1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 93
Текст из файла (страница 93)
При этом переменная131]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра581интегрирования z запишется в виде1z = x + (x2 − 1) 2 eiψ ,1где выбор значения (x2 − 1) 2 безразличен, и можно считать, что ψменяется от −π до π. Совершая в интеграле (13) замену переменных, получимnπ 11[x − 1 + (x2 − 1) 2 eiψ ][x + 1 + (x2 − 1) 2 eiψ ]1Pn (x) =dψ.12π2(x2 − 1) 2 eiψ−πПроизводя элементарные вычисления и принимая во внимание четность подынтегральной функции, получим1Pn (x) =2ππ1[x + (x2 − 1) 2 cos ψ]n dψ =−π=1ππ1[x + (x2 − 1) 2 cos ψ]n dψ.(14)01Если мы в правой части разложим [x + (x2 − 1) 2 cos ψ]n по формуле бинома Ньютона, то, принимая во внимание, что интеграл отнечетной степени cos ψ по промежутку (−π, π) равен нулю, мы ви1дим, что все члены с нечетными степенями (x2 −1) 2 в правой частипропадут.Проведем аналогичные вычисления для Pn,m (x).
Вместо (13)имеемm(z 2 − 1)n(1 − x2 ) 2 (n + 1)(n + 2) . . . (n + m)Pn,m (x) =dz.2n+1 πi(z − x)n+m+1CБудем для определенности считать, что −1 < x < 1. Совершая прежнюю замену переменных и считая в формуле z = x +11(x2 − 1) 2 eiψ выражение (x2 − 1) 2 положительно мнимым, т. е. видаpi, где p > 0, получимπ1m (n + 1)(n + 2) . . . (n + m)[x+ (x2 − 1) 2 cos ψ]n e−imψ dψPn,m (x) = i2π−πГл.
VI. Специальные функции582[131или, принимая во внимание нечетность sin mψ,Pn,m (x) ==im (n+ 1)(n + 2) . . . (n + m)2ππ1[x + (x2 − 1) 2 cos ψ]n cos mψ dψ.−π(15)Если мы в интеграле (14) или (15) положим x = cos θ, то получиминтегралы, входящие в формулы (9) и (10). Принимая во внимание, что постоянный множитель при гармоническом полиноме илисферической функции не играет роли, мы приходим к следующемузаключению: (2n + 1) сферических функций порядка n могут бытьнаписаны в видеPn (cos θ),Pn,m (cos θ) cos mϕ, Pn,m (cos θ) sin mϕ(m = 1, 2, . . . , n),(16)где Pn (x) суть полиномы Лежандра, определяемые формулой (11),и Pn,m (x) определяются по формулам (12).
Напомним, что множиmтель (1 − x2 ) 2 при подстановке x = cos θ считается равным sinm θ.Умножая решения (16) на произвольные постоянные и складывая,получим общий вид сферической функции порядка n:Yn (θ, ϕ) = a0 Pn (cos θ) +n(am cos mϕ + bm sin mϕ)Pn,m (cos θ).m=1(17)Вместо тригонометрических функций мы можем, составляя линейные комбинации решений (16), брать показательные функции,так что вместо набора сферических функций (16) порядка n мыможем взять следующий набор сферических функций порядка n:Pn (cos θ), Pn,m (cos θ)eimϕ , Pn,m (cos θ)e−imϕ (m = 1, 2, . .
. , n).(18)Согласно построению общий вид однородных полиномов степени n от переменных (x, y, z), удовлетворяющих уравнению Лапласа, будет rn Yn (θ, ϕ), где Yn (θ, ϕ) определяется формулой (17).132]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра583132. Свойство ортогональности. Докажем теперь ортогональность сферических функций (16) на единичной сфере и вычислим интеграл от квадрата этих функций по единичной сфере.Предварительно займемся вычислением интегралов1Im =[Pn,m (x)]2 dx.−1Мы имеем согласно определению этих функций1Im =12[Pn,m (x)] dx =−1(1 − x2 )m−1dm Pn (x) dm Pn (x)dx,dxmdxmпричем при m = 0 получаем интеграл от квадрата полинома Лежандра1I0 = [Pn (x)]2 dx.−1Мы выше показали [105], что1I0 =[Pn (x)]2 dx =−12.2n + 1(19)В конце настоящего номера мы приведем еще раз доказательство этой формулы, а пока приступим к вычислению интеграла Im ,пользуясь формулой (19).Производя интегрирование по частям, можно написатьIm = (1 −x=+1dm−1 Pn (x) −dxm−1 x=−11 m−1mdPn (x) d2 m d Pn (x)(1 − x )−dxdxm−1 dxdxmdm Pn (x)x2 )mdxm−1584или1Im =−1Гл.
