1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

. . , en )Ìàòðèöà Ãðàìà â ðàçëè÷íûõ áàçèñàõG0 = S T GSG0 = S † GSÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âáàçèñå (e1 , . . . , en )nnPP(x, y) =gij xi yj = X T GY(x, y) =gij xi yj = X † GYeïðîèçâîëüíîìi,j=1i,j=1Ãåîìåòðèÿ åâêëèäîâà (ýðìèòîâà) ïðîñòðàíñòâà. Äëèíîé íîðìîé()pâåêòîðà x íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî kxk = (x, x). Âåêòîð äëèíû1 íàçûâàåòñÿ.Íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî |(x, y)| 6 |x| · |y| ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü óãîë α ìåæäó âåêòîðàìèíîðìèðîâàííûìcos α = (x, y)/(|x| · |y|).îðòîãîíàëüíûìèÂåêòîðû x è y íàçûâàþòñÿ, åñëè (x, y) = 0.Îáúåì n-ìåðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a1 , . . .

, an :pV (a1 , . . . , an ) = det Ga .Ïðèìåð 64  ïðîñòðàíñòâå âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ R[x] îò ïåðåìåííîé x ñòåïåíè≤3ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìZ1(f, g) =f (x)g(x)dx−1104≤3çàäàí òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìèx, x3 , x−x3 . Íàéäèòå óãîë òðåóãîëüíèêà3ìåæäó ñòîðîíàìè x è x − x è äëèíó ïðîòèâîëåæàùåé ñòîðîíû x3.I Äëèíà kx3 k ñòîðîíû x3 ðàâíà kx3 k =(x3 , x3 ) =Z1x6 dx =−1Îòêóäà kx3 k =qp(x3 , x3 ). Íàõîäèì1x7 2= .7 −1727.Íàéäåì êîñèíóñ óãëà α ìåæäó x è x − x3 :cos α =(x, x − x3 ).kxk · kx − x3 kÄëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ (x, x−x3 ), (x, x), (x−x3 , x−x3 ):Z 143(x, x − x ) =(x2 − x4 )dx =,15−1Z 12(x, x) =x2 dx = ,3−1Z 116(x − x3 , x − x3 ) =(x2 − x4 )dx =.105−1√Òîãäà cos α = 0, 7.JÎðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå âåêòîðà íà ïîäïðîñòðàíñòâî.Ðàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî W = he1 , .

. . , ek i åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà V èx ∈ V ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Íàéäåì îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ xk è îðòîãîíàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ x⊥ âåêòîðà x îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâàW.Ïðåäñòàâèì âåêòîð x â âèäå ñóììû âåêòîðîâ xk + x⊥ , ãäå xk ∈ W èx⊥ ⊥W . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî x⊥ ⊥y äëÿ âñåõ âåêòîðîâ y ∈ W . Ïîýòîìóx⊥ ⊥ei äëÿ âñåõ i = 1, 2, . .

. , k .Òàê êàê x⊥ = x − xk , òî äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , k(ei , x − xk ) = 0⇒(ei , xk ) = (ei , x).Ïîñêîëüêó xk ∈ W , òî xk = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xk ek . Ïîýòîìó ñèñòåìàðàâåíñòâ (ei , xk ) = (ei , x) (i = 1, 2, . . . , k ) ïðèíèìàåò âèä:x1 (ei , e1 ) + x2 (ei , e2 ) + .

. . + xk (ei , ek ) = (ei , x),105i = 1, 2, . . . , k.(1)Ðèñ. 1Ñèñòåìà (1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xk . Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì xk , à çàòåì x⊥ .Ïðèìåð 65 Íàéäèòå îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ x è îðòîãîíàëüíóþ ñîkñòàâëÿþùóþ x⊥ âåêòîðà x = [2, −1, 3, −2]T îòíîñèòåëüíîïîäïðîñòðàíñòâà W , íàòÿíóòîãîíàâåêòîðûe1 = [3, −2, 1, 1]T , e2 = [1, 0, −1, 1]T ,e3 = [2, −2, 2, 0]T .I Çàìåòèì, ÷òî âåêòîð e3 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ e1 ,e2 :e3 = e1 − e2 ,à âåêòîðû e1 è e2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû.

