1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 91
Текст из файла (страница 91)
е. есть целая функция элементов матрицы Uj .Обозначим для краткости через δν (Uj ) слагаемые написанной суммы:Δ(Uj ) =∞δν (Uj ),(360)ν=0причем δ0 (Uj ) = 1 и δν (Uj ) при ν > 0 есть однородный полином степени νот элементов Uj . Из формул (356) и (358) следует, что элементы произведения Δ(Uj )Wj суть целые функции элементов Uj и, вообще, целые функцииэлементов всех матриц Us . Такая целая функция может быть разложена по однородным полиномам от элементов Us [84]. Принимая во внимание разложения(337) и (360), можем написать разложение по этим однородным полиномам: 1, ..., m∞ νΔ(Uj )Wj =Uj1 .
. . Ujs δν−s (Uj )Qj (aj1 . . . ajs ; b .ν=1 s=1j1 , ..., jsНаписанный ряд сходится уже для любых Us . Таким образом, мы получаемпредставление Wj в виде частного двух целых функций от элементов Us : 1, ...,∞ νmUj1 . . . Ujs δν−s (Uj )Qj (aj1 . . .
ajs ; bWj =ν=1 s=1j1 , ..., js∞ν=0.δν (Uj )(361)128]Случай любых Us569Заметим, что ряд, стоящий в знаменателе, есть ряд с численными членами,зависящими только от элементов матрицы Uj . Рассуждая совершенно так же,как и выше, мы можем показать, что произведенияΔ(Uj )(x − aj )WjΔ(Uj )(x − aj )−Wjисуть целые функции элементов Us . Из формулы (346) следует, чтоΔ(Uj )[Y(j)(b; x)]−1 = [Y (b; x)]−1 Δ(Uj )(x − aj )Wj .Матрицы Y (b; x) и Y (b; x)−1 , как мы знаем, суть целые функции матриц(j)Us , и, следовательно, произведение Δ(Uj )[Y (b; x)]−1 есть целая функция элементов Us .
Каноническая матрица θj (x) имеет представление вида [126]θj (x) = [Y(j)(b; aj )]−1 Y (b; x),и, следовательно, Δ(Uj )θj (x) есть целая функция элементов Us . То же можноутверждать и о произведенииΔ(Uj )θ j (x) = (x − aj )−Uj Δ(Uj )θj (x),−Ujесть целая функция Uj . Пользуясь разложением (352),поскольку (x − a)мы можем представить и каноническую матрицу θj (x) в виде частного двухцелых функций элементов Us : 1, ...,∞ νmUj1 . . . Ujs δν−s (Uj )Nj (aj1 .
. . ajs ; x)(x − aj )Ujθj (x) =ν=0 s=0j1 , ..., js∞.δν (Uj )ν=1(362)Заметим, что во всех предыдущих формулах число Δ(Uj ) коммутирует слюбой матрицей. В рядах, стоящих в числителях формул (361) и (362), членысуть матрицы, зависящие от элементов Us как через посредство множителейUj , так и через посредство численного множителя δν−s (Uj ).Формулы (352) и (362) дают нам представление канонической матрицы ввиде степенного ряда или частного степенных рядов, расположенных по элементам матриц Us .
При этом коэффициенты Nj (aj1 . . . ajs ; x) зависят от x.Можно, наоборот, строить θj (x) в виде ряда Тэйлора по степеням (x − aj ). Коэффициенты этого ряда окажутся зависящими от элементов Us . Этот ряд будетсходящимся в круге |x − aj | < R, не содержащем других особых точек, кромеx = aj .Для θ j (x) мы имели уравнение (351), причем, как мы показали, Wj = Uj ,т.