VI. Специальные функции[132mdm−1 Pn (x) d2 m d Pn (x)(1 − x )dx.dxm−1 dxdxm(20)Но функцияz=dm−1 Pn (x)1 dn+m−1 (x2 − 1)n= n,m−1dx2 n!dxn+m−1как нетрудно проверить, пользуясь уравнением (84) из [105], удовлетворяет уравнению(1−x2 )dm+1 Pn (x)dm Pn (x)dm−1 Pn (x)−2mx+(n+m)(n−m+1)= 0.dxm+1dxmdxm−1Умножая на (1 − x2 )m−1 , можно переписать его в видеmm−1Pn (x)d2 m d Pn (x)2 m−1 d(1−x )=−(n+m)(n−m+1)(1−x).mm−1dxdxdxПодставляя в формулу (20), будем иметь1Im = (n + m)(n − m + 1)(1 − x2 )m−1−1dm−1 Pn (x) dm−1 Pn (x)dxdxm−1dxm−1илиIm = (n + m)(n − m + 1)Im−1 .Понижая число m постепенно на единицу, получимIm = (n + m)(n − m + 1)(n + m − 1)(n − m + 2)Im−2 = . .
. == (n + m)(n − m + 1)(n + m − 1)(n − m + 2) . . . (n + 1)nI0 == (n + m)(n + m − 1)(n + m − 2) . . . (n − m + 1)I0 =(n + m)!I0 .(n − m)!Откуда в силу (19) будем иметь следующее окончательное выражение для интегралов от квадратов функций Pn,m (x):1−1[Pn,m (x)]2 dx =2 (n + m)!.2n + 1 (n − m)!(21)132]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра585Полученные результаты дадут возможность вычислить интеграл от квадрата сферических функций. Сферические функцииYn (θ, ϕ) можно считать определенными на поверхности сферы единичного радиуса; θ и ϕ являются обычными географическими координатами точек этой поверхности, причем ϕ = const суть меридианы и θ = const суть параллели.
При таком выборе координатных линий элемент площади поверхности выражается, как известно, следующей формулой [II, 59]:dσ = sin θdθdϕ.(22)Докажем прежде всего, что две различные сферические функции Yp (θ, ϕ) и Yq (θ, ϕ) различных порядков, т. е. при p = q, будутортогональными на поверхности s единичной сферы, т. е.Yp (θ, ϕ)Yq (θ, ϕ)dσ = 0.(23)sПусть v — объем, ограниченный этой сферой, и s — поверхностьэтой сферы. Применим к гармоническим функциямUp = rp Yp (θ, ϕ) и Uq = rq Yq (θ, ϕ)(24)формулу Грина [II, 193] ∂Uq∂Up− Uqdσ =Up(Up ΔUq − Uq ΔUp )dv,∂n∂nsvпричем ΔUp = ΔUq = 0.В данном случае дифференцирование по нормали совпадает сдифференцированием по радиусу r, так что последняя формула всилу (24) дает нам[qYp (θ, ϕ)Yq (θ, ϕ) − pYq (θ, ϕ)Yp (θ, ϕ)]dσ = 0,sоткуда и вытекает непосредственно формула (23).Гл.
