1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , n − 1.√Çäåñü n ρ êîðåíü n-é ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà.Ñóùåñòâóåò ðîâíî n êîðíåé èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, ïðè ýòîì âñå êîðíèðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â íà÷àëåêîîðäèíàò.Ïðèìåð14 Âû÷èñëèòåp √âûðàæåíèÿ:√(a) (3 + i)21; (b)I (a) Ïðåäñòàâèì√4.8 3i − 83 + i â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:√ππ3 + i = 2 · cos + i sin.66Òîãäà√21 · π21 · π+ i sin( 3 + 2)21 =221 · cos667π7π=221 · cos+ i sin= −221 i.2228√(b) Ïðåäñòàâèì 8 3i − 8 â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå.
Íàõîäèìq√√|8 3i − 8| = (−8)2 + (8 3)2 = 16,√π12πarg(8 3i − 8) = + arctg √ =.233Òîãäà√2π2π8 3i − 8 = 16 · cos+ i sin.33Ñëåäîâàòåëüíî,q√√2π/3 + 2πk2π/3 + 2πk44+ i sin,8 3i − 8 = 16 · cos44k = 0, 1, 2, 3.Íàõîäèìπ √π= 3 + i;k = 0 : z0 = 2 cos + i sin66 √2π2πk = 1 : z1 = 2 cos+ i sin= −1 + i 3;33√7π7π+ i sink = 2 : z2 = 2 cos= − 3 − i;66√5π5πk = 3 : z3 = 2 cos+ i sin= 1 − i 3.33JÏðèìåð 15 Ïðåäñòàâüòå â âèäå ìíîãî÷ëåíîâ îò sin x è cos x ôóíêöèþ.cos 5xI Âû÷èñëèì (cos x + i sin x)5 äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ïî ôîðìóëå äå Ìóàâðà(cos x + i sin x)5 = cos 5x + i sin 5x.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âîçâîäÿ cos x+i sin x â 5-þ ñòåïåíü ïî áèíîìó Íüþòîíà,ïîëó÷èì:(cos x + i sin x)5 = cos5 x + 5i cos4 x sin x − 10 cos3 x sin2 x−− 10i cos2 x sin3 x + 5 cos x sin4 x + i sin5 x=(cos5 x − 10 cos3 sin2 x + 5 cos x sin4 x)++ i(5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x).29Ïðèðàâíèâàÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè, ïîëó÷èìcos 5x = cos5 x − 10 cos3 sin2 x + 5 cos x sin4 x.JÒåîðåìà 2 Ñîïðÿæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(1) z1 ± z2 = z1 ± z2;(2) z1 · z2 = z1 · z2;(3) z1/z2 = z1/z2;(4) z · z = |z|2 ∈ R≥0;(5) z + z = 2 Re z ∈ R.Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëàÔîðìóëà Ýéëåðà eiϕ = cos ϕ+i sin ϕ ïîçâîëÿåò çàïèñàòü êîìïëåêñíîå ÷èñëîz = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) â:ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìåz = ρ · eiϕ .Êðîìå òîãî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ýéëåðà, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèècos ϕ è sin ϕ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êîìïëåêñíóþ ýêñïîíåíòó:eiϕ + e−iϕ,2eiϕ − e−iϕ.sin ϕ =2icos ϕ =Ïðèìåð 16 Âûðàçèòå ÷åðåç ïåðâûå ñòåïåíè ñèíóñà è êîñèíóñà àðãóìåíòîâ, êðàòíûõ x, ôóíêöèþ sin5 x.I Âûðàçèì sin x ÷åðåç êîìïëåêñíóþ ýêñïîíåíòó:eix − e−ix.2iÂîçâîäÿ â 5-þ ñòåïåíü îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó áèíîìàÍüþòîíà, ïîëó÷èì:5 ixe − e−ix5sin x ==2ie5xi − 5e4xi e−xi + 10e3xi e−2xi − 10e2xi e−3xi + 5exi e−4xi − e−5xi==32ie5xi − 5e3xi + 10exi − 10e−xi + 5e−3xi − e−5xi=.32isin x =30Ãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå ê ïîäîáíûìè ñòåïåíÿìè è ñíîâà ïðèìåíÿåì ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ ôóíêöèþ ñèíóñ ÷åðåç êîìïëåêñíóþ ýêïîíåíòó:(e5xi − e−5xi )e3xi − e−3xiexi − e−xi+5+ 10=32i32i32i1= (sin 5x + 5 sin 3x + 10 sin x) .16sin5 x =JÏðèìåð 17 Äîêàæèòå ðàâåíñòâî:sin x + sin 2x + .
