1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Различный выбор решений. Укажем некоторые приемы выбора l. Определяющее уравнение в регулярной особой точкеz=0ρ(ρ − 1) + a1 ρ = 0имеет корни ρ1 = 0 и ρ2 = 1 − a1 . Если 1 − a1 не целое положительное, то одно из решений уравнения будет целой функцией, рядМаклорена которой имеет свободный член, отличный от нуля. Укажем выбор пути l, при котором формула (122) дает такое решение.476Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[109Подынтегральная функция в выражении (122) имеет особыеточки z = α1 и z = α2 , которые будут точками разветвления,так как p и q будут, вообще говоря, числа не целые. При обходевокруг точки z = α1 в положительном направлении, упомянутаяподынтегральная функция получит множитель e(p−1)2πi = ep2πi ,а при обходе точки z = α2 она получит множитель e(q−1)2πi =eq2πi .
В дальнейшем мы будем считать, что p и q суть числане целые.Возьмем некоторую точку z0 плоскости, лежащую на конечномрасстоянии и отличную от α1 и α2 , и обозначим через l1 и l2 замкнутые контуры, выходящие из z0 и обходящие вокруг точек α1и α2 .Обозначим символически через (l1 , l2 ) контур, который состоитиз следующих последовательных обходов: обхода по l1 в положительном направлении, обхода по l2 в положительном направлении,обхода по l1 в отрицательном направлении и обхода по l2 в отрицательном направлении. В результате первого обхода функция (123)получит множитель ep2πi .
После второго обхода она получит множитель eq2πi , после третьего обхода — множитель e−p2πi и, наконец, после четвертого обхода — множитель e−q2πi . Таким образом,окончательно вернувшись в точку z0 , мы будем иметь для левойчасти (123) ту же самую ветвь, которую мы взяли, отправляясь изz0 и, таким образом, принимая за l контур (l1 , l2 ), мы удовлетворим условию (123), и формула (122) даст нам решение уравнения.Заметим при этом, что если бы мы взяли за контур l замкнутыйконтур, не содержащий внутри себя особых точек α1 и α2 подынтегральной функции, то эта функция, конечно, тоже вернулась бы кисходному значению, но согласно теореме Коши интеграл (122) потакому контуру был бы равен нулю, и мы не получили бы решенияуравнения (112).
В данном случае мы подобрали контур так, что,обходя вокруг особых точек, мы все же вернулись к исходной ветвифункции.Имеем, таким образом, решениеw(z) = C(l1 , l2 )(z − α1 )p−1 (z − α2 )q−1 ezz dz .(124)109]Различный выбор решений477Переменная z расположена на контуре, который целиком находится на конечном расстоянии, и, следовательно, мы можем написать разложение в рядezz =∞zkk=0k!z k ,равномерно сходящийся на контуре интегрирования.
Подставляяэтот ряд и интегрируя почленно, мы представим наше решение ввидеw0 (z) = C∞zkk=0k!z k (z − α1 )p−1 (z − α1 )q−1 dz ,(125)(l1 , l2 )где C — произвольная постоянная, т. е. построенное нами решениеи есть как раз регулярное (в начале координат) решение. Надотолько иметь в виду то обстоятельство, что это решение не должно быть равно тождественно нулю, что может произойти лишь висключительных случаях.Решение (125) является целой функцией, поскольку второй особой точкой является z = ∞.
Решение (125) теряет смысл, если pи q — целые положительные числа, ибо в этом случае все интегралы, входящие в эту формулу, равны нулю согласно теореме Коши.Нетрудно видеть, что значения этих интегралов при любых p и qне зависят от выбора начальной точки интегрирования z0 контура(l1 , l2 ). Важно лишь фиксирование значений многозначных функций (z − α1 )p−1 и (z − α2 )q−1 в какой-либо точке упомянутогоконтура. Это влияет лишь на постоянный множитель C.
Независимость от z0 связана с тем, что при полном обходе контура мывозвращаемся к исходному значению подынтегральной функции винтеграле (124).Отметим, что если вещественные части чисел p и q положительны, то произведение (z − α1 )p (z − α2 )q обращается в нуль приz = α1 и z = α2 , и в этом случае упомянутое регулярное решениеможет быть представлено интегралом по прямолинейному отрезку478Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[109от α1 к α2 :α2w(z) = C (z − α1 )p−1 (z − α2 )q−1 ezz dz .(126)α1Значение многозначных множителей в подынтегральной функциивлияет лишь на постоянную C.Возвращаемся к общему случаю.
Будем только предполагатьчто числа α1 и α2 имеют различные мнимые части (это несущественно). Проведем из этих точек разрезы l1 и l2 , параллельныеоси X и направленные на −∞. На плоскости z с проведенными разрезами (рис. 66) подынтегральная функция интеграла (122) однозначна. Мы выбираем ту ветвь ее, для которой arg(z − α1 ) = 0 приz − α1 > 0, т. е. на продолжении первого разреза, и arg(z − α2 ) = 0при z − α2 > 0. Указанные на рис. 66 контуры выбираем за контуры интегрирования. Мы получаем, таким образом, два решенияуравнения (112):w1 (z) = (z − α1 )p−1 (z − α2 )q−1 ezz dz ,l1w2 (z) =(z − α1 )p−1 (z − α2 )q−1 ezz dz .(127)l2Рис. 66.Считаем, что при стремлении z к(−∞) аргумент z − αk стремится к π на верхнем берегу разреза.
Можно считать, например, чтопри достаточно больших |z | контур lk идет по нижнему и верхнему берегам разреза. Для сходимости интегралов (127) надо ограничиться такими значениями z, прикоторых Re(zz ) < 0. Это условиенаверное выполнено, еслиππ− < arg z < ,(128)22109]Различный выбор решений479так как при этомπ3π< arg(zz ) <22илиπ3π+ 2π < arg(zz ) <+ 2π22для всех достаточно больших |z |. Если мы положим |z| > r, где r —какое-либо положительное число, и выполнено условие−ππ+ ε < arg z < − ε,22(129)где ε — любое малое положительное число, то сходимость интегралов (127) будет равномерной по отношению к z.Пользуясь формулой Коши, мы можем поворачивать, например, разрез ll вокруг точки α1 .
При этом надо иметь в виду, чтобыон при указанном повороте не пересекал точки α2 и чтобы вещественная часть zz была отрицательной при больших |z | (z заданои z = 0). При повороте разреза надо считать arg(z − α1 ) = 0 приz − α1 > 0.
Мы приходим, таким образом, к аналитическому продолжению решений из сектора (129). Более подробно мы будем говорить об этом ниже в связи с исследованием уравнения Бесселя.Установим теперь связь решений (127) с тем решением уравнения (112), которое регулярно в начале координат. Имея в видудальнейшие приложения к уравнению Бесселя, ограничимся случаем, когда p = q. В этом случае для получения регулярного (в началекоординат) решения можно брать за контур интегрирования не контур (l1 , l2 ), упомянутый выше, но более простой контур, а именноконтур, выходящий из некоторой точки z0 и обходящий α1 в положительном направлении, а затем α2 в отрицательном направлении.При первом обходе подынтегральная функция получит множительep2πi , а при втором — множитель e−q2πi = e−p2πi , так что она вернется к исходному значению, и условие (123) будет выполнено.
Каки выше, построенное решение не зависит от выбора точки z0 . Отведем эту точку, не затрагивая точек α1 и α2 на (−∞), например,по нижнему берегу разреза r1 , идущего в точку α1 (рис. 67). Обход480Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[110точки α1 даст нам при этом решение w1 . После этого обхода мы попадем на верхний берег упомянутого разреза и должны будем затемобойти точку α2 в отрицательномнаправлении. Если бы мы совершили этот обход с нижнего берега разреза r1 , то получили бы решение(−w2 ). Но при переходе на верхнийберег разреза, откуда и совершается обход точки α2 , подынтегральРис. 67.ная функция приобрела множительep2πi , и, следовательно, обход вокруг α2 в отрицательном направлении даст нам (−ep2πi w2 ). Окончательно получаем следующее правило: при p = q регулярный интеграл, получаемый интегрированием по контуру, указанному на рис.
