1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Ни один из этих фактов не мог бы иметьместа, если бы матрица X0 не была особой.Покажем справедливость высказанного утверждения. Приλ1 = λ2 корни λ1 = λ1 (X) и λ2 = λ2 (X) являются голоморфными функциями матрицы X. Поэтому формула (70) может служить для аналитического продолжения f (X) вдоль любого пути,для которого λ1 = λ2 . Предположим, что возможно аналитическое продолжение f (X) в окрестность матрицы X0 = X(t0 ).
Пустьf (λ1 ) → f1 (λ0 ) и f (λ2 ) → f2 (λ0 ) при t → t0 и предельные значения различны: f1 (λ0 ) = f2 (λ0 ). Если у матрицы X0 отличен от нуляодин из элементов, не лежащий на главной диагонали, то при t → t0соответствующий элемент матрицы f [X(t)] беспредельно возрастает. Пусть либо предельные значения одинаковы: f1 (λ0 ) = f2 (λ0 ),либо X(t0 ) — диагональная матрица. В любой малой окрестностиδ матрицы X(t0 ) найдется недиагональная матрица X , имеющаядвукратное собственное значение λ0 такое, что f1 (λ0 ) = f2 (λ0 ).
Тогда при X → X вдоль пути, для которого λ1 = λ2 , будет, как показано выше, беспредельно возрастать хотя бы один из элементовматрицы f (X). В обоих случаях получается противоречие с существованием регулярного матричного элемента f (X) в окрестностиматрицы X0 .Если бы предельная точка λ0 = λ(t0 ) для λ1 (t) и λ2 (t) находилась на одном и том же листе R и в этой точке f (z) была бырегулярной функцией, то формула (70) в пределе дала бы f (X0 ) =(X0 − λ0 )f (λ0 ) + f (λ0 )I.Аналогично рассматривается и случай матриц любого порядка.Если при m > 1 в формуле Коши значения функции f (z) в разныхобластях Bj не являются ветвями одной аналитической функции,то для предельной точки λ(t0 ) совпадение функциональных элементов заведомо невозможно.
В этом случае матрица X(t0 ) являетсяособой.Рассмотрим в качестве примера задание f (X) формулой (70)при m = 2, когда X — матрица второго порядка, B1 — круг |z| < 1/3398Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[93и B2 — круг |z−1| < 1/3. Пусть в первом из них f (z) ≡ 2 и во второмf (z) ≡ 3. При этом, если λ1 находится внутри B1 и λ2 — внутри B2 ,то согласно (70)f (X) = 3X − λ1 IX − λ2 I+2.λ2 − λ1λ1 − λ2(71)Аналитическое продолжение возможно и определяется формулой (71), пока круги, в которых должны находиться λ1 и λ2 , неимеют общей части. В данном случае R состоит из двух изолированных плоскостей.
Поэтому любая матрица X, для которой λ1 = λ2 ,является особой матрицей для рассматриваемой функции.То же самое получится и в общем случае, когда значение f (z) вB1 не получается никаким аналитическим продолжением функцииf (z) из B2 . Для функций этого типа любая матрица с кратнымисобственными значениями, расположенными на разных римановыхповерхностях, является особой.Рассмотрим еще один пример. Пусть f (z) — многозначная аналитическая функция, определенная на некоторой римановой поверхности R, и начальный элемент определен степенным рядом илиформулой Коши, а аналитическое продолжение таково, что вдольнего собственные значения λk различны, и при t → t0 все они стремятся к λ0 , причем λk (t) и λ0 — точки регулярности f (z).
Пустьматричная кривая X(t) представима в видеX(t) = S[λ1 (t), . . . , λn (t)]S −1 ,причем S — фиксированная матрица, не зависящая от t. Мы имеем(букву t не пишем)f (X) = S[f1 (λ1 ), . . . , fn (λn )]S −1 ,где fk (λk ) — соответствующие ветви многозначной функции f (z).Предельная матрица X0 = λ0 I не зависит от S. Но если средичисел μk = fk (λ0 ) будут различные, то предельные значения f (X0 )функции f (X) при t → t0 будут зависеть от S:f (X0 ) = S[μ1 , . .
. , μn ]S −1 ,94]Логарифм матриц399и мы можем получить бесчисленное множество (континуум) предельных значений f (X0 ). Таким образом, X0 = λ0 I является приуказанном аналитическом продолжении особой матрицей. Этотпример иллюстрирует сформулированное выше утверждение о том,что матрицы X0 с кратными собственными значениями являютсяособыми точками матричной функции f (X), получаемой аналитическим продолжением, при котором некоторые из совпавших собственных значений оказываются на разных листах римановой поверхности функции f (z).
Подчеркнем, что этот вывод существенноиспользует тот факт, что при аналитическом продолжении функция f (X) должна быть определена на множестве всех матриц фиксированного порядка n в окрестности линии продолжения в вещественном пространстве E2n2 . Он теряет силу для функций, определенных на некотором подмножестве матриц, например на некотором подпространстве. Например, для подпространства диагональных матрицX = [λ1 , . .
. , λn ]особыми точками функцииf (X) = [f (λ1 ), . . . , f (λn )]будут лишь те матрицы X, для которых хотя бы один из диагональных элементов является особой точкой функции f (z).94. Логарифм матриц. Выше мы определили путем обращения матрицы eY = X степенной ряд для логарифма матрицы [88]Y = ln X =(X − I)2(X − I)3X −I−+− ....123(72)Он будет сходящимся, если все собственные значения X находятся вкруге |z−1| < 1 и значения ln z в этом круге определяются условиемln 1 = 0.
