1611141232-6a21b934a923387ce2f00d4e2a2a5c04 (824978), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. . , en }.Òîãäà ìàòðèöà A ñîïðÿæåííîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A∗ èìååò âèä:â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâåA∗ = G−1 AT Gâ ýðìèòîâîì ïðîñòðàíñòâåA∗ = G−1 A† G.110Ïðèìåð 68 Ïóñòü â íåêîòîðîì áàçèñå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàíîáèëèíåéíîé ôîðìîé (x, y) = x1y1 + 5x2y2 + 6x3y3 + 2x1y3 + 2x3y1 + 3x2y3 +3x3 y2 , à ëèíåéíûé îïåðàòîð A ìàòðèöåé"A=02310−2−2−10#.Íàéäèòå ìàòðèöó A∗ ñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ A∗ â òîì æå áàçèñå.I Ïåðåïèøåì äàííóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó â ìàòðè÷íîì âèäå:"# "#(x, y) = [x1 , x2 , x3 ] ·"ãäå G =102053236102053236·y1y2y3,#åñòü ìàòðèöà Ãðàìà.
Òîãäà ìàòðèöà A∗ ñîïðÿæåííîãî"îïåðàòîðà A∗ ðàâíà A∗ = G−1 AT G =Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿïîäðîáíî.12836−61413117−197514145−245#.Jíîðìàëüíûì, åñëè AA∗ = A∗A. Èçó÷èì èõ áîëååÑàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðûÎïåðàòîð A : V → V íàçûâàåòñÿíàçâàíèåìàòðèöà â ÎÍÁñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè A = A∗.Ñàìîñïîðÿæåííûé îïåðàòîðâ åâêëèäîâîì ïðîñòðàí- â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâåñòâåñèììåòðè÷åñêèéAT = AýðìèòîâûéA† = AÒåîðåìà 41 Ïóñòü A ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð íà åâêëèäîâîì (ýð-ìèòîâîì) è A åãî ìàòðèöà. Òîãäà:(1) Spec A âåùåñòâåííûé;(2) ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, îðòîãîíàëüíû;(3) ñóùåñòâóåò ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ;(4) ñóùåñòâóåò äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà D è îðòîãîíàëüíàÿ (èëè óíèòàðíàÿ) ìàòðèöà S òàêèå, ÷òî D = S TAS (D = S †AS ) .111Ïðèìåð 69 Íàéäèòå ÎÍÁ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è ìàòðèöó D â ýòîìáàçèñå äëÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, çàäàííîãî â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ìàòðèöåé"A=22−1−1222−12#.I Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ êàíîíè÷åñêîé ôîðìû ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàè êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîé çàäà÷å äèàãîíàëèçàöèè ìàòðèöû îïåðàòîðà ñ ïîñëåäóþùèì ïîñòðîåíèåì îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñàèç íàéäåííûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Èòàê, ñîñòàâëÿåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îïåðàòîðà χA (λ) =−λ3 + 3λ2 + 9λ − 27 è íàõîäèì åãî êîðíè: äâîéíîé êîðåíü λ = 3 è ïðîñòîéλ = −3.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêòð Spec A = {−3, 3, 3}.Íàõîäèì áàçèñ ñîáñòâåííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà V 3 = Ker A3 = Ker(A −3E):2316 066 064 1201001001−10−12−1002−4200Âûïèñûâàåì îñòàâøèåñÿ ñòðîêè:204 120011−10−12−100×7 ×7775−100200A(1)A(2)A(3)A(4) = A(1) − A(3)A(4) = A(2) + 2A(3) .3−1A(3)0 5 A(4)A(4) .0Òîãäà ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî V 3 åñòü ëèíåéíàÿ îáîëî÷êàV 3 = h[1, 0, −1]T , [2, 1, 0]T i.Áîëåå òîãî, òàê êàê ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî V −3 ÿâëÿåòñÿ îáðàçîìIm A3 = Im(A − 3E), òî ñðàçó íàõîäèì åãî áàçèñ: V −3 = h[1, −2, 1]T i.Òåïåðü äëÿ íàéäåííîãî áàçèñà, ñîñòîÿùåãî èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâîïåðàòîðà A, ïîñòðîèì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.
Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì,÷òî áàçèñíûé âåêòîð [1, −2, 1]T ïîäïðîñòðàíñòâà V −3 îðòîãîíàëåí ïîäïðîñòðàíñòâó V 3 . Íîðìèðóÿ åãî, ïîëó÷àåì ïåðâûé âåêòîð èñêîìîãî áàçèñàf1 = √16 [1, −2, 1]T . Òåïåðü ðàññìîòðèì áàçèñ e1 = [1, 0, −1]T è e2 = [2, 1, 0]Tïîäïðîñòðàíñòâà V 3 . Ïðèìåíÿÿ ê íèì ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè è íîðìèðóÿ ïîëó÷åííûå âåêòîðû, íàéäåì îñòàâøèåñÿ äâà âåêòîðà. Ïóñòü f2 =√1 [1, 0, −1]T . Òîãäà2e2⊥ = e2 − e2k = e2 −(e2 , e1 )e1 = [1, 1, 1]T .(e1 , e1 )112Ñëåäîâàòåëüíî, f3 = √13 [1, 1, 1]T .Òàêèì îáðàçîì, êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû ñàìîñîïðÿæåííîãîîïåðà"#òîðà è ìàòðèöà ïåðåõîäà ê êàíîíè÷åñêîìó áàçèñó: A =√1/√6T = −2/√61/ 6√1/ 2√0−1/ 2√ 1/√31/√3 .1/ 3−300030003èJÏðèâåäåíèå ñèììåòðè÷íîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê ãëàâíûì îñÿì.Êàæäîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìå q(x) = X T AX ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûéëèíåéíûé îïåðàòîð A, èìåþùèé ñ q îäíó è òó æå ìàòðèöó â îäèíàêîâûõ áàçèñàõ.
Òàê êàê êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà q çàäàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé (ýðìèòîâîé)ìàòðèöåé, òî A ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâûé) îïåðàòîð. Ñëåäîâàòåëüíî,äëÿ A ñóùåñòâóåò ÎÍÁ, â êîòîðîì ìàòðèöà åãî ìàòðèöà äèàãîíàëüíà. Íîòîãäà â ýòîì áàçèñå êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà q òîæå áóäåò èìåòü äèàãîíàëüíûé âèä.Òåîðåìà 42 Äëÿ âñÿêîé ñèììåòðè÷íîé (ýðìèòîâîé) ôîðìû q(x) íà åâêëèäîâîì (ýðìèòîâîì) ïðîñòðàíñòâå V íàä F ñóùåñòâóåò òàêîé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì q(x) èìååò âèä:q(x) = λ1 kx1 k2 + .
. . + λn kxn k2 .Ïðèìåð 70 Íàéäèòå îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 ê ãëàâíûì îñÿì.I Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äèàãîíàëèçàöèè ìàòðèöû äàííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è ïîèñêó îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, â êîòîðîì îíà èìååò äèàãîíàëüíûé âèä. Ñèììåòðè÷íîñòü ìàòðèöû ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî áàçèñà.Çàïèøåì ìàòðèöó êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:"#A=122212221.Íàéäåì åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χA (λ) = −λ3 + 3λ2 + 9λ + 5 èñîáñòâåííûå ÷èñëà: ïðîñòîé êîðåíü λ = 5 è äâîéíîé êîðåíü λ = −1.Äàëåå íàõîäèì ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà äëÿ äàííîãî îïåðàòîðà:V 5 = Ker(A − 5E) = h[1, 1, 1]T i;V −1 = Ker(A + E) = h[1, −1, 0]T , [1, 0, −1]T i.113Ïðèìåíÿÿ ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè äëÿ áàçèñà êàæäîãî ïîäïðîñòðàíñòâàè íîðìèðóÿ ïîëó÷åííûå âåêòîðû, íàõîäèì íóæíûé íàì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ:15TV = √ [1, 1, 1] ;31T 1T−1V = √ [1, 0, −1] , √ [1, −2, 1] .26Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò √√√ x1y11/√31/ 21/√6 x2 = 1/ 3 · y2 ,√√0 −2/√61/ 3 −1/ 21/ 6x3y3ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q :q(y) = 5y12 − y22 − y32 .JÏðèâåäåíèå ïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ê ãëàâíûì îñÿì.Òåîðåìà 43 Ïóñòü íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V íàä F çàäàíû äâå ñèì-ìåòðè÷íûå (ýðìèòîâû) ôîðìû q(x) = X †AX è r(x), ïðè÷åì r(x) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà.