Âîçüìåì èõ â êà÷åñòâå áàçèñíûõâåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà W .Ïóñòü x = xk + x⊥ , ãäå xk = x1 e1 + x2 e2 âåêòîð, ïðèíàäëåæàùèé W .Ñîñòàâèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:(x1 (e1 , e1 ) + x2 (e1 , e2 ) = (e1 , x),(2)x1 (e2 , e1 ) + x2 (e2 , e1 ) = (e2 , x).Íàõîäèì ìàòðèöó ñèñòåìû è ñâîáîäíûå êîýôôèöèåíòû:(e1 , e1 ) = 32 + (−2)2 + 12 + 12 = 15,(e1 , e2 ) = (e2 , e1 ) = 3 · 1 + (−2) · 0 + 1 · (−1) + 1 · 1 = 3,(e2 , e2 ) = 12 + 02 + (−1)2 + 12 = 3,(x, e1 ) = 2 · 3 + (−1) · (−2) + 3 · 1 + (−2) · 1 = 9,(x, e2 ) = 2 · 1 + (−1) · 0 + 3 · (−1) + (−2) · 1 = −3.106Ïîäñòàâëÿåì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ â ñèñòåìó (2):(15x1 + 3x2 = 9,3x1 + 3x2= −3.(3)Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (3), íàõîäèì x1 = 1 è x2 = −2.

Ñëåäîâàòåëüíî, 311 −2  0   −2 xk = −2·=,1 −1   3 1x⊥−11112 −1   −2   1 .=−=3   3   0 −1−1−2Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ïîäïðîñòðàíñòâó.Ïóñòü W ïîäïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâà (ýðìèòîâà) ïðîñòðàíñòâà V .Âåêòîð x ∈ V íàçûâàåòñÿïîäïðîñòðàíñòâó W è îáîçíà÷àåòñÿ x⊥W , åñëè x⊥y äëÿ âñåõ y ∈ W .ê ïîäïðîñòðàíñòâó W íàçûâàþò ìíîæåñòâîW ⊥ = {x ∈ V : x⊥y äëÿ âñåõ y ∈ W}.îðòîãîíàëåíûìÎðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåìÏðè ýòîì V = W ⊕ W ⊥ .Íàéäåì áàçèñ îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ W ⊥ ïîäïðîñòðàíñòâà W , åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî W åñòü ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ a1 , . . .

, ak .Ïóñòü x ïðîèçâîëüíûé âåêòîð W ⊥ . Òîãäà x îðòîãîíàëåí âñåì âåêòîðàì y ∈ W . Çíà÷èò, x îðòîãîíàëåí a1 , . . . , ak :(x, ai ) = 0,(4)i = 1, 2, . . . , k.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåêòîðû a1 , . . . , ak çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå {e1 , . . . , en }:ai = ai1 e1 + .

. . + ain en ,i = 1, 2, . . . , k.Áóäåì èñêàòü âåêòîð x â âèäåx = x1 e1 + . . . + xn en ,ãäå x1 , . . . , xn íåèçâåñòíûå. Ïîäñòàâëÿåì ðàçëîæåíèÿ âåêòîðîâ a1 ,. . . ,ak , x â ðàâåíñòâà (4) (äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âåùåñòâåííûå):(x1 e1 + . . . + xn en , ai1 e1 + . . . + ain en ) = 0107⇐⇒x1 ai1 + . . . + xn ain = 0,(5)i = 1, 2, . . . , k.Ïîëó÷èëè ñèñòåìó k ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ x1 ,.

. . , xn . Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû ñîâïàäàåò ñ W ⊥ . Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè áàçèñ W ⊥ , íóæíî íàéòè áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèéñèñòåìû óðàíåíèé (5).Ïðèìåð 66 Íàéäèòå îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå W ëèíåéíîé îáîëî÷êè W ñèñòåìûâåêòîðîâ a1[1, −1, 0, 1]T .T= [1, −2, 2, −3], a2⊥,= [2, −3, 2, −2]T a3 =I Ïóñòü x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 . Èç òîãî, ÷òî (x, ai ) = 0, i = 1, 2, 3,ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 0,2x1 − 3x2 + 2x3 − 2x4 = 0,x1 − x2 + x4 = 0.Íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå è áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé: 2c1 − 5c2−42 2c − 4c2  2  −5 x= 1 = c1  1  + c2  0  ,c1c20c1 , c2 ïàðàìåòðû.1Òàêèì îáðàçîì, W ⊥ = h[2, 2, 1, 0]T , [−4, −5, 0, 1]T i.JÏðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà Øìèäòà.Ïóñòü äàí ïðîèçâîëüíûé áàçèñ (e1 , .

. . , en ) âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Ïîñòðîèì îðòîãîíàëüíûé áàçèñ (f1 , . . . , fn ).1) Ïîëàãàåì f1 ðàâíûì e1 , ò. å. f1 := e1 .2) Áóäåì èñêàòü âòîðîé áàçèñíûé âåêòîð f2 , èñõîäÿ èç óñëîâèÿ f2 ⊥f1 .Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âåêòîð f2 = e2 − αf1 , ãäå êîýôôèöèåíò α ïîêàíåèçâåñòåí. Äîìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà f2 = e2 − αf1 ñêàëÿðíî íà f1 :(f1 , f2 ) = (f1 , e2 ) − α(f1 , f1 ). ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ (f1 , f2 ) = 0, ïîýòîìóα=(f1 , e2 ).(f1 , f1 )Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå α â f2 = e2 − αf1 , íàõîäèì f2 .Äðóãèìè ñëîâàìè, íà ýòîì øàãå íàõîäèì îðòîãîíàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà e2 îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâà hf1 i.1083) Àíàëîãè÷íî, íàõîäèì òðåòèé áàçèñíûé âåêòîð f3 êàê îðòîãîíàëüíóþñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà e3 îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâà hf1 , f2 i, ò.