. . sin nx =(n+1)xsin nx2 sin2,sin x2x 6= 2πk, k ∈ Z.I Çàìåòèì, ÷òî sin x = Im(cos x + i sin x) = Im eix . Òîãäà sin kx = Im eikx .Ñëåäîâàòåëüíî, â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñòîèò ñóììà ìíèìûõ ÷àñòåé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë eix , e2ix , . . . , einx . Ïðè ñëîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îòäåëüíî ñêëàäûâàþòñÿ èõ äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè, ïîýòîìónXsin kx = Im eix + Im e2ix + .
. . + Im einx =k=1= Im eix + e2ix + . . . + einx .Ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ýòî ñóììà n ïåðâûõ ÷ëåíîâãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ ïåðâûì ÷ëåíîì b1 = eix è çíàìåíàòåëåì q =eix . Ïîëó÷àåìnXsin kx = Imk=1eix (1 − einx ).1 − eixÄàëåå, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî eix = cos x + i sin x è âûïîëíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé (óïðàæíåíèå), ïîëó÷èì êîìïëåêñíîå÷èñëî, ìíèìàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ðàâíà âûðàæåíèþ â ïðàâîé ÷àñòè äîêàçûâàåìîãî ðàâåíñòâà.JÏðèìåð 18 Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî òî÷åê,ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïëåêñíûì÷èñëàì z, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèÿì:(a) |z − 1 − i| < 1; (b) arg z = π3 ; (c) | Re z + Im z| = 1.I (a) Ïóñòü z = x + iy .
Òîãäà|z − 1 − i| = |(x − 1) + i(y − 1)| =31p(x − 1)2 + (y − 1)2 < 1⇐⇒ (x − 1)2 + (y − 1)2 < 1.Òî÷êè ïëîñêîñòè (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó (x−1)2 +(y−1)2 < 1,ðàñïîëîæåíû âíóòðè êðóãà ñ öåíòðîì â (1, 1) è ðàäèóñîì 1. (ðèñ.)(b) Òî÷êè z íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ arg z = π3 , ðàñïîëîæåíû íà ëó÷å, âûõîäÿùåì èç íà÷àëà êîîðäèíàò, ñîñòàâëÿþùèì óãîëπ3 ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. (ðèñ) Òàê êàê àðãóìåíò 0 íåîïðåäåëåí, òî òî÷êà (0, 0) âûêàëûâàåòñÿ.(ñ) Ïóñòü z = x + iy . Òîãäà| Re z + Im z| = 1 ⇐⇒ |x + y| = 1 ⇐⇒ x + y = ±1 ⇐⇒ x + y ± 1 = 0.Óðàâíåíèÿ x + y ± 1 = 0 çàäàþò ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè.(ðèñ.)JÇàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ1.
Âû÷èñëèòå âûðàæåíèÿ:(a) (2 + i)(3 + 7i) − (1 + 2i)(5 + 3i);22.3.(2+i)(4+i);1+i(c)(1−i)5 −1(1+i)3 +1 ;3−(2−i)(d) (1+2i)(1−i)3 +(2+i)2 .Ðåøèòå óðàâíåíèå z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0.Ðåøèòå( ñèñòåìó óðàâíåíèé:((3 − i)x + (4 + 2i)y = 2 + 6i,(2 + i)x + (2 − i)y = 6,(a)(b)(4 + 2i)x − (2 + 3i)y = 5 + 4i;(3 + 2i)x + (3 − 2i)y = 8. √ n√(e) (1 + i)n , n ∈ Z; (f) 1−i2 3 , n ∈ Z; (g) 2i;√√(h) 4 −1; (i) 3 1 + i.Îòâåòû.1.
