1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 68
Текст из файла (страница 68)
⎪⎪⎭417(8)z0При каждом из интегрирований под знаком интеграла будутстоять регулярные функции от z, и для каждого из интегралов величина интеграла не будет зависеть от пути внутри круга K. Пусть,далее, m — положительное число, определяемое неравенствами|α| m, |β| m.(9)Для простоты письма будем считать в дальнейшем z0 = 0 ибудем производить интегрирование от 0 до z по прямой линии. Приэтомz = ρeiϕ , dz = eiϕ dρ (0 ρ R1 ).(10)Первая из формул (8) при n = 0 дает намρu1 (z) − α =[a(z)α + b(z)β]eiϕ dρ.0Заменяя под интегралом все члены их модулями и пользуясь (6)и (7), получим неравенство|u1 (z) − u0 (z)| 2M mρ(111 )|v1 (z) − v0 (z)| 2M mρ.(112 )и совершенно так жеПервое из уравнений (8) при n = 1 будетzu2 (z) = α +[a(z)u1 + b(z)v1 ]dz,0Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения418[98и, вычитая из него первое из уравнений (8) при n = 0, получимzu2 (z) − u1 (z) =[a(z)(u1 − u0 ) + b(z)(v1 − v0 )]dz.0Заменяя опять под интегралом все количества их модулями ипользуясь неравенствами (111 ) и (112 ), будем иметь2ρ|u2 (z) − u1 (z)| (2M ) mρdρ0или|u2 (z) − u1 (z)| m(2M ρ)2,2!и совершенно так же(2M ρ)2.2!Продолжая таким же образом и дальше, получим следующиеоценки:|v2 (z) − v1 (z)| m(2M ρ)n+1,(n + 1)!(2M ρ)n+1|vn+1 (z) − vn (z)| m.(n + 1)!|un+1 (z) − un (z)| mОтсюда непосредственно вытекает, что члены рядаu0 + [u1 (z) − u0 ] + [u2 (z) − u1 (z)] + . .
.(12)в круге |z − z0 | < R1 по модулю меньше положительных чиселm(2M ρ)n+1,(n + 1)!которые образуют сходящийся ряд, т. е. ряд (12) сходится абсолютно и равномерно в круге |z − z0 | < R1 . Сумма первых (n + 1)98]Разложение решения в степенной ряд419членов этого ряда есть как раз un (z), и, следовательно, un (z) вкруге |z − z0 | < R1 стремится равномерно к некоторой функцииu(z). Точно так же vn (z) будет равномерно стремиться к некоторой функции v(z).
Согласно теореме Вейерштрасса о равномерносходящихся рядах эти предельные функции также будут регулярными функциями внутри круга K. Обратимся теперь к формулам(8). В первой из этих формул подынтегральное выражение стремится равномерно к предельной функцииa(z)u + b(z)v.Но, как известно [I, 146], возможность почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда есть то же самое, что возможность переходить к пределу под знаком интеграла для равномерносходящейся последовательности функций, и, таким образом, переходя к пределу в уравнениях (8), мы увидим, что предельные функции u и v должны удовлетворять уравнениям (5).
Полагая в этихуравнениях z = z0 , мы видим, что наши функции удовлетворяютначальным условиям (4), а дифференцируя уравнения (5), увидим,что они дают решение системы (3).Возвратимся теперь к уравнению (1), которое, как мы видели,является частным случаем системы (3). Мы показали, что в любомкруге с центром z0 , находящемся внутри круга |z − z0 | < R, существует решение уравнения, удовлетворяющее условиям (2) прилюбых c0 и c1 . Функции p(z) и q(z) разлагаются внутри круга|z − z0 | < R в степенные рядыp(z) = a0 + a1 (z − z0 ) + . .
. ,q(z) = b0 + b1 (z − z0 ) + . . .Найденное решение также есть регулярная функция, а потомутакже должна разлагаться в степенной ряд, причем в силу (2) первые два коэффициента разложения должны равняться c0 и c1 :w = c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + . .
.(13)Подставляя этот ряд в уравнение (1), мы должны будем приравнять нулю коэффициенты при различных степенях z, и этоГл. V. Линейные дифференциальные уравнения420[98приведет нас, как мы это уже видели [II, 45], к уравнениям вида2 · 1c2 + a0 c1 + b0 c0 = 0,3 · 2c3 + 2a0 c2 + a1 c1 + b0 c1 + b1 c0 = 0,......................................,из которых последовательно определятся коэффициенты ck . Этопоказывает нам прежде всего, что искомое решение может бытьтолько одно. Кроме того, из предыдущего доказательства вытекает, что оно существует, т. е. что при подстановке найденных коэффициентов в ряд (13) этот ряд будет сходящимся во всяком круге,находящемся внутри круга |z −z0 | < R, т.