å. ïîëàãàåì f3 = e3 −βf1 −γf2 , ãäå β è γ íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû. Ïîñêîëüêóf3 ⊥f1 è f3 ⊥f2 , òî0 = (f1 , f3 ) = (f1 , e3 ) − β(f1 , f1 ) − γ(f1 , f2 ),0 = (f2 , f3 ) = (f2 , e3 ) − β(f2 , f1 ) − γ(f2 , f2 ).Òàê êàê (f2 , f1 ) = (f1 , f2 ) = 0, ïîëó÷àåì:β=(f1 , e3 ),(f1 , f1 )γ=(f2 , e3 ),(f2 , f2 )è ò. ä. . . .k + 1) Ïóñòü âåêòîðû f1 , f2 , .

. . , fk ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû. Íàéäåì âåêòîð fk+1 êàê îðòîãîíàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà ek+1 îòíîñèòåëüíîïîäïðîñòðàíñòâà hf1 , f2 , . . . , fk i:fk+1 = ek+1 − α1 f1 − . . . − αk fk ,ãäåαi =(fi , ek+1 ),(fi , fi )i = 1, 2, . . . , k.Ïðèìåð 67 Ïðèìåíÿÿ ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè, ïîñòðîèòü îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà, íàòÿíóòîãî íà äàííóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ:e1 = [2, 1, 3, −1]T ,e2 =[7, 4, 3, −3]T ,e3 = [1, 1, −6, 0]T ,e4 =[5, 7, 7, 8]T .I 1) Ïîëàãàåì f1 = e1 = [2, 1, 3, −1]T .2) Èùåì f2 = e2 − αf1 , ãäåα=(f1 , e2 )7 · 2 + 4 · 1 + 3 · 3 − 3 · (−1)== 2.(f1 , f1 )22 + 12 + 32 + (−1)2Òîãäà723 4  1   2 f2 = −2·=.3 3   −3 −3−1−13) Èùåì f3 = e3 − βf1 − γf2 , ãäå1 · 2 + 1 · 1 − 6 · 3 + 0 · (−1)(f1 , e3 )== −1;(f1 , f1 )22 + 12 + 32 + (−1)2(f2 , e3 )1 · 3 + 1 · 2 − 6 · (−3) + 0 · (−1)= 1.γ==(f2 , f2 )32 + 22 + (−3)2 + (−1)2β=109Òàê êàê0321 1   1   2   0  −6  +  3  −  −3  =  0  ,0−1−10òî âåêòîð e3 ëåæèò â ïîäïðîñòðàíñòâå hf1 , f2 i.

Çíà÷èò, f3 = e4 − β 0 f1 − γ 0 f2 ,ãäå(f1 , e4 )5 · 2 + 7 · 1 + 7 · 3 + 8 · (−1)== 2;(f1 , f1 )22 + 12 + 32 + (−1)2(f2 , e4 )5 · 3 + 7 · 2 + 7 · (−3) + 8 · (−1)γ0 === 0.(f2 , f2 )32 + 22 + (−3)2 + (−1)2β0 =Òîãäà5231 7  1  2   5 f3 =   − 2 · +0·=.73 −3   1 8−1−110Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà he1 , e2 , e3 , e4 i:f1 = [2, 1, 3, −1]T ,f2 = [3, 2, −3, −1]T ,f3 = [1, 5, 1, 10]T .JÌîæíî ñîêðàòèòü âû÷èñëåíèÿ, åñëè ñðàçó çàìåòèòü, ÷òî âåêòîð e3 ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè (−4) · e1 + e2 .

Òîãäà, âûáèðàÿ â êà÷åñòâå áàçèñàñèñòåìó âåêòîðîâ e1 , e2 , e4 , ïðèìåíÿåì ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè óæå êíèì.17.Îïåðàòîðû â åâêëèäîâîì (ýðìèòîâîì) ïðîñòðàíñòâåÑîïðÿæåííûé îïåðàòîð.Ïóñòü A : V → V ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â ýðìèòîâîì (èëè åâêëèäîâîì) ïðîñòðàíñòâå V . Îïåðàòîð A∗íàçûâàåòñÿê A, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Vñîïðÿæåííûì(Ax, y) = (x, A∗ y).Òåîðåìà 40 Ïóñòü A ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A â íåêîòîðîìáàçèñå {e1, . . . , en}∗ è G ìàòðèöà Ãðàìà âåêòîðîâ áàçèñà{e1 , .

Характеристики

Список файлов книги