Сумма ряда Y удовлетворяет уравнениюeY = X.(73)Для любой матрицы X видаX = S[λ1 , . . . , λn ]S −1 ,(74)400Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[94где λk = 0 (k = 1, . . . , n), уравнение (73) имеет решениеY = ln X = S[ln λ1 , . . .
, ln λn ]S −1 ,(75)где для ln λk можно брать любое значение. Действительно,eS[ln λ1 , ..., ln λn ]S−1= S[eln λ1 , . . . , eln λn ]S −1 = S[λ1 , . . . , λn ]S −1 = X.В частности, для матрицы X = I имеемln I = S[2πp1 i, . . . , 2πpn i]S −1 ,где pk — целые числа и S — любая неособая матрица. Если средичисел pk есть различные, то написанная формула дает бесчисленноемножество значений ln I. Если все pk одинаковы, то правая частьпринимает вид [2πpi, .
. . , 2πpi] = 2pπiI, где p — общее значение pk .Рассмотрим теперь вопрос об определении регулярной функцииY = ln X, притом для матриц, не обязательно представимых в виде (74). Пусть λk (k = 1, 2, . . . , q) — все различные собственныезначения X. Проведем на плоскости z бесконечный разрез из точкиz = 0, не пересекающий точек z = λk . На плоскости с указаннымразрезом ln z есть однозначная регулярная функция. Введем длякраткости следующее обозначение для различных значений ln z:(ln z)m = ln |z| + i(arg z + 2mπi) (m = 0, ±1, ±2, . . .).Пусть Bk — замкнутые круги на плоскости с разрезом, не имеющиеобщих точек с ним и такие, что внутри Bk находится точка λk .
Сопоставим каждому кругу Bk целое число mk и определим функцию1 2πi j=1mY = ln X =(zI − X)−1 (ln z)mj dz,(76)ljгде lj — граница Bj . Эта функция является регулярной функцией, т. е. элементы Y — регулярные функции элементов X, еслисобственные значения λk находятся внутри Bj . Кроме того, посвойству 4◦ из [92] матрица удовлетворяет уравнению (73), ибоe(ln z)m = z при z ∈ Bj .95]Обращение целой функции от матрицы. .
.401Положим теперь, что матрицы X = X0 и Y = Y0 удовлетворяютуравнению (73), и рассмотрим задачу об определении в окрестностиматрицы X0 регулярной функции Y = ln X такой, что Y0 = ln X0 .Пусть αk (k = 1, . . . , m) — все различные собственные значения(0)Y0 , откуда следует, что среди λk = eαk находятся собственныезначения X0 . Предположим, чтоαk − αl = 2pπi (k = l),(77)где p — какое-либо целое число, отличное от нуля. При этом чис(0)ла λk различны и совокупность этих чисел дает все различныесобственные значения X0 . Выбирая целые числа mk так, чтобы выполнялись условия(0)(ln λk )mk = αk , (k = 1, .
. . , m)(78)и строя ln X по формуле (76), получим решение указанной вышезадачи.Отметим, что если условие (77) не выполнено, т. е. если хотя быдля одной из разностей имеет место формула αk −αl = 2pπi, где p —целое число, отличное от нуля, то число q различных собственныхзначений у матрицы X0 будет меньше чем m, и, следовательно,предыдущее построение провести не удастся. Легко показать, чтов этом случае задача построения регулярной функции Y = ln Xтакой, что Y0 = ln X0 , вообще не имеет решения.Отметим, что всякое значение ln X, определенное как решениеуравнения (73) и регулярное в окрестности матрицы X0 (включаяX = X0 ), может быть получено путем аналитического продолжения из любого начального аналитического элемента этой функции,например из ряда (72).95. Обращение целой функции от матрицы в случае матриц второго порядка.
Функция Y = ln X является решением уравнения (73). Аналогичным образом функция Y = X 1/m , где m > 0 — целое число, является обращением уравнения X = Y m . Исследуем общую задачу. Пусть F (w) — целаяфункция комплексного переменного w и w = f (z) — функция, определенная соотношением F [f (z)] = z. Для произвольной матрицы Y определена матричнаяфункция F (Y ). Рассмотрим матричное уравнениеF (Y ) = X(79)402Гл.
IV. Аналитические функции многих переменных. . .[95и поставим задачу об определении всех решений этого уравнения, не предполагая специально, что решения должны выражаться регулярной функцией X.В сводке результатов мы укажем, когда последнее обстоятельство будет иметьместо.
Все исследование проводится ниже лишь для матриц второго порядка.В соответствии с теорией элементарных делителей для заданной матрицыX возможны следующие формы:### λ10## S −1 ,X =S##0λ2 #### λ1(80)0## S −1 ,X =S##1λ1 #X = λ1 I,где S — неособая матрица. Для искомой матрицы Y надо рассматривать следующие случаи:### μ10## S −1 ,Y = S0 ##0μ2 # 0### μ10## S −1 , F (μ1 ) = 0,Y = S0 ##1μ1 # 0(81)### μ10#−1##S , F (μ1 ) = 0,Y = S0 #1μ1 # 0Y = μ1 I.Исследование этих случаев сравнительно просто, но довольно громоздко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