67, выражается через решения(127) в видеw1 (z) − ep2πi w2 (z).(130)Дальше мы укажем на возможность применения преобразования Лапласа и для уравнений, отличных от уравнений вида (112).Сейчас мы рассмотрим применение указанного преобразования куравнению Бесселя.110. Уравнение Бесселя. Уравнение Бесселя [II, 48]z 2 w + zw + (z 2 − n2 )w = 0(131)при помощи преобразованияw = znu(132)zu + (2n + 1)z + zu = 0,(133)приводится к уравнениюкоторое имеет вид (112). В данном случаеa0 = 0, a1 = 2n + 1, b0 = 1, b1 = 0.110]Уравнение Бесселя481Уравнение (117) имеет вид z 2 + 1 = 0, и мы получаемα1 = i, α2 = −i, p = q =2n + 1.2(134)Решения уравнения (133) имеют вид2n−12n−1u1 = (z 2 + 1) 2 ezz dz , u2 = (z 2 + 1) 2 ezz dz .l1(135)l2Согласно сказанному в [106] arg(z + i) = 0 при z + i > 0 иarg(z − i) = 0 при z − i > 0, откуда следует, что arg(z 2 + 1) = 0при вещественных z .Иногда пишут решения несколько в ином виде, а именно вводятвместо z новую переменную интегрирования τ по формуле zπ =πiiτ = e 2 τ , что соответствует повороту плоскости z на угол − 2 :⎫1⎪u1 = i (1 − τ 2 )n− 2 eizτ dτ,⎪⎪⎪⎪⎬λ1(136)⎪2 n− 12 izτ⎪⎪e dτ.⎪u2 = i (1 − τ )⎪⎭λ2где λ1 и λ2 — контуры, выходящие из точки τ = +i∞и обходящие вокруг точек τ = 1 и τ = −1 (рис.
68),и arg (1 − τ 2 ) = 0 при чисто мнимых τ , которыесоответствуют вещественным z , или, что то же,arg (1−τ 2 ) = π при τ > 1. Полагая 1−τ 2 = eπi (τ 2 −1),получим вместо (136)⎫π (n− 12 )i2n− 12 izτ⎪u1 = ei (τ − 1)e dτ,⎪⎪⎪⎪⎬λ1(137)11⎪⎪u2 = eπ(n− 2 )i i (τ 2 − 1)n− 2 eizτ dτ,⎪⎪⎪⎭Рис. 68.λ2гдеarg (τ 2 − 1) = 0при τ > 1.(138)482Гл. V. Линейные дифференциальные уравненияСоответствующие решения уравнения (131) будут⎫11⎪w1 = eπ(n− 2 )i iz n (τ 2 − 1)n− 2 eizτ dτ,⎪⎪⎪⎪⎬λ111⎪⎪w2 = eπ(n− 2 )i iz n (τ 2 − 1)n− 2 eizτ dτ.⎪⎪⎪⎭[110(139)λ2Вместо второго решения введем w2∗ = e(2n+1)πi w2 , так что11w2∗ = eπ(3n+ 2 )i iz n (τ 2 − 1)n− 2 eizτ dτ.(140)λ2Разность w1 −w2∗ дает решение уравнения Бесселя, имеющее вблизиначала вид [109]∞nzβk z k (β0 = 0).k=0Мы уже знаем, что такое решение уравнения Бесселя определяется следующим рядом [II, 48]:z4z2nCz 1 −+− ... .2(2n + 2) 2 · 4 · (2n + 2) · (2n + 4)При этом считается, что n не есть целое отрицательное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