Òîãäà ñóùåñòâóåò íåâûðîæåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà V , â êîòîðîì îáå ôîðìû èìåþò äèàãîíàëüíûéâèä.Àëãîðèòì ïðèâåäåíèÿ ïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.(1) Ïðîâåðÿåì, ÷òî r ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà.(2) Ïðèâîäèì r ê íîðìàëüíîìó âèäó ìåòîäîì Ëàãðàíæà (âûäåëåíèÿïîëíûõ êâàäðàòîâ).
Ïóñòü T ìàòðèöà ïåðåõîäà ê áàçèñó, â êîòîðîì rèìååò íîðìàëüíûé âèä:r = Y † Y,X = T Y.(3) Âû÷èñëÿåì ìàòðèöó êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q â íîâîì áàçèñå: B =T † AT , B ýðìèòîâàÿ ìàòðèöà.(4) Óíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì S ïðèâîäèì ìàòðèöó B ê äèàãîíàëüíîìó âèäó:D = diag {λ1 , .
. . , λn } = S T BS, Y = SZ.114(5) Íàõîäèì ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà X = RZ , ãäå R = T S , ïðèýòîì êâàäðàòè÷íûå ôîðìû èìåþò âèä:r = Z † Z,q = Z † DZ.Ïðèìåð 71 Íàéäèòå íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà, ïðèâîäÿùåå ïàðó êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó:f = x21 + 2x1 x2 + 3x22 ,g = 4x21 + 16x1 x2 + 6x22 .I Çàìåòèì, ÷òî f ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà.
Ïðèâåäåì f ê íîðìàëüíîìóâèäó ìåòîäîì Ëàãðàíæà:√f = (x21 + 2x1 x2 + x22 ) + 2x22 = (x1 + x2 )2 + ( 2x2 )2 .√Ïîëîæèì y1 = x1 + x2 è y2 = 2x2 . Ïîëó÷èì íîðìàëüíûé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû f è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò: √ x1y11 −1/√2f (y) = y12 + y22 ,=·.01/ 2x2y2Íàéäåì ìàòðèöó âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû g â òåõ æå êîîðäèíàòàõ:B=10√ T 4−1/√2·81/ 286 √ 1 −1/√24√·=01/ 22 2√ 2 2.−3Äàëåå ïðèâåäåì q(y) = Y T BY ê ãëàâíûì îñÿì. Íàõîäèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χB (λ) = λ2 − λ − 20 è åãî êîðíè λ = 5 è λ = −4;ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà:√V 5 = Ker(B − 5E) = h[2 2, 1]T i;√V −4 = Ker(B + 4E) = h[−1, 2 2]T i.Íîðìèðóÿ ïîëó÷åííûå âåêòîðû, íàõîäèì êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîéôîðìû g è ñîîòâåñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò: √y1z1−1/32 2/322√g(z) = 5z1 − 4z2 ,=·.1/3 2 2/3y2z2Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì, ïîýòîìóíå ìåíÿåò âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû f :f = Y T Y = Z T Z.115Îñòàåòñÿ íàéòè ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò êàê êîìïîçèöèþ ïåðâîãî è âòîðîãî ïðåîáðàçîâàíèé: √ √x1z11 −1/√22 2/3−1/3√=··01/ 21/3 2 2/3x2z2 √ z12/2 −1= √·.2/6 2/3z2JÈçîìåòðè÷åêèå è êîñîñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðûÎïåðàòîð A íàçûâàåòñÿíàçâàíèåìàòðèöà â ÎÍÁñïåêòðêàíîíè÷åñêèéâèä ìàòðèöûèçîìåòðè÷åñêèì, åñëè AA∗ = E.Èçîìåòðè÷åñêèé îïåðàòîðâ åâêëèäîâîì ïðîñòðàí- â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâåñòâåîðòîãîíàëüíûéóíèòàðíûéAT · A = A · AT = EA† · A = A · A† = ESpec ϕ = {λ : |λ| = 1}áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿäèàãîíàëüíàÿ(ñì.
