1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Эта формула показывает, что если в некоторой точке x = b определитель D(Y ) отличен от нуля, то он будет отличным отнуля и при всяком x, который является обыкновенной точкой для системы, т. е.точкой регулярности всех коэффициентов этой системы. Если это обстоятельство имеет место, то назовем решение Y полным решением (соответствующие nрешений, образующих решение Y , будут в этом случае линейно независимыми).122]Системы линейных дифференциальных уравнений547Если это так, то мы можем рассматривать и обратную матрицу Y −1 , причем,как известно [96],dY −1dY −1= −Y −1Y ,dxdxоткуда в силу (302) эта обратная матрица удовлетворяет следующей системе:dY −1= −P Y −1 .dxПусть Z — какое-нибудь решение нашей системы, т. е.dZ= ZP.dx(304)(305)Составим матрицуA = ZY −1 .Отсюда, пользуясь обычным правилом дифференцирования произведения[96], а также уравнениями (305) и (304), получимdA= 0,dxт.
е. матрица A есть некоторая постоянная матрица C, элементы которой ужене зависят от x. ОтсюдаZ = CY,или, иначе говоря, всякое решение системы может быть получено из полногорешения умножением слева на постоянную матрицу. Наоборот, из вида уравнения (302) непосредственно вытекает, что, умножая решение слева на любуюпостоянную матрицу, мы также получаем решение.
Принимая во внимание, чтоD(Z) = D(C)D(Y ),мы видим, что D(Z) = 0 в том и только в том случае, если D(C) = 0, т. е.,умножая полное решение Y слева на постоянную матрицу C, мы получаемполное решение в том и только в том случае, когда D(C) = 0. Из формулы (303)следует, между прочим, что при аналитическом продолжении полного решенияY оно все время остается полным решением, как мы об этом уже говориливыше при определении полного решения. Заметим что при той форме записи,которой мы пользовались раньше [96], мы должны были решение умножать напостоянную матрицу не слева, а справа, чтобы получить другое решение.Положим, что x = a есть точка плоскости, которая является полюсом илисущественно особой точкой для коэффициентов pik (x).
Если мы обойдем вокругэтой точки, то коэффициенты вернутся к прежним значениям, но решение Yпри аналитическом продолжении перейдет, вообще говоря, в некоторое новоерешение, которое получается из прежнего умножением слева на некоторую постоянную матрицу V :Y + = V Y.Назовем матрицу V интегральной матрицей при обходе точки x = a. Принимая во внимание, чтоD(Y + ) = D(V )D(Y )548Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[123и что при аналитическом продолжении полное решение все время остается полным, мы можем утверждать, что определитель матрицы V наверно отличен отнуля.
Матрица V зависит от того, какое именно полное решение Y мы взяли.Если вместо Y мы возьмем другое полное решение Z = CY , где C — постояннаяматрица с определителем, отличным от нуля, то мы будем иметьZ + = CV Y = CV C −1 Z,т. е. интегральной матрицей для нового решения будет матрица, подобная матрице V . Короче говоря, различные полные решения имеют подобные интегральные матрицы.123. Регулярная особая точка.
Рассмотрим такую особую точку системы, которая является полюсом не выше первого порядка для коэффициентов.Считая для простоты письма, что эта точка есть начало x = 0, мы можемнаписать нашу систему в следующем виде:⎫xy1 = q11 (x)y1 + q21 (x)y2 + . . . + qn1 (x)yn , ⎪⎪⎪⎪xy2 = q12 (x)y1 + q22 (x)y2 + . .
. + qn2 (x)yn , ⎬(306)⎪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎪⎭xyn= q1n (x)y1 + q2n (x)y2 + . . . + qnn (x)yn ,где qik (x) — регулярные функции в точке x = 0:2qik (x) = aik + aik x + aik x + . . .(307)Будем искать решение системы (306) в виде(i)(i)yi = xρ (c0 + c1 x + . . .).(308)xρ ,мы получимПодставляя в систему и сравнивая коэффициенты при(i)систему однородных уравнений для определения коэффициентов c0 :⎫(1)(2)(n)(a11 − ρ)c0 + a21 c0 + .
. . + an1 c0 = 0, ⎪⎪⎪⎪⎪(1)(2)(n)a12 c0 + (a22 − ρ)c0 + . . . + an2 c0 = 0, ⎬(309). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎪⎪⎪⎭(1)(2)(n)a1n c0 + a2n c0 + . . . + (ann − ρ)c0 = 0,и дальше, сравнивая коэффициенты при xρ+k , будем иметь систему уравнений(i)(i)для определения коэффициентов ck , когда предыдущие коэффициенты cmпри m < k известны:⎫(1)(2)(n)(a11 − ρ − k)ck + a21 ck + . .
. + an1 ck = H1k , ⎪⎪⎪⎪⎪(1)(2)(n)a12 ck + (a22 − ρ − k)ck + . . . + an2 ck = H2k , ⎬(310)⎪⎪.............................................⎪⎪⎪⎭(1)(2)(n)a1n ck + a2n ck + . . . + (ann − ρ − k)ck = Hnk ,123]Регулярная особая точка549(i)где Hsk суть линейные однородные функции коэффициентов cm при m < k.Все эти вычисления совершенно аналогичны вычислениям из [101]. Обозначимчерез f (ρ) определитель однородной системы:a11 − ρa21...an1 aa22 − ρ . . .an2 (311)f (ρ) = 12.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1na2n. . . ann − ρДля того чтобы получить решение системы (309), отличное от нулевого, мыдолжны приравнять этот определитель нулю:f (ρ) = 0;(312)при дальнейшем решении неоднородных систем нам надо, чтобы определительэтих систем был отличен от нуля. Этот определитель получается из определителя системы (309) заменой ρ на ρ + k, т. е. он равен f (ρ + k). Пусть ρ1 —некоторый корень уравнения (312) такой, что числа ρ1 + k, где k — любое целоеположительное число, уже не являются корнями уравнения (312).