(a) 4i. (b) 132 − i.2. z = 1 − 2i, z = 3i1217.(b)1(c) − 25−3225 i.(d) 5 − 5i.2Ìíîãî÷ëåíûÎáîçíà÷èì F îäíó èç ÷èñëîâûõ ñèñòåì Q, R èëè C.(ïîëèíîìîì) îò îäíîé ïåðåìåííîé x ñ êîýôôèöèåíòàìèâ F íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäàÌíîãî÷ëåíîìf (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,ñòåïåíüþãäå ai ∈ F, i = 0, 1, . . . n è an 6= 0. ×èñëî n íàçûâàåòñÿìíîãî÷ëåíà f (x) è îáîçíà÷àåòñÿ deg f . Îäíî÷ëåí (ìîíîì) an xn íàçûâàåòñÿìíîãî÷ëåíà f (x).ñòàðøèì ÷ëåíîì32Ìíîæåñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé ñ êîýôôèöèåíòàìèâ F îáîçíà÷àåòñÿ F[x], ò.å.F[x] = {an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 | ai ∈ F, i = 0, 1, . . .
, n}.Îïåðàöèè ñ ìíîãî÷ëåíàìèÑëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ.Ïðè ñëîæåíèè ìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) ñêëàäûâàþò êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ, ïðè ýòîì deg(f + g) ≤max{deg f, deg g}.Óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ.Ïóñòü f (x) = am xm + am−1 xm−1 + . . . +a1 x + a0 è g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 .
Òîãäàìíîãî÷ëåíîâ f (x) è g(x) ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíïðîèçâåäåíèåì(f · g)(x) = cm+n xm+n + . . . + c1 x + c0 ,ñòåïåíü êîòîðîãî deg(f · g) = deg f + deg g , à êîýôôèöèåíòû ci îïðåäåëåíûðàâåíñòâîìXci =at bk , i = 0, 1, . . . , m + n.t+k=iÄåëåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîãî÷ëåí ñ îñòàòêîìÒåîðåìà 3 (Àëãîðèòì äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì) Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî-÷ëåíîâ f (x) è g(x) ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ìíîãî÷ëåíû q(x) è r(x),òàêèå, ÷òîf (x) = g(x) · q(x) + r(x),ïðè÷åì 0 ≤ deg r(x) < deg g(x) èëè r(x) = 0.Ïðèìåð19 Ðàçäåëèòü c îñòàòêîììíîãî÷ëåí f (x) = x5 + 3x4 + x3 +224x − 3x − 1 íà ìíîãî÷ëåí g(x) = x + x + 1.I Òàê êàê deg f ≥ deg g , òî èùåì ïåðâûé ÷ëåí ïîëèíîìà q(x) êàê ÷àñòíîå5ñòàðøèõ ÷ëåíîâ ïîëèíîìîâ f (x) è g(x).  äàííîì ïðèìåðå îí ðàâåí x :x2 = x3 .