ò. 44.)Òåîðåìà 44 Ïóñòü A îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð, A ìàòðèöà A. Òîãäà:(1) ñóùåñòâóåò ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ;(2) ñóùåñòâóåò áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà D ñ áëîêàìè[±1],cos α− sin αsin αcos αè îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà S òàêèå, ÷òî D = S TAS = S −1AS .Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ êîñîñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè A∗ = −A.íàçâàíèåìàòðèöà â ÎÍÁñïåêòðêàíîíè÷åñêèéâèä ìàòðèöûÊîñîñàìîïðÿæåííûé îïåðàòîðâ åâêëèäîâîì ïðîñòðàí- â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâåñòâåêîñîñèììåòðè÷åñêèéAT = −AêîñîýðìèòîâûéA† = −ASpec ϕ = {λ : Re λ = 0}áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿäèàãîíàëüíàÿ(ñì. ò. 45.)116Òåîðåìà 45 Ïóñòü A êîñîñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, A ìàòðèöà. Òîãäà:(1) ñóùåñòâóåò ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ;(2) ñóùåñòâóåò áëî÷íî-äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà D ñ áëîêàìèA[0],0 λ−λ 0è îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà S òàêèå, ÷òî D = S TAS = S −1AS .Ïðèìåð 72 Äëÿ îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ, çàäàííîãî â ÎÍÁ ìàòðèöåé√ A=31 −√6116 ,√34 √6 − 62íàéäèòå êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû ýòîãî îïåðàòîðà è ÎÍÁ, â êîòîðîìîíà èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä.
(Èñêîìûé áàçèñ îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî.)I 1) Èùåì ñîáñòâåííûå ÷èñëà äàííîãî îïåðàòîðà. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâëÿåìõàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíχA (λ) = −λ3 + 2λ2 − 2λ + 1 è íàõîäèì åãî√êîðíè λ = 1 è λ = 21 ± i 23 . Ñëåäîâàòåëüíî,(√√ )13 13Spec A = 1, + i, −i.22 222) Èùåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà è äëÿ îäíîãî èç ïàðû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ.Ðàññìîòðèì λ = 1.
Ìàòðèöà îïåðàòîðà A1 = A − 1 · E = A − E (õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ìàòðèöà) èìååò âèä:√√ 1 311664A−E =−143−14 √− 4614√64Èùåì ÿäðî îïåðàòîðà A − E:26664100101010010−√ 46412−11√4− 46141−√464√64√− 46− 12000− 41=37775×−441√4641−√4− 46− √464− 12.A(1)A(2)A(3)A(4) = A(1) + A(2) .Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûé âåêòîð, îòâå÷àþùèéñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ√√1, ðàâåí v1 = [1, 1, 0]T . Íîðìèðóåì åãî: f1 = [ 22 , 22 , 0]T .117Ïóñòü êîìïëåêñíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó σ + iρ îòâå÷àåò ñîáñòâåííûéâåêòîð v, ïðåäñòàâëåííûé â âèäå v = x + iy, ãäå âåêòîðû x è y èìåþòâåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû. Òîãäà x è y îðòîãîíàëüíû, èìåþò îäèíàêîâóþäëèíó, ïðè÷åìA(x) = σx − ρy, A(y) = ρx + σy.Äðóãèìè ñëîâàìè, äâóìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà âåêòîðû x,y, èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A, è åãî ìàòðèöà íà ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå èìååò âèäσ ρ.−ρ σÇàìåòèì, ÷òî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó σ − iρ îòâå÷àåò ñîáñòâåííûé âåêòîð v0 = x − iy, ïîýòîìó äâóìåðíîå èíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà σ −iρ ñîâïàäàåò ñ äâóìåðíûì èíâàðèíàòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà σ + iρ.
Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîëüêî îäíî èç êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.√Èòàê, ðàññìîòðèì ñîáñòâåííîå ÷èñëî λ = 21 − i 23 . Íåïîñðåäñòâåííîåíàõîæäåíèå ÿäðà êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ñâÿçàíî ñî çíà÷èòåëüíûìè âû÷èñëèòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè, êîòîðûå ìîæíî èçáåæàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Âîçüìåì êàêîé-íèáóäü âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé v, íàïðèìåð, âåêòîð u =[0, 0, 1]T . Òàê êàê îí îðòîãîíàëåí v, òî îí ïðèíàäëåæèò äâóìåðíîìó èíâàðèàíòíîìóïîäïðîñòðàíñòâó. Íàéäåì åãî îáðàç ïðè äåéñòâèè îïåðàòîðà√ 31A − 2 − i 2 E:√ ! !√ !h√iT√√3131−iE u = Au −−iu=6/4, − 6/4, −i 3/2 .A−2222Íàéäåííûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðàA, ïðèíàä√31ëåæàùèì êîìïëåêñíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ = 2 + i 2 . Îòñþäà íà√√õîäèì f2 = [0, 0, 1]T , f3 = [ 22 , − 22 , 0]T è ñîîòâåòñòâóþùèé áëîê ìàòðèöûA (ïðè÷åì â ýòîì ñëó÷àå îòðèöàòåëüíûé ñèíóñ âñåãäà áóäåò ñòîÿòü íèæåãëàâíîé äèàãîíàëè):"#1√2− 23√3212.Òåïåðü çàïèøåì êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A èìàòðèöó ïåðåõîäà ê ÎÍÁ, â êîòîðîì îíà èìååò òàêîé âèä: √√ 2210 √00√2 √223 1D= 0, S=0 − 22 .2 √22310 100 − 22118Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ êàíîíè÷åñêîãî âèäà ìàòðèöû êîñîñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ñîâïàäàåò ñ ïðåäûäóùèì.Ïîëÿðíîå è ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèÿ îòîáðàæåíèÿÝðìèòîâûé îïåðàòîð A : V → V íàçûâàåòñÿëþáîãî âåêòîðà x ∈ V(Ax, x) ≥ 0.íåîòðèöàòåëüíûì, åñëè äëÿÒåîðåìà 46 Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà A : V → V îïåðàòîðû AA è A A ∗∗íåîòðèöàòåëüíûå.Òåîðåìà 47 Ëèíåéíûé+îïåðàòîð A íåîòðèöàòåëüíûé òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà Spec A ⊆ R = {x ∈ R | x ≥ 0}.Òåîðåìà 48 Äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ A : V → V óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ñóùåñòâóþò òàêîå ýðìèòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå P1(P2 ) è òàêîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå W, ÷òî A = P1 W ëåâîå ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå (A = W P2 ïðàâîå ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå).Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ëåâîãî ïîëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ.∗∗(1) Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó√ AA îïåðàòîðà AA .(2) Âû÷èñëÿåì P1 = AA∗ : íàõîäèì Spec AA∗ ; íàõîäèì ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, â êîòîðîì AA∗ èìååò äèàãîíàëüíûé âèä D, T ìàòðèöàïåðåõîäà ê ýòîìó áàçèñó;√ âû÷èñëÿåì D0 = D; âû÷èñëÿåì P1 = T D0 T −1 .(3) èùåì ìàòðèöó W òàêóþ, ÷òîáû A = P1 W .Åñëè det A 6= 0, òî W = P1−1 A (èëè W = AP2−1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
