cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).27Äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå.Ïðèäåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) è z2 = ρ2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) 6= 0 â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå èõ ìîäóëè äåëÿòñÿ, à àðãóìåíòûâû÷èòàþòñÿ:z1ρ1= (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )).z2ρ2Âîçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â öåëóþ ñòåïåíü.Äëÿ òîãî, ÷òîáûâîçâåñòè êîìïëåêñíîå ÷èñëî z â öåëóþ ñòåïåíü n, íóæíî ïðåäñòàâèòü zâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ρ(cos ϕ + i sin ϕ), à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿôîðìóëîé:äå Ìóàâðà(ρ(cos ϕ + i sin ϕ))n = ρn (cos nϕ + i sin nϕ),n ∈ Z.Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçâëå÷ü êîðåíü n-é ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z , íóæíîïðåäñòàâèòü z â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ρ(cos ϕ + i sin ϕ), à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé:pϕ + 2πkϕ + 2πk√nρ(cos ϕ + i sin ϕ) = n ρ(cos+ i sin),nnk = 0, 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
