1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 69
Текст из файла (страница 69)
точкаz = z0 будет, вообще говоря, точкой разветвления для решения w.Выясним более подробно характер этой точки разветвления. Возьмем какие-нибудь два линейно независимых решения уравнения w1и w2 . Если в кольце проведем разрез от центра вдоль какого-нибудьрадиуса, то в полученной таким образом односвязной области наши решения w1 и w2 будут регулярными однозначными функциями,но на противоположных берегах разреза эти функции будут принимать различные значения. Иначе говоря, после обхода точки z = z0функции w1 и w2 превратятся в некоторые новые функции w1+ иw2+ . Эти новые функции также должны быть решениями уравнения, а следовательно, они должны выражаться линейно через w1 иw2 .
Таким образом, должны иметь место формулы видаw1+ = a11 w1 + a12 w2 ,w2+ = a21 w1 + a22 w2 ,(19)424Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[100где aik — некоторые постоянные. Иначе говоря, при обходе вокругособой точки линейно независимые решения испытывают некотороелинейное преобразование.
Нетрудно видеть, чтоa11 a22 − a12 a21 = 0.(20)Действительно, если бы мы имели a11 a22 − a12 a21 = 0, то решения w1+ и w2+ отличались бы лишь постоянным множителем и былибы линейно зависимыми, но этого не может быть, так как мы раньше видели, что аналитическое продолжение линейно независимыхрешений приводит также к линейно независимым решениям. Видлинейного преобразования (19) зависит, конечно, от выбора решений w1 и w2 .Постараемся построить такое решение, которое при обходе особой точки получает лишь некоторый постоянный множитель, т. е.для которого линейное преобразование имеет наиболее простой видw+ = λw.(21)Такое решение, если оно существует, должно быть линейнойкомбинацией решений w1 и w2 :w = b1 w1 + b2 w2 ,и нам надо найти коэффициенты b1 и b2 .
В силу (21) мы должныиметьb1 w1+ + b2 w2+ = λ(b1 w1 + b2 w2 ),откуда в силу (19) получаемb1 (a11 w1 + a12 w2 ) + b2 (a21 w1 + a22 w2 ) = λ(b1 w1 + b2 w2 ).Сравнивая коэффициенты при линейно независимых решениях,получим систему однородных уравнений для b1 и b2 :(a11 − λ)b1 + a21 b2 = 0,a12 b1 + (a22 − λ)b2 = 0.(22)100]Окрестность особой точки425Для того чтобы получить для b1 и b2 решение, отличное от нулевого, мы должны приравнять нулю определитель написанной системы:a11 − λa21 = 0.(23) a12a22 − λЭто есть квадратное уравнение для λ. Взяв некоторый кореньλ = λ1 этого уравнения и подставляя его значение в коэффициенты системы (22), мы сможем найти для b1 и b2 решение, отличноеот нулевого.
Таким образом, корни уравнения (23) дают возможные значения множителя λ в формуле (21), т. е. эти корни равны числам, обладающим тем свойством, что существует решениеуравнения (1), которое в результате обхода особой точки z0 в положительном направлении умножается на упомянутое число. Есливозьмем за исходные другие линейно независимые решения, то линейное преобразование (19) будет уже другим, но корни уравнения(23) должны остаться прежними, так как эти корни имеют вполнеопределенный указанный выше смысл, не связанный с выбором основных решений.Приведем чисто алгебраическое доказательство сказанного. Если вместо w1 и w2 мы рассмотрим другие линейно независимыерешения:w$1 = c11 w1 + c12 w2 ,w$2 = c21 w1 + c22 w2 ,где определитель матрицы ||cik || должен быть отличен от нуля, товместо (19) получимw$1+ = d11 w$1 + d12 w$2 ,w$2+ = d21 w$1 + d22 w$2 ,где матрица ||dik || подобна ||aik || [III1 , 27]:||dik || = ||cik || · ||aik || · ||cik ||−1 ,а подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.426Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения[100Разберем сначала тот случай, когда квадратное уравнение имеетдва различных корняλ = λ1и λ = λ2 .Мы имеем при этом два решения, удовлетворяющих условиямw1+ = λ1 w1 ,w2+ = λ2 w2 .(24)Эти два решения будут обязательно линейно независимы. Дей2ствительно, в противном случае отношение ww1 было бы постояннойвеличиной и не менялось бы при обходе особой точки, а в силу (24)это отношение приобретает множитель λλ21 при обходе особой точки. Заметим еще, что в силу (20) числа λ1 и λ2 наверно отличныот нуля.Введем два числаρ1 =1ln λ1 ,2πiρ2 =1ln λ2 ,2πi(25)где значения логарифмов берутся произвольными.