VI. Специальные функции586[132Покажем, что сферические функции (16), соответствующие одному и тому же значению n, также будут взаимно ортогональными. Действительно, интегрирование по единичной сфере сводится,между прочим, к интегрированию по ϕ в промежутке (0, 2π). Нофункции (16) содержат следующие множители, зависящие от ϕ:1, cos ϕ, sin ϕ, cos 2ϕ, sin 2ϕ, . . . , cos nϕ, sin nϕ,и произведение любых двух из этих множителей, проинтегрированное в промежутке (0, 2π), дает нуль [II, 142]. Точно так же можнопроверить, что функции (18) также образуют ортогональную систему.Вычислим, наконец, интеграл от квадрата каждой из построенных нами функций.
Возьмем сначала сферическую функциюPn (cos θ), не зависящую от ϕ, и составим интеграл от ее квадрата по поверхности единичной сферы:π 2π0Pn2 (cos θ) sin θ dθ dϕ.0Вводя новую переменную интегрирования x = cos θ и принимаяво внимание формулу (19), будем иметьπ 2π00Pn2 (cos θ) sin θ dθ dϕ1= 2πPn2 (x)dx =−14π.2n + 1Точно так же для других функцийπ 2π122[Pn,m (cos θ)] sin mϕ sin θ dθ dϕ = π [Pn,m (x)]2 dx.00−1132]§ 1.
Сферические функции и функции Лежандра587Отсюда, принимая во внимание (21), будем иметь окончательно⎫4π⎪⎪,[Pn (cos θ)]2 dσ =⎪⎪2n + 1⎪⎪⎪s⎪⎪⎬2π (n + m)! ⎪2,[Pn,m (cos θ) cos mϕ] dσ =(25)2n + 1 (n − m)! ⎪⎪s⎪⎪⎪2π (n + m)! ⎪⎪2.⎪[Pn,m (cos θ) sin mϕ] dσ =⎪⎭2n + 1 (n − m)! ⎪sВ дальнейшим эти формулы мы используем при решении задачи о разложении произвольной функции, заданной на поверхностисферы, по сферическим функциям.Приведем доказательство формулы (19).
Пользуясь определением (11) полиномов Лежандра, можем написать1I0 = 2n2 (n!)21−1dn (x2 − 1)n dn (x2 − 1)ndx.dxndxnИнтегрируя по частям, получим n−1 2x=+11(x − 1)n dn (x2 − 1)nd·−I0 = 2n2 (n!)2dxn−1dxnx=−11− 2n2 (n!)21−1dn+1 (x2 − 1)n dn−1 (x2 − 1)n·dx.dxn+1dxn−1Полином (x2 − 1)n имеет корни x = ±1 кратности n. Его производная порядка (n−1) имеет эти же корни первой кратности [I, 186],и, следовательно, внеинтегральный член в написанном уравненииравен нулю. Продолжая таким образом интегрировать по частям идальше, получим(−1)nI0 = 2n2 (n!)21−1d2n (x2 − 1)n· (x2 − 1)n dx.dx2nГл.
VI. Специальные функции588[133Ноd2n (x2 − 1)nd2n 2n=(x + . . .) = (2n)!,dx2ndx2nи, следовательно,n (nIo = (−1)+ 1)(n + 2) . . . 2nn!22n1(x2 − 1)n dx.−1Вводя новую переменную интегрирования ϕ по формулеx = cos ϕ, получим(n + 1)(n + 2) . . . 2nI0 =n!22nπsin2n+1 ϕ dϕ =0π=(n + 1)(n + 2) . . . 2n·2n!22n2sin2n+1 ϕ dϕ,0и, пользуясь формулой (28) из [I, 100], получаем формулу (19).133. Полиномы Лежандра.
Мы изучим сейчас более подробно полиномы Лежандра. Заметим прежде всего, что если воспользоваться определением (11) и применить формулу Лейбница дляпроизводной порядка n от произведения (x2 − 1)n = (x+ 1)n (x− 1)n ,то получимPn (x) =1dn (x − 1)n n d(x + 1)n dn−1 (x − 1)n(x+1)n++. . . +nn!2dxn1dxdxn−1dn (x + 1)nn+.·(x−1)dxnПринимая во внимание, чтоdn (x − 1)n= n! иdxndk (x − 1)n =0dxkx=1при k < n,133]§ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
