1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Г. Крейном, М. Г. Нейгауз, В. Б. Лидским, Ж. Боргом иВ. А. Якубовичем. Эти условия можно найти в обзоре B. М. Старжинского (ПММ, т. 18, в. 4, 1954)3 .Условий неустойчивости уравнения Хилла, достаточно эффективных и просто формулируемых, известно немного. Приведем следующий простой критерий, установленный А. М. Ляпуновым.Если в уравнении Хилла q(x) < 0, то A > 1 и, следовательно,числа ρ1 , ρ2 различны и положительны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y1 (x) — решение нашего уравнения,удовлетворяющее начальным условиям y1 (0) = 1 и y1 (0) = 0. Интегрируя уравнение Хилла и принимая во внимание последнее начальное условие, мы можем написатьq(x) ≡/y1 (x)x=−q(x)y1 (x) dx.(295)0При значениях x, близких к нулю и положительных, y1 (x) близко к единице, и, следовательно, y1 (x) > 0 в силу q(x) < 0, т.
е. y1 (x)3 Упомянем также книгу В. А. Якубовича, В. М. Старжинского. Линейныедифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., 1972.121]Условия устойчивости и неустойчивости. . .543возрастает. В силу соотношения (295) y1 (x) могло бы стать отрицательным только после того, как y1 (x) станет отрицательным. Но, сдругой стороны, для того чтобы y1 (x) стало отрицательным, необходимо, чтобы оно предварительно начало убывать, т. е. необходимо чтобы до этого y1 (x) стало отрицательным.
Мы приходим, таким образом, к противоречию и можем утверждать, что при всякомx > 0 будет y1 (x) > 0 и y1 (x) > 1, и, в частности, имеем y1 (ω) > 1.Возьмем теперь решение y2 (x), удовлетворяющее начальным условиям y2 (0) = 0 и y2 (0) = 1. Интегрируя уравнение Хилла, получимy2 (x)x=1−q(x)y2 (x) dx.(296)0При x, близких к нулю, y2 (x) близко к единице и, следовательно, положительно, а потому y2 (x) возрастает и больше нуля, ибоy2 (0) = 0. Формула (296) показывает, что y2 (x) может стать отрицательным только после того, как y2 (x) станет отрицательным.
Но,с другой стороны, y2 (x) может стать отрицательным, лишь предварительно убывая, т. е. после того, как y2 (x) станет отрицательным.Это противоречие показывает нам, что при всяком положительномx мы имеем y2 (x) > 0 и y2 (x) > 1 и, в частности, y2 (ω) > 1. Доказанные неравенства для y1 (ω) и y2 (ω) дают нам2A = y1 (ω) + y2 (ω) > 2,т.
е. A > 1,что и утверждалось.Несколько уточняя предыдущие рассуждения, мы могли быусловие q(x) < 0 заменить условием q(x) 0, q(x) ≡/ 0.Рассмотрим в заключение уравнение Хилла, содержащее параметр λ:y + λq(x)y = 0,(297)где, как и раньше, q(x) 0, q(x) ≡/ 0, q(x) — ω-периодическая функция и λ —комплексный параметр.
Как мы видели раньше, вопрос об ограниченности илинеограниченности решений уравнения (297) при вещественных значениях λ решается величиной характеристической постоянной ЛяпуноваA=y1 (ω) + y2 (ω).2544Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[121Эта постоянная в случае уравнения (297) зависит от параметра λ, и мы ееобозначим через A(λ). Учитывая равномерную сходимость метода последовательных приближений при построении решений y1 (x) и y2 (x) [II, 50], можноутверждать, что A(λ) — целая функция λ, вещественная при вещественных λ.Как известно, при этом, если |A(λ)| < 1, то все решения уравнения ограниченыпри −∞ < x < +∞; если |A(λ)| > 1, то общее решение уравнения не ограничено, а при |A(λ)| = ±1 общее решение может быть как ограниченным, так инеограниченным.Сформулируем некоторые общие результаты, касающиеся промежутков изменения λ, для которых будет иметь место ограниченность или неограниченностъ общего решения уравнения (297) на бесконечном пpoмeжутке −∞ < x <+∞.
(Близкие утверждения установлены впервые A. М. Ляпуновым, Собр. соч.,т. 2, изд. АН СССР, 1956, стр. 401—403.)1◦ . Каждое из уравненийA(λ) = 1,(2981 )(2982 )A(λ) = −1имеет бесчисленное множество корней. Все они вещественны, и их кратностьне выше двух.2◦ . Эти корни могут быть пронумерованы так, что0 < λ1 λ1 < λ2 λ2 < λ3 λ3 < . . . ,(299)где 0, λ2 , λ2 , λ4 , λ4 , . .
. — корни, уравнения (2981 ), а λ1 , λ1 , λ3 , λ3 , . . . —корни, уравнения (2982 ). Открытые интервалы (0, λ1 ), (λ1 , λ2 ), (λ2 , λ3 ), . . .являются интервалами ограниченности (в них |A(λ)| < 1), а те из открытыхинтервалов (−∞, 0), (λ1 , λ1 ), (λ2 , λ2 ), . .
