1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 60
Текст из файла (страница 60)
положить в (9) z1 = 0, тополучим ряд∞z2q ,q=0для которого R2 = 1.В качестве второго примера рассмотрим рядz1 + z12 +∞∞ z1p z2q .p=3 q=3Как нетрудно видеть, условие сходимости выражается неравенствами |z1 | < 1 и |z2 | < 1, и сопряженные радиусы сходимости364Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[84R1 = R2 = 1 определяются каждый в отдельности.
Но при z2 = 0ряд сходится на всей плоскости z1 — он обращается в полиномz1 + z12 .Рассмотрим ряд (4). В силу равномерной сходимости и теоремы Вейерштрасса сумма ряда (4) внутри совместных круговсходимости представляет собою регулярную функцию f (z1 , z2 )двух переменных. Так же, как и в [13], ряд (4) можно дифференцировать по обеим переменным сколько угодно раз внутри кругов сходимости, и это дифференцирование не меняет кругов сходимости.Дифференцируя несколько раз и полагая затем z1 = b1 и z2 = b2 ,получим, как и в [14], для коэффициентов ряда следующие выражения:apq =1 ∂ p+q f (z1 , z2 ) ,p!q!∂z1p ∂z2qz1 =b1 ; z2 =b2(11)т.
е. ряд (4) представляет собою ряд Тэйлора для функции f (z1 , z2 ).Если R1 и R2 — совместные радиусы сходимости ряда (4), тоэтот ряд абсолютно и равномерно сходится при |z1 − b1 | R1 − εи |z2 − b2 | R2 − ε, где ε — любое малое фиксированное положительное число. При этом, согласно (3) и (11), мы будем иметь длякоэффициентов ряда оценку|apq | <M,(R1 − ε)p (R2 − ε)q(12)где M — некоторая положительная постоянная, значение которойочевидно, зависит от того, каким мы выбрали ε.Заменим в ряде (4) коэффициенты apq положительными числами, которые превосходят модули |apq |; при этом мы получим степенной ряд∞∞ Mpqp q (z1 − b1 ) (z2 − b2 )RR12p=0 q=0(R1 = R1 − ε; R2 = R2 − ε), (13)который называется обычно превосходящим, или мажорантным,84]Степенные ряды365для ряда (4).
Ряд (13), как нетрудно видеть, имеет сумму, равную1 − (z1 −M,1 − (z2 − b2 )/R2b1 )/R1(14)и эта последняя функция называется мажорантной функцией дляряда (4). Ее разложение в степенной ряд по степеням (z1 − b1 ) и(z2 − b2 ) имеет положительные коэффициенты, большие, чем модули коэффициентов apq .Нетрудно обобщить на случай двух переменных и результаты[14]. Пусть f (z1 , z2 ) — функция, регулярная в кругах |z1 − b1 | R1и |z2 − b2 | R2 , с центрами b1 и b2 , и пусть l1 и l2 — окружностиэтих кругов. Предполагая регулярность в замкнутых кругах и фиксируя две какие-нибудь точки z1 и z2 внутри упомянутых кругов,мы будем иметь формулу Коши1f (z1 , z2 )dz .f (z1 , z2 ) = − 2dz1(15)4π(z1 − z1 )(z2 − z2 ) 2l1l2Рассмотрим рациональную дробь(z11.− z1 )(z2 − z2 )Как и в [14], мы можем разложить ее по степеням разностей(z1 − b1 ) и (z2 − b2 ) в ряд∞∞ (z1 − b1 )p (z2 − b2 )q1=,(z1 − z1 )(z2 − z2 ) p=0 q=0 (z1 − b1 )p+1 (z2 − b2 )q+1равномерно сходящийся относительно z1 и z2 , если эти последниенаходятся на окружностях l1 и l2 .
Подставляя это выражение вформулу (15) и интегрируя почленно, мы и придем к представлению нашей функции f (z1 , z2 ) внутри упомянутых кругов в видестепенного рядаf (z1 , z2 ) =∞∞ p=0 q=0apq (z1 − b1 )p (z2 − b2 )q .(16)366Гл. IV. Аналитические функции многих переменных.
. .[84Коэффициенты этого ряда определяются по формуламf (z1 , z2 )1apq = − 2dz1dz =4π(z1 − b1 )p+1 (z2 − b2 )q+1 2l1l21 ∂ p+q f (z1 , z2 ) