1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 81
Текст из файла (страница 81)
. .(214)(215)равномерно сходится на i1 , т. е. vn (z) стремится к некоторой предельной функции v(z) равномерно по i1 . Эта непрерывная функцияесть сумма равномерно сходящегося ряда (215), и в силу (210) онаявляется решением интегрального уравнения (208). Из этого уравнения следует, что v(z) имеет на i1 производные всех порядков истремится к единице при z → +∞. Принимая во внимание (209)и интегрируя в правой части (208) по частям обратно тому, какэто мы делали при переходе от (207) к (208), убедимся в том, чтоv(z) удовлетворяет уравнению (207), а из этого следует, что v(z)есть решение дифференциального уравнения (206) и v(z) → 1 приz → +∞.Переходим теперь к построению асимптотического разложенияv(z) на луче z > 0. Мы будем исходить при этом из формул (210).Выпишем явное выражение обозначения ψ = A[ϕ]:zψ(z) = eze∞−x 1xzp2 (x)ϕ(x)dx +∞1q2 (x)ϕ(x) dx.x2(216)При вычислении v2 (z) − v1 (z) надо положить ϕ(x) ≡ 1.
Пустьn > 0 — некоторое целое число. Докажем следующее утверждение:117]Построение асимптотических разложений. . .513Т е о р е м а. Если ϕ(z) имеет на i1 степенное асимптотическоеразложение видаϕ(z) =akak+1an−1+ k+1 + . . . + n−1 + O(z −n ) (k 1),kzzz(217)то ψ(z) имеет разложение видаbk+2bnbk+1(218)ψ(z) = k+1 + k+2 + .
. . + n + O(z −n−1 ),zzzгде bs зависят от as .При подстановке в правую часть (216) вместо ϕ(x) последнегослагаемого выражения (217), имеющего при больших |x| оценку|O(x−n )| a,xnгде a — постоянная, получим, применяя оценки, аналогичные (212)и (213), величину O(z −n−1 ). При подстановке слагаемых видаas /z s (s = k, k + 1, .
. . , n − 1) получимzψs (z) = as eze∞−x1zp2 (x)dxxs+1+ as∞1q2 (x)dx.xs+2(219)Во втором интеграле подынтегральная функция есть ряд по целымположительным степеням, начинающийся с члена порядка 1/xs+2 .Почленное интегрирование, очевидно, допустимо, и мы получаемряд того же типа, начинающийся с 1/z s+1 . В первом слагаемомформулы (219) мы получаем выражения видаzeze−x x−m dx(m = s + 1, s + 2, . . .).∞Для него мы получили асимптотическое представление в [112],которое начинается с члена порядка z −m , причем беремm = s + 1, s + 2, . .
. , n, а члены, имеющие порядок выше n, заменяем на O(z −n−1 ). Таким образом, для ψ(z) получаем разложение(218). Коэффициенты bs зависят от as и заданных функций p2 (z) иq2 (z). Теорема доказана.514Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[117Из нее следует при ϕ(z) ≡ 1, что(1)v2 (z) − 1 = v2 (z) − v1 =(1)(1)b1bnb+ 22 + .
. . + n + O(z −n−1 ).zzzПрименяя последовательно формулу (210), получаем(k)(k)(k)bk+1bkbn++...++ O(z −n−1 ).zkz k+1znvk+1 (z) − vk (z) =Складывая, получаемvn+1 (z) = 1 +c2c1cn+ 2 + . . . + n + O(z −n−1 ),zzz(220)где(1)(1)(2)(2)(n)c1 = b1 ; c2 = b2 + b2 ; . . . ; cn = b(1)n + bn + . . . + bn .Далее имеемvn+1 (z) − vn (z) = O(z −n−1 ),т. е. |vn+1 (z) − vn (z)| bz −n−1 ,где b — постоянная. Принимая во внимание (213), получаем|v(z) − vn+1 (z)| |vn+2 (z) − vn+1 (z)|++ |vn+3 (z) − vn+2 (z)| + .
. . K −n−1z,1−qт. е. v(z) − vn+1 (z) = O(z −n−1 ), и в силу (220) имеем окончательноасимптотическое представлениеv(z) = 1 +c2c1cn+ 2 + . . . + n + O(z −n−1 )zzz(221)при любом фиксированном целом n, илиv(z) ∼ 1 +c2c1+ 2 + ...zz(222)Мы получили это разложение на положительной части вещественной оси.
Все вышеприведенные рассуждения применимы в секторе117]Построение асимптотических разложений. . .515− π2 + ε < arg z < π2 − ε, в котором при интегрировании, например, вдоль луча с постоянным аргументом от z до ∞ вещественнаячасть показателя e−z отрицательна и беспредельно возрастает помодулю. Последовательные приближения, получаемые по формуле(210), будут регулярными функциями z в указанном секторе, и внем будет иметь место асимптотическое разложение (222). Можнопоказать, что этот результат имеет место и в более широком секторе, а именно в секторе, который получается из полной плоскостиисключением из нее сектора с углом 2ε, биссектрисой которого является отрицательная часть вещественной оси, где ε > 0 — любоемалое фиксированное число. В основном сохраняется предыдущеедоказательство, но интегрирование в формуле (210) надо проводить сначала по окружности с центром в начале, а затем по лучуarg z = γ, содержащемуся в промежутке − π2 + ε < γ < π2 − ε.Мы рассматривали выше лишь тот случай, когда 2α + a0 = −1.Если 2α + a0 есть любое отрицательное число, т.
е. 2α + a0 = 0 иarg (2α+a0 ) = π, то, вводя вместо z новую независимую переменнуюz = az, где a > 0 — подходящим образом выбранная постоянная,мы можем привести уравнение (200) к случаю 2α + a0 = −1. Положим, что arg (2α + a0 ) = ω. Совершая замену z = −eiω z, которойсоответствует поворот плоскости вокруг начала на угол (ω + π), мызаменим 2α + a0 на отрицательное число и будем иметь разложение(222). Возвращаясь к исходной плоскости, мы можем утверждать,что асимптотическое разложение (222) будет иметь место в секторе−ω + ε arg z 2π − ω − ε.Вернемся к исходному уравнению (193). Обозначая через α1 иα2 корни (различные) уравнения (195) и вводя числаρk = −a1 αk + b12αk + a0(k = 1, 2),мы сможем сформулировать следующий результат: уравнение (193)имеет два решения, имеющих асимптотические представленияwk (z) = eαk z ρkz(k)(k)(k)c2c1cn−n−1+ 2 + . .
. + n + O(z1+)zzz(223)Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения516[117в секторах−ωk + ε arg z 2π − ωk − ε(ωk = arg (2αk + a0 ); k = 1, 2),(224)иначе говоря, на полной плоскости с выделением из нее сектора суглом 2ε, имеющим биссектрисой прямую arg z = −ωk . Отметим,что 2α1 + a0 = α1 − α2 и 2α2 + a0 = α2 − α1 . В [116] мы получили формально разложение решения уравнения (193) в ряд вида(203), которое определялось с точностью до постоянного множителя.
Покажем, что полученное выше асимптотическое разложение(223) совпадает с указанным формальным разложением (203) приc0 = 1. Это достаточно сделать для случая 2α + a0 = −1. Из (208)следует11v (z) = p2 (z)v(z) + 2 q2 (z)v(z) + ezzzz∞1e−x p2 (x)v(x) dx.x(225)Рассуждая, как и выше, убедимся в том, что правая часть, а следовательно и v (z), разлагается в асимптотический ряд видаv (z) ∼d2d3+ 3 + ...z2z(226)Члены порядка z −1 входят в первое и третье слагаемые правойчасти формулы (225) и взаимно сокращаются.Интегрируя разложение (226) [112], получимv(z) ∼ 1 −d2d3− 2 + ...z2z(227)Из уравнения (206) вытекает разложение v (z), и из вида правойчасти этого уравнения следует, что это разложение начинается счлена z −m , где m 2. Но, производя интегрирование этого разложения и принимая во внимание (226) и единственность разложения,можем утверждать, что разложение v (z) начинается с члена порядка z −3 .
Из сказанного следует, что асимптотическое разложениеможно почленно дифференцировать и что полученные таким образом разложения формально удовлетворяют уравнению (206), т. е.118]Функции Эйри517асимптотическое разложение (223) совпадает с полученным в [116]разложением при c0 = 1. Если мы будем почленно дифференцировать уравнение (206), то убедимся в том, что производные всехпорядков функции v(z) имеют асимптотические разложения.К уравнениям вида (112), к которым мы применяли метод Лапласа, естественно, применим и метод последовательных приближений. При применении метода Лапласа мы получали непосредственно коэффициенты асимптотических рядов для решений, инетрудно проверить, что они и сами решения совпадают с точностью до произвольного постоянного множителя с теми, которые получаются формальным разложением по методу из [116].
Для уравнений вида (112) метод Лапласа и метод последовательных приближений приводят, естественно, к одному и тому же результату.Но представление решения в виде интеграла Лапласа легко приводит, как это мы видели для функций Ханкеля, к сектору с углом3π, внутри которого асимптотическая формула имеет место. Такоерасширение сектора уже не имеет места для функции Бесселя.Указанное выше применение метода последовательных приближений для луча z > 0 изложено в курсе Пикара (Picard, Traité,d’Analyse, t. III, 1927) и в общем случае в книге: Трикоми Д.
Дифференциальные уравнения (1962).118. Функции Эйри. Преобразование Лапласа имеет применения и куравнениям, отличным от уравнений вида (112). Рассмотрим уравнениеw − zw = 0.(228)Всякое его решение есть целая функция от z [98]. Интегрируя с помощью степенного ряда, получаем все его решения в видеz6z9z3+++ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