., которые не вырождаются в точку,являются интервалами неограниченности (в них |A(λ)| > 1).3◦ . Если λ = λi или λ = λi и λ1 = λi ,то существуют два линейно независимыхрешения y1 (x), y2 (x) таких, чтоy1 (x + ω) = (−1)i y1 (x);y2 (x + ω) = (−1)i y2 (x) + y1 (x).В этом случаеy2 (x) = (−1)ixy1 (x) + z(x)ωиz(x + ω) = (−1)i z(x)(300)и общее решение уравнения (297) растет,Рис. 71.как x.Если λ = λi = λто yk (x + ω) = (−1)i yk (x) (k = 1, 2).2,4◦ . На каждом из интервалов ограниченности (|A(λ)| < 1) функция A(λ)меняется монотонно (A (λ) > 0 или A (λ) < 0. При вещественном α, |α| 1,уравнение A(λ) = α имеет лишь вещественные корни.122]Системы линейных дифференциальных уравнений545Аналогичные предложения имеют место и для знакопеременной функцииq(x), по при этом промежутки ограниченности и неограниченности расположены как на положительной, так и на отрицательной полуоси λ.На рис.
71 изображен график A(λ) и проведены две прямые, параллельныеоси λ и отстоящие от нее на расстоянии единицы. Точки пересечения графикаA(λ) с этими прямыми дают значения λi и λi.122. Системы линейных дифференциальных уравнений. До сих пормы рассматривали одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно является частным случаем системы двух линейных уравнении первогопорядка. Вообще одно линейное уравнение порядка n может быть представлено, если принять производные за новые искомые функции, в виде системылинейных уравнений первого порядка. Мы обратимся к рассмотрению общегослучая системы линейных уравнений первого порядка вида⎫y1 = p11 (x)y1 + p21 (x)y2 + . .
. + pn1 (x)yn , ⎪⎪⎪⎪y2 = p12 (x)y1 + p22 (x)y2 + . . . + pn2 (x)yn , ⎬(301)⎪.......................................... ⎪⎪⎪⎭yn= p1n (x)y1 + p2n (x)y2 + . . . + pnn (x)yn ,где yi — искомые функции, yi — их производные и pik (x) — таблица заданныхкоэффициентов, причем в отличие от прежних обозначений [96] мы считаем,что первый значок показывает, при каком из неизвестных стоит коэффициент, а второй значок показывает, в каком из уравнений этот коэффициент находится. К написанной системе примени́м дословно метод последовательныхприближений, описанный нами в [98], и, следовательно применимы и все теследствия, которые мы там имели в результате применения этого метода.
Напомним эти следствия. Если все коэффициенты pik (x) регулярны в некоторомкруге |x − a| < r, то система (301) имеет единственное решение, удовлетворяющее в точке x = a любым заданным начальным условиям:y1 (a) = α1 ; . . . ; yn (a) = αn ,и это решение будет регулярно в упомянутом круге |x−a| < r. Такое решениеможно аналитически продолжать по любому пути, не проходящему черезособые точки коэффициентов pik (x), и при этом продолжении оно все времяостается решением.Решение системы состоит из n функций. Положим, что мы имеем n решений системы. Эти решения образуют квадратную таблицу функций### y11 y12 . . . y1n #### y21 y22 .
. . y2n ##Y =## . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .# ,### yn1 yn2 . . . ynn #причем первый значок дает номер решения, а второй значок — номер функции,входящей в решение. Назовем теперь решением системы квадратную таблицу546Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[122указанного вида, состоящую из n решений, обозначим через P таблицу, состоящую из коэффициентов pik (x), и через Y — таблицу, определяющую решение.Пользуясь правилом перемножения матриц, можно записать систему линейныхуравнений совершенно так же, как это мы делали в [96], в следующем виде:dY= Y P.dx(302)Заметим только, что в данном случае мы применили иное обозначение длязначков, чем в [96], а потому получили и другую последовательность сомножителей в правой части формулы (302). Обозначая, как всегда, через D(A)определитель матрицы A, мы можем вывести следующее уравнение для определителя D(Y ) решения Y :x[p11 (x)+p22 (x)+...+pnn (x)]dxD(Y ) = D(Y ) x=b eb,(303)где b есть некоторая обыкновенная точка для системы, т.
е. такая точка, в которой все коэффициенты pik (x) регулярны. Формула (303), называемая обычноформулой Якоби, является обобщением той формулы, которую мы раньше имели для определителя Вронского.Принимая во внимание основное определение определителя в виде суммыпризведения его элементов, мы можем утверждать, что при дифференцировании определителя достаточно продифференцировать в отдельности каждыйего столбец и затем сложить все полученные определители, т. е. dD(Y )d y11 y12 y11y12 y11 y12,=+=dxdx y21 y22 y21 y22 y21 y22 причем для простоты письма мы считаем n = 2. Заменяя производные их выражениями из уравнений системы, будем иметь p y + p21 y12 y12 y11 p12 y11 + p22 y12 dD(Y )+.= 11 11p11 y21 + p21 y22 y22y21 p12 y21 + p22 y22 dxРазлагая определители на сумму определителей и вынося за знак определителя pik , мы замечаем, что в некоторых слагаемых будут стоять определителис одинаковыми столбцами, равные нулю, так что предыдущая формула дастнамyydD(Y )y12 y12 + p22 11,= p11 11y21 y22y21 y22 dxилиdD(Y )= (p11 + p22 )D(Y ),dxоткуда и вытекает формула Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