е., проще говоря, он будетсходиться внутри круга |z − z0 | < R. Мы получаем, таким образом,следующую основную теорему:Т е о р е м а I. Если коэффициенты уравнения (1) — регулярныефункции в круге |z − z0 | < R, то в этом круге существуетединственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2) при любых заданных c0 и c1 .Придавая c0 и c1 определенные числовые значения, мы можемпостроить два решения w1 и w2 , удовлетворяющих начальным условиям:w1 |z=z0 = α1 ,w1 |z=z0 = β1 ,w2 |z=z0 = α2 ,w2 |z=z0 = β2 .Еслиα1 β2 − α2 β1 = 0,(14)то всякое решение, регулярное в круге |z − z0 | < R, будет выражаться через w1 и w2 в видеw = A1 w1 + A2 w2 .(15)Действительно, если это решение w имеет начальные условия(2), то для постоянных A1 и A2 мы будем иметь систему уравненийвидаA1 α1 + A2 α2 = c0 , A1 β1 + A2 β2 = c1 ,99]Аналитическое продолжение решения421и эта система в силу (14) дает определенные значения для A1 и A2 .Решения w1 и w2 , построенные выше, будут линейно независимымирешениями уравнения (1) [II, 24].З а м е ч а н и е.
Применение метода последовательных приближений к системе (3) привело нас для функции u к бесконечномуряду (12). Этот ряд не будет, конечно, степенным рядом, но егоравномерная сходимость в круге |z − z0 | < R1 гарантировала намсуществование регулярного решения в этом круге, представимогостепенным рядом. Мы можем построить функции un (z) и ряд (12)в любой области, где коэффициенты системы (3) суть регулярныефункции, и можно показать рассуждениями, аналогичными предыдущим, что во всякой такой области ряд (12) и аналогичный ряддля v будут равномерно сходиться и будут давать решение системы.Вид этих рядов в некоторых случаях мы выясним в дальнейшем.99. Аналитическое продолжение решения. Положим теперь, что коэффициенты p(z) и q(z) уравнения (1) суть регулярные функции в некоторой области B плоскости комплексного переменного z. Возьмем некоторое решение этого уравнения, котороеудовлетворяет определенным начальным условиям (2) в некоторойточке z0 , находящейся внутри B.
Такое решение, согласно предыдущему, будет изображаться степенным рядом, сходящимся в круге,с центром z0 , который находится целиком в области B (а можетбыть, и в более широком круге). Это будет некоторый ряд вида(13). Возьмем теперь внутри круга сходимости этого ряда некоторую точку z1 и перестроим наш ряд по степеням (z − z1 ), как этомы делали при аналитическом продолжении функции. Мы получимновый ряд∞dk (z − z1 )k .(16)k=0Его сумма будет совпадать с w в общей части кругов сходимости рядов (13) и (16). Следовательно, в этой общей части суммаf (z) ряда (16) будет являться решением уравнения (1), т.
е., иначе говоря, при подстановке w = f (z) в левую часть уравнения (1)эта левая часть будет равна нулю в некоторой части круга сходимости ряда (16). Но тогда, в силу основного принципа аналитического422Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[99продолжения, она будет равна нулю и во всей той части этого круга, которая принадлежит B; ряд (16) будет также давать решениенашего уравнения.
Это решение будет вполне определяться своиминачальными условиями в точке z1 , которые, очевидно, будутf (z1 ) = w|z=z1 ,f (z1 ) = w |z=z1 ,где w определяется исходным рядом (13).В силу доказанной в предыдущем номере теоремы, ряд (16) будет наверно сходиться в круге, имеющем центр в точке z1 и принадлежащем той области B, где p(z) и q(z) — регулярные функции.Мы приходим, таким образом, к следующей теореме.Т е о р е м а II. Если коэффициенты p(z) и q(z) суть регулярные функции в некоторой области B, то любое решение уравнения, изображаемое степенным рядом с центром внутри B, может быть аналитически продолжено по любому пути, находящемуся внутри B, и такое аналитическое продолжение дает всевремя решение уравнения (1).Сделаем некоторые существенные добавления к доказанной теореме.
Заметим, что если B есть односвязная область, то согласно основному свойству аналитического продолжения [18] w будетпредставлять собою однозначную регулярную функцию в областиB, которая по доказанному будет решением уравнения (1). Еслиже B будет многосвязной областью, то w не будет, вообще говоря,однозначной функцией в области B.Если w1 и w2 — два решения уравнения (1), то мы имеем следующую формулу [II, 24]:ddzw2w1zC − p(z)dz= 2 e z0,w1(17)где C — некоторая постоянная. Если она отлична от нуля, то леваячасть будет отличной от нуля все время при аналитическом продолжении, т.
е. аналитическое продолжение линейно независимыхрешений все время дает линейно независимые решения, и формула(15) дает тем самым аналитическое продолжение любого решениячерез аналитическое продолжение двух линейно независимых решений.100]Окрестность особой точки423Если, например, коэффициенты p(z) и q(z) суть рациональныефункции, то всякое решение уравнения может быть аналитическипродолжено по любому пути на плоскости, не проходящему черезполюсы p(z) и q(z).100.
Окрестность особой точки. Исследуем теперь поведение решения в окрестности особой точки коэффициентов p(z) иq(z). Положим, что точка z = z0 является полюсом или существенно особой точкой для коэффициентов p(z) и q(z), так что эти коэффициенты представляются рядами Лорана в некотором кольце Kс центром z0 и внутренним радиусом, равным нулю:p(z) =+∞⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬ak (z − z0 )k ,k=−∞q(z) =+∞bk (z − z0 )kk=−∞⎪⎪⎪(0 < |z − z0 | < R).⎪⎪⎭(18)Всякое решение уравнения (1) может быть любым образом аналитически продолжено внутри кольца K, и при обходе точки z = z0решение w может приходить уже к новым значениям, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