При этомнаши предыдущие вычисления окажутся формально выполнимыми, и мы сможем построить ряды, формально удовлетворяющие системе. Можно показать,как и в [101], что эти ряды будут сходиться в том круге |x| < r, где сходятсяряды (307).Если корни уравнения (312) различны и отличаются друг от друга не нацелое число, то предыдущий прием даст нам возможность построить n линейнонезависимых решений системы (306). В противном случае, как и в [101], мы будем, вообще говоря, кроме решений вида (308) иметь еще решения, содержащиеln x.Запишем систему в матричной форме:xdY= Y Q,dxгде Q есть матрица, состоящая из функций qik (x), регулярных при x = 0.Мы можем представить эту матрицу в виде ряда, расположенного по целымположительным степеням x:Q = A 0 + A1 x + A2 x 2 + .
. . ,где As — матрицы с постоянными элементами, в частности, матрица A0 состоитиз элементов aik , матрица A1 — из элементов aik и т. д. Система (306) перепишется в видеdYx= Y (A0 + A1 x + A2 x2 + . . .).(313)dxБудем искать решение этой системы в видеY = xW (I + C1 x + C2 x2 + . . .),где W и Cs — искомые матрицы. Мы имеемdY= W xW −1 (I + C1 x + C2 x2 + . .
.) + xW (C1 + 2C2 x + . . .).dx550Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[123Подставляя в уравнение (313) и умножая слева на x−W , получимW (I + C1 x + C2 x2 + . . .) + x(C1 + 2C2 x + . . .) == (I + C1 x + C2 x2 + . . .)(A0 + A1 x + . . .).Сравнение свободных членов даетW = A0 ,и далее, сравнивая коэффициенты при xk , будем иметь систему матричныхуравнений для последовательного определения матриц Ck :A0 Ck + kCk = Ck A0 + Ck−1 A1 + . . . + C1 Ak−1 + AkилиA0 Ck − Ck A0 + kCk = Ck−1 A1 + . . . + C1 Ak−1 + Ak .Не останавливаясь на исследовании этой системы в общем случае, мы разберем лишь тот частный случай, когда матрица A0 приводится к диагональнойматрице, т.
е. когда существует такая матрица S с постоянными элементами иопределителем, отличным от нуля, чтоSA0 S −1 = [ρ1 , ρ2 , . . . , ρn ],причем ρs суть как раз корни уравнения (312).Введем вместо Y новую искомую матрицу Y1 по формулеY = Y1 S.(314)Подставляя в уравнение (313) и умножая справа на S −1 , получим для матрицы Y1 систему видаxгдеdY1= Y1 (B0 + B1 x + B2 x2 + . . .),dx(315)Bk = SAk S −1и, в частности,B0 = [ρ1 , ρ2 , .
. . , ρn ].(316)Ищем, как и выше, решение системы (315) в видеY1 = xW1 (I + D1 x + D2 x2 + . . .).Подставляя, получим W1 = B0 , а следующие коэффициенты определяютсяиз уравнений видаB0 Dk − Dk B0 + kDk = Ek ,(317)где Ek — матрица, которая выражается через предыдущие матрицы Dm приm < k. Принимая во внимание, что B0 есть диагональная матрица (316), мыполучим, согласно уравнению (317), для элементов матрицы Dkρi {Dk }ij − {Dk }ij ρj + k{Dk }ij = {Ek }ij ,124]Регулярные системы551т. е.1{Ek }ij .ρi − ρi + kЕсли разность корней (ρi −ρj ) уравнения (312) не есть целое число, то это идает возможность определения всех коэффициентов.
Заметим, что если средикорней уравнения (312) есть равные, но матрица A0 приводится к диагональнойформе (имеет простые элементарные делители), то предыдущие вычислениясохраняют свою силу.Мы не касались в наших рассуждениях вопросов сходимости, которые, какмы уже упоминали, можно провести аналогично тому, как это было сделанов [101].
Заметим, кроме того, что мы считали выше, что свободный член вискомом решении уравнения (313){Dk }ij =Y = xW (I + C1 x + C2 x2 + . . .)равен единичной матрице. Это не является существенным. Важно лишь, чтобыон был матрицей с определителем, отличным от нуля. Действительно, пустьY = xW (C0 + C1 x + C2 x2 + . . .),где D(C0 ) = 0. Возьмем новое решениеC0−1 Y = C0−1 xW C0 C0−1 (C0 + C1 x + C2 x2 + .
. .).Но для любой аналитической функции от матрицы, как мы знаем,C0−1 f (W )C0 = f (C0−1 W C0 ),так что, например,C0−1 eW C0 = eW(W = C0−1 W C0 ),и, следовательно, новое решение будетC0−1 Y = xW (I + C1 x + C2 x2 + . . .)(Ck = C0−1 Ck ).Аналогично можно рассуждать и при решении уравнения (315).124. Регулярные системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
