1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Обратимся ко второму случаю. Пусть ρ1 и ρ2 — корни уравнения (39) и ρ1 = ρ2 + m,где m — некоторое целое положительное число, т. е. ρ1 есть тот изкорней уравнения, вещественная часть которого больше, чем вещественная часть другого корня. Для корня ρ1 условие (40) очевидновыполнено, и можно построить, пользуясь этим корнем, решениеуказанным выше способом. Если мы попытаемся использовать второй корень ρ2 для построения решения, то встретимся со следующим затруднением. Значение ρ2 + m является корнем уравнения(39), и, следовательно, если мы возьмем (m + 1)-е уравнение системы (37):101]Регулярная особая точка437cm f0 (ρ2 + m) + cm−1 f1 (ρ2 + m − 1) + . . . + c0 fm (ρ2 ) = 0,то в этом уравнении коэффициент f0 (ρ2 + m) при неизвестном cmбудет равен нулю.
Сумма остальных членов будет, вообще говоря,от нуля отлична, и мы придем к противоречивому равенству. Таким образом, и в этом случае нам надо будет иначе искать второерешение. Заметим, что если оказалось бы случайно, что в предыдущем уравнении и упомянутая сумма равна нулю, то мы моглибы за cm взять любое число и продолжать вычисление дальнейшихкоэффициентов cm+1 , .
. .. Наши предыдущие оценки показывают,что полученный ряд будет сходящимся, и мы будем иметь, такимобразом, и в этом исключительном случае второе решение вида(36).Установим теперь вид второго решения, считая вообще, чтоρ1 = ρ2 + m,(49)где m есть целое положительное число или нуль. Напомним, чтодля линейного уравненияw + p(z)w + q(z)w = 0мы имели формулу, которая дает второе решение уравнения w2 ,когда известно его одно решение w1 [II, 24]:dz(50)w2 = Cw1 e− p(z)dz 2 ,w1где C — произвольная постоянная.
В данном случаеa0+ a1 + a2 z + . . .p(z) =zи1p(z)dz = ln z a0 + C1 + a1 z + a2 z 2 + . . . ,2откудаe− p(z)dz = z −a0 P1 (z),где, как и выше, P1 (z) — ряд Тейлора, расположенный по степенямz со свободным членом, отличным от нуля. Построенное уже решение имеет видw1 = z ρ1 P2 (z),(51)Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения438откуда[101w12 = z 2ρ1 P3 (z),где Ps (z) — ряды Тейлора со свободным членом, отличным от нуля.Подынтегральная функция в формуле (50) будет, следовательно,иметь вид:1e− p(z)dz 2 = z −a0 −2ρ1 P4 (z).w1Числа ρ1 и ρ2 суть корни квадратного уравнения (39), и, следовательно,ρ1 + ρ 2 = 1 − a0 .Отсюда в силу (49)−a0 − 2ρ1 = ρ2 − ρ1 − 1 = −(1 + m),т. е. подынтегральное выражение в формуле (50) будетe−p(z)dzγ−(1+m)1γ−1+ γ0 + γ1 z + . .
.= z −(1+m) P4 (z) =+ ...+21+mw1zz(γ−(1+m) = 0).Интегрируя это выражение, получим один логарифмическийчлен γ−1 ln z и затем ряд, который начнется со степени z −m . Умножая это еще на w1 , определяемое формулой (51), получим окончательно следующее выражение:w2 = z −m P5 (z) · z ρ1 P2 (z) + γ−1 w1 ln zили в силу (49)w2 = z ρ2 P6 (z) + γ−1 w1 ln z,(52)где P6 (z) — ряд Тейлора со свободным членом. Выражение (52) поформе совпадает со вторым из выражений (30), причем в формуле(52) ряд Лорана не содержит членов с отрицательными степенями.Заметим, что постоянная γ−1 , вообще говоря, отлична от нуля, номожет в отдельных случаях оказаться и равной нулю.
Это будутте исключительные случаи, о которых мы говорили выше. Такимобразом, мы и в этом случае получаем второе решение, характерноедля регулярной особой точки, т. е. имеет место следующая теорема.102]Уравнения класса Фукса439Т е о р е м а II. Для того чтобы точка z = z0 была регулярнойособой точкой, достаточно, чтобы коэффициент p(z) в уравнении(1) имел точку z0 полюсом не выше первого порядка, а коэффициент q(z) — полюсом не выше второго порядка.Необходимость этого условия была нами установлена выше.Заметим, что иногда может случиться, что в регулярной особой точке оба решения не имеют никаких особенностей. Это будеттогда, когда ρ1 и ρ2 суть целые не отрицательные числа, причемвторое решение не содержит логарифма.
Так, например, уравнение22w − w + 2 w = 0zzимеет следующие два линейно независимых решения:w1 = z,w2 = z 2 .Заметим еще, что если ρ1 = ρ2 , то постоянная γ−1 в формуле (52) наверно отлична от нуля, что следует непосредственно изпредыдущих вычислений при m = 0.102. Уравнения класса Фукса. Исследование регулярныхособых точек было впервые систематически проведено в серединеXIX века немецким математиком Фуксом. Мы займемся сейчасуравнениями, все особые точки которых суть регулярные особыеточки. Такие уравнения называются обычно уравнениями классаФукса.