Составим двефункции:(z − z0 )ρ1 = eρ1 ln(z−z0 ) ,(z − z0 )ρ2 = eρ2 ln(z−z0 ) .При обходе особой точки они приобретают множителиeρ1 2πi = eln λ1 = λ1 ,eρ2 2πi = eln λ2 = λ2 .Таким образом, отношенияw1(z − z0 )ρ1иw2(z − z0 )ρ2при обходе особой точки будут оставаться однозначными, т. е.эти отношения будут регулярными и однозначными функциями вокрестности точки z = z0 , и, следовательно, в этой окрестности онибудут представляться рядами Лорана.
Таким образом, для построенных решений мы имеем следующие представления в окрестности100]Окрестность особой точкиособой точки:w1 = (z − z0 )ρ1+∞ck (z⎫⎪⎪− z0 ) , ⎪⎪⎪⎬ck (z⎪⎪⎪− z0 ) .⎪⎪⎭k=−∞w2 = (z − z0 )ρ2+∞427k=−∞k(26)kЗаметим, что ln λ определен лишь с точностью до слагаемоговида 2mπi, где m — любое целое число. Таким образом, в силу (25)числа ρ1 и ρ2 определены с точностью до слагаемых, которые должны быть целыми числами. Это вполне согласуется и с формулами(26), ибо, умножая ряд Лорана на (z − z0 )m , где m — любое целое число, мы получаем опять некоторый ряд Лорана, и, такимобразом, показатели ρ1 и ρ2 в формулах (26) определены лишь сточностью до целого слагаемого.Рассмотрим теперь тот случай, когда корни уравнения (23) одинаковы, т.
е. когда λ1 = λ2 . Мы можем при этом построить, как ивыше, одно решение уравнения, удовлетворяющее условиюw1+ = λ1 w1 .(27)Возьмем какое-нибудь второе решение w2 , линейно независимоеот w1 . При обходе особой точки оно испытывает линейное преобразование видаw2+ = a21 w1 + a22 w2 .(28)Квадратное уравнение (23) для построенных решений будетλ1 − λa21 = 0. 0a22 − λОно по условию должно иметь двойной корень λ = λ1 , откуда непосредственно следует, что a22 = λ1 , т. е.
что формула (28)должна иметь видw2+ = λ1 w2 + a21 w1 .(29)2В силу (27) и (29) отношение ww1 при обходе особой точки приобретает лишь постоянное слагаемое +w2w2a21=+,w1w1λ1428Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[100и, следовательно, разностьw2a21w2−ln(z − z0 ) =− a ln(z − z0 )w12πiλ1w1при обходе особой точки будет однозначной и будет изображатьсярядом Лорана. Таким образом, принимая во внимание, что w1 имеет вид (26) и что произведение ряда Лорана на w1 имеет тот жевид, что и w1 , мы видим, что в данном случае наши решения будутиметь вблизи особой точки представление вида⎫+∞⎪⎪ρ1k⎪w1 = (z − z0 )ck (z − z0 ) ,⎪⎪⎬k=−∞.(30)+∞⎪⎪⎪ρ1kw2 = (z − z0 )ck (z − z0 ) + aw1 ln(z − z0 ).⎪⎪⎭k=−∞Мы получаем, таким образом, следующую теорему.Т е о р е м а III.
Если z = z0 есть полюс или существенно особая точка для коэффициентов p(z) и q(z), то существуют двалинейно независимых решения, которые вблизи этой точки представляются в виде (26) или (30). Заметим, что во втором случае,когда корни уравнения (23) одинаковы, может все же оказаться,что постоянная a21 и связанная с ней постояннаяa21a=2πiλ1будут равны нулю, и тогда будем иметь вблизи этой точки формулы(26).Все предыдущее относилось к тому случаю, когда точка z0 находится на конечном расстоянии.
Для исследования бесконечно далекой точки плоскости мы должны вместо z ввести новую независимую переменную t по формуле11, t= .tzЗаменяя дифференцирование по z дифференцированием по t,будем иметьz=dd= −t2 ;dzdt2dd24 d=t+ 2t3 ,dz 2dt2dt100]Окрестность особой точки429и уравнение (l) с новой независимой переменной будет иметь вид 2dw114d w32+qw = 0.(31)t+ 2t − t pdt2tdttДля этого нового уравнения прежняя бесконечно далекая точкапревратится в точку t = 0, и мы должны будем исследовать попредыдущей схеме окрестность этой точки.Заметим, что все предыдущие рассуждения носили чисто теоретический характер.
На самом деле они не дают никакого практического способа построения квадратного уравнения (23) и нахождения коэффициентов в разложениях (26) и (30). Мы переходимсейчас к исследованию этого практического вопроса нахождениячисел ρ и коэффициентов разложения в формулах (26) или (30).Мы можем это сделать только в одном случае, а именно тогда, когда разложения в этих формулах содержат лишь конечное числочленов с отрицательными степенями.В этом случае особая точка z = z0 называется регулярной особойточкой, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