Íàõîäèì ïåðâûé îñòàòîê f1 (x) = f (x) − x3 · g(x). Âû÷èñëåíèÿóäîáíî çàïèñûâàòü ¾ñòîëáèêîì¿:x5 + 3x4 + x3 + 4x2 − 3x − 1 x2 + x + 1x5 + x4 + x3x3422x+ 4x − 3x − 133Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíf1 (x) = f (x) − x3 · g(x) = 2x4 + 4x2 − 3x − 1.Òàê êàê deg f1 ≥ deg g , òî âòîðîé ÷ëåí 2x2 ïîëèíîìà q(x) áóäåò ðàâåí÷àñòíîìó ñòàðøèõ ÷ëåíîâ ïîëèíîìîâ f1 (x) è g(x). Íàõîäèì âòîðîé îñòàòîêf2 (x) = f1 (x) − 2x · g(x).x5 +3x4 + x3 +4x2 −3x−1 x2 + x + 1x5 + x4 + x3x3 + 2x2422x+4x −3x−12x4 +2x3 +2x2−2x3 +2x2 −3x−1Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì:x5 +3x4 + x3 +4x2 −3x−1 x2 + x + 1x5 + x4 + x3x3 + 2x2 − 2x + 4422x+4x −3x−12x4 +2x3 +2x2−2x3 +2x2 −3x−1−2x3 −2x2 −2x4x2 − x−14x2 +4x+4−5x−5Òàêèì îáðàçîì, f (x) = g(x) · (x3 + 2x2 − 2x + 4) − 5x − 5.Äåëèìîñòü ìíîãî÷ëåíîâ.íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî f (x)JÅñëè îñòàòîê îò äåëåíèÿ f (x) íà g(x) ðàâåíäåëèòñÿ (èëè íàöåëî äåëèòñÿ) íà g(x).34Êîðíè ìíîãî÷ëåíîâÊîðíè ìíîãî÷ëåíîâ.
Ïóñòü f (x) ∈ F[x]. ×èñëî c ∈ F íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x), åñëè f (c) = 0.Òåîðåìà 4 Îñòàòîê îò äåëåíèÿ f (x) ∈ F[x] íà x − c ðàâåí çíà÷åíèþf (c) ìíîãî÷ëåíà f (x) ïðè x = c.Òåîðåìà 5 (Áåçó) ×èñëî c ∈ F ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) ∈ F[x]òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x − c äåëèò f (x) â F[x].Ñõåìà Ãîðíåðà.Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà f (x) íà x − c óäîáíåå îñóùåñòâ-ñõåìå Ãîðíåðà. Ðàññìîòðèì åå íà ïðèìåðå.Ïðèìåð 20 Âûïîëíèòå äåëåíèå ñ îñòàòêîì f (x) = 2x5 − x4 − 3x3 + x − 3íà x − 3.ëÿòü ïîI Ñîñòàâëÿåì òàáëèöó, â êîòîðîé íàä ÷åðòîé ðàñïîëîæåíû âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x), ñëåâà îò ÷åðòû çíà÷åíèå c, à ïîä ÷åðòîé ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòîê, ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿåìûå.
 äàííîì ïðèìåðå:2−1−301−3.3 2, 2 · 3 − 1 = 5, 5 · 3 − 3 = 12, 12 · 3 + 0 = 36, 36 · 3 + 1 = 109, 109 · 3 − 3 = 324Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòíîåq(x) = 2x4 + 5x3 + 12x2 + 36x + 109,à îñòàòîê f (3) = 324.JÊðàòíûå êîðíè.-êðàòíûì êîðíåì×èñëî c ∈ F íàçûâàåòñÿ kìíîãî÷ëåíà f (x) ∈ F[x], åñëè f (x) äåëèòñÿ íà (x − c)k è íå äåëèòñÿ íà (x − c)k+1 .×èñëî k íàçûâàþòêîðíÿ.Êîðåíü êðàòíîñòè 1 íàçûâàþòêîðíåì (ñîîòâåòñòâåííî, ïðèk = 2 è k = 3 ãîâîðÿò îèêîðíå).ïîêàçàòåëåì êðàòíîñòèïðîñòûìäâîéíîì òðîéíîìÏðèìåð21 Íàéäèòå ïîêàçàòåëü êðàòíîñòè êîðíÿ 2 ìíîãî÷ëåíà f (x) =x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x − 8.I Åñëè x = 2 k -êðàòíûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x), òî îñòàòîê îò äåëåíèÿf (x) íà (x − 2)k ðàâåí íóëþ, à îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà (x − 2)k+1 îòëè÷åí îòíóëÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