Напишем наше уравнение в видеw + p(z)w + q(z)w = 0.(53)Совершая замену независимой переменнойz=1,tполучим, как мы видели выше, уравнение 2dw114d w32+qw = 0.+ 2t − t pt2dttdtt(531 )440Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[102По условию точка t = 0 должна быть регулярной особой точкойэтого уравнения. Принимая во внимание, что после деления на t4коэффициент при dw/dt не может иметь в точке t = 0 полюс вышепервого порядка, мы должны иметь для p(1/t) разложение вида 1p= d1 t + d2 t2 + . .
. ,tт. е. p(z) вблизи z = ∞ должно иметь разложение вида11+ d2 2 + . . .(54)zzТочно так же, принимая во внимание, что коэффициент1/t4 q(1/t) может иметь в точке t = 0 полюс не выше второго порядка, получим 1q= d2 t2 + d3 t3 + . . . ,tp(z) = d1и, следовательно, q(z) должно иметь вблизи z = ∞ разложениевида11q(z) = d2 2 + d3 3 + . . . ,(55)zzт. е. для того чтобы бесконечно далекая точка z = ∞ была регулярной особой точкой уравнения (53), необходимо и достаточно, чтобыp(z) имела в точке z = ∞ корень, и q(z) — корень не ниже второгопорядка.
Заметим, что если в разложении (54) d1 = 2 и в разложении (55) d2 = d3 = 0, то точка t = 0 не является особой точкойуравнения (531 ). В этом случае в окрестности z = ∞ уравнениеимеет решениеc2c1cn+ 2 + ... + n + ...,w = c0 +zzzгде коэффициенты c0 и c1 — произвольны.Пусть α1 , . . . , αn — особые точки нашего уравнения, лежащиена конечном расстоянии. Функция p(z) может иметь в этих точкахполюсы первого порядка и в силу (54) должна обращаться в нульна бесконечности, т.
е. это будет рациональная дробь видаp(z) =p1 (z),(z − α1 ) . . . (z − αn )102]Уравнения класса Фукса441где степень числителя по крайней мере на одну единицу ниже степени знаменателя. Точно так же, принимая во внимание (55), видим,что q(z) должно иметь видq(z) =q1 (z),(z − α1 )2 . . .
(z − αn )2где степень числителя по крайней мере на две единицы ниже степени знаменателя. Разлагая рациональные дроби на простейшие, будем иметь следующие общие выражения для коэффициентов уравнений класса Фукса:⎫Ak⎪⎪p(z) =,⎪⎪⎬z − αkk=1n⎪BkCk⎪⎪.⎪+q(z) =2(z1 − αk )z − αk ⎭n(56)k=1В силу (55) мы должны иметьzq(z) → 0при z → ∞,и второе из выражений (56) показывает, что постоянные Ck должныудовлетворять условиюC1 + C2 + .
. . + Cn = 0.(57)Выражения (56) совместно с условием (57) и дают необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение (53) было уравнением класса Фукса.Составим теперь определяющие уравнения для особых точекz = αk и для точки z = ∞. Для точки αk коэффициент при(z −αk )−1 в выражении p(z) равен Ak и коэффициент при (z −αk )−2в выражении q(z) равен Bk , так что определяющее уравнение в этойточке будетρ(ρ − 1) + Ak ρ + Bk = 0(k = 1, 2, . . . , n).(58)Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения442[102Перейдем теперь к точке z = ∞, т.
е. к точке t = 0 для уравнения(531 ). Коэффициент при t−1 в выражении 11322t − t p4ttопределится, очевидно, следующим образом: 11322t − t plimt→0 t3tилиlim z 3z→∞21−p(z)= 2 − lim zp (z).z→∞z3z2Принимая во внимание первое из уравнений (56), получим дляэтого коэффициента следующее выражение:2−nAk .k=1Точно так же коэффициент при t−2 в выражении 11q4ttбудет 11lim q= lim z 2 q(z).z→∞t→0 t2tНо в силу (56) и (57)q(z) =nk=1 1 CkBk+=2(z − αk )z 1 − αzknk=1=nk=1Bk+(z − αk )2откудаlim z 2 q(z) =z→∞nk=1nk=1αk Ckα2k Ck++ .
. .),z2z3(Bk + αk Ck ).102]Уравнения класса Фукса443Окончательно для z = ∞ определяющее уравнение будет nnAk +(Bk + αk Ck ) = 0.ρ(ρ − 1) + ρ 2 −k=1(59)k=1Принимая во внимание (58) и (59), нетрудно проверить, что сумма корней определяющих уравнений во всех особых точках будетравнаnnn−Ak +Ak − 1 = n − 1,k=1k=1т. е. эта сумма будет равна числу особых точек, лежащих на конечном расстоянии, уменьшенному на единицу.Если бы мы захотели построить уравнение класса Фукса с однойособой точкой, то всегда можем считать, что эта точка находитсяна бесконечности, так что на конечном расстоянии вовсе нет особых точек. В формулах (56) мы должны будем положить все коэффициенты Ak , Bk и Ck равными нулю, и получим таким образомнеинтересное уравнение w = 0.Рассмотрим теперь уравнение класса Фукса с двумя особымиточками, одну из которых можно всегда считать находящейся набесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