е.ndθ j (x)Uj θ j (x)Us= θj (x)−.dxx−ax − ajss=1Подставляя в это уравнениеθj (x) = 1 +∞p=1(p)Aj (x − aj )p ,(363)Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения570[129(p)где Aj — искомые матрицы, не зависящие от x, и приравнивая коэффициентыпри одинаковых степенях (x − aj ), получим уравнения для последовательного(p)определения матриц Aj :(p)U j Aj(p)+ pAj(p)− Aj U j = −(q) p−1Aj U hh=j q=0(ah − aj )p−q(p = 1, 2, . .
.).(364)С подобными системами мы уже встречались в [123]. Мы не останавливаемся на решении уравнений (364) и доказательстве сходимости ряда (363).Здесь применим тот же метод доказательства, которым мы пользовались в(p)[101]. Отметим лишь, что произведение Δ(Uj )Aj есть целая функция элементов матриц Us .129. Формальные разложения в окрестности иррегулярной особойточки.
Мы рассмотрим для случая систем вопрос о построении формальныхразложений решений в окрестности иррегулярной особой точки простейшеготипа. Мы будем считать, что иррегулярная точка есть z = ∞. Аналогичныйвопрос для одного уравнения второго порядка был рассмотрен нами в [116].Пользуясь матричной формой записи, напишем систему в видеdY= Y (A0 + A1 z −1 + A2 z −2 + . .
.),dz(365)где Ak — заданные матрицы порядка n. Положим, что ряд, стоящий в правойчасти, сходится в области |z| > r. Предположим, что характеристические числаλi матрицы A0 различны. Переходя от Y к подобной матрице SY S −1 [123], мыможем выбрать неособую матрицу так, чтобы A0 имела диагональный вид.Будем считать, что это имеет место в уравнении (365):A0 = [λ1 , λ2 , . . . , λn ].Решение уравнения (365) будем искать в видеY = eBz z D (P0 + P1 z −1 + P2 z −2 + . .
.),(366)где B и D — диагональные матрицы.Из (366) следует∞∞dY= (BeBz z D + eBz Dz D−I )Pk z −k − eBz z DPk kz −k−1 ,dzk=0k=1(367)и, подставляя (dY )/(dz) в (365), получаем следующее тождество для нахождения матриц B, D и Pk (из которых первые две, по условию, диагональныематрицы):(B + Dz −1 )∞k=0Pk z −k −∞k=1Pk kz −k−1 −∞k=0Pk z −k ·∞k=0Ak z −k = 0.(368)129]Формальные разложения. . .571Собирая члены, не содержащие z, получимBP0 − P0 A0 = 0(369)и в качестве решения этого уравнения беремP0 = I,B = A0 .(370)Для дальнейших вычислений полезно сделать некоторые общие замечания.Пусть A — диагональная матрица и F — любая. Нетрудно проверить, что разность AF − F A есть матрица с нулевой главной диагональю, {AF − F A}ii = 0(i = 1, 2, .
. . , n). Отметим еще, что если A — диагональная матрица и G — матрица с нулевой главной диагональю, то и матрицы AG и GA — с нулевой главной диагональю.Возвращаемся к уравнению (368). Собирая члены с z −1 и принимая вовнимание (370), получимA0 P1 − P1 A0 = A1 − D.(371)Матрица левой части есть матрица с нулевой главной диагональю, и, следовательно, элементы диагональной матрицы D определяются равенствами{D}ii = {A1 }ii .(372)Недиагональные элементы A1 определяются, в силу (371), равенствами{P1 }ij ={A1 }ij.λi − λj(373)Диагональные элементы {P1 }ii пока не определены. Собирая члены при z −2 ,получимA0 P2 − P2 A0 = −DP1 + P1 + P1 A1 + A2 .Положим Pk = P$k + Dk (k = 1, 2), где P$k — часть Pk с нулевой главной диагональю и Dk — диагональная матрица.
Приходим к равенствуA0 P$2 − P$2 A0 = (−D P$1 + P$1 + P$1 A1 + A1 ) + D1 (A1 − D) + D1 .(374)При преобразованиях, приведших к этому равенству, мы воспользовались коммутативностью произведения диагональных матриц. В правой части первоеслагаемое известно, а второе в силу (371) есть матрица с нулевой главной диагональю, и такой же является левая часть равенства. Отсюда следует, что равенство (374) дает возможность определить D1 и P2 . Дальше рассуждаем поиндукции. Пусть определены P1 , P2 , . .
. , Pk−2 и P$k−1 . Собираем в равенстве(368) члены при z −k (k > 2) и полагаем, как и выше, Pk = P$k + Dk . Нам надопоказать, что полученное равенство дает возможность определить Dk−1 и P$k .Оно имеет видA0 P$k − P$k A0 = −DPk−1 + (k − 1)Pk−1 ++ (Ak + P1 Ak−1 + . . . + Pk−2 A2 ) + Pk−1 A1Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения572[129или, после подстановки Pk−1 = P$k−1 + Dk−1 и перестановки DDk−1 = Dk−1 D,A0 P$k − P$k A0 = (−D P$k−1 + (k − 1)P$k−1 + Ak + P1 Ak−1 + . . .. . . + Pk−2 A2 + P$k−1 A1 ) + Dk−1 (A1 − D) + (k − 1)Dk−1 .В круглых скобках стоят известные матрицы, Dk−1 (A1 − D) есть матрица снулевой главной диагональю, и совершенно так же, как и в случае k = 2, последнее равенство дает возможность определить Dk−1 и P$k . Таким образом,доказано, что при выборе решений уравнения (369) в виде (370) можно однозначно построить формальное решение уравнения (365) в видеY (z) = eA0 z z D (I + P1 z −1 + P2 z −2 + . . .)(375)при условии, что A0 в уравнении (365) есть диагональная матрица с различными характеристическими числами. Матрица D есть диагональная матрица,определяемая формулой (372).Выше в [117] мы доказали, что всякому формальному решению уравнения(193) соответствует и некоторое действительное решение этого уравнения, длякоторого это формальное решение является асимптотическим в некотором секторе.
Аналогичное утверждение имеет место и для системы (365) при сделанных предположениях. Мы только сформулируем соответствующий результат.Пусть λi и bi (i = 1, 2, . . . , n) — диагональные элементы диагональных матриц A0 и D. Каждая строка матрицы Y (z), определяемой формулой (375), имеет вид(1)(2)y$i (z) = eλi z z bi (δik + cik z −1 + cik z −2 + . .
.)(k = 1, 2, . . . , n),(376)(m)где i — фиксированный номер строки, k — номер столбца Y (z), cik = {Pm }ik ,δik = 0 при i = k и δii = 1.Обозначим, далее, через si сектор αi arg z βi такой, что все направления arg z = θ, определяемые равенством cos [arg (λi − λj ) + θ] = 0, находятсявне si . При этом в секторе si при достаточно больших значениях |z| существуеттакое решение yi (z) (yi1 (z), yi2 (z), . . .
, yin (z)) системы, что yi (z) ∼ y$i (z), т. е.(1)(2)yik (z)e−λi z z −bi ∼ δik + cik z −1 + cik z −2 + . . . .Доказательство этой теоремы имеется в книге: Коддингтон Э. А., Левинсон Н.4Теория обыкновенных дифференциальных уравнений (1958). Там же рассмотрен более общий случай систем видаdY= z r (A0 + A1 z −1 + A2 z −2 + . . .),dzгде r — целое положительное число, а также случай, когда A0 , имеет кратныехарактеристические числа.4 Этакнига переиздана в 2007 г. издательством ЛКИ.129]Формальные разложения.
. .573При доказательстве сформулированного выше результата существеннуюроль играет применение метода последовательных приближений.Метод последовательных приближений для линейных систем, приводящийк равномерной сходимости на бесконечном промежутке, содержится в заметкеВ. В. Хорошилова (ДАН СССР, 1949) и в работе: Еругин Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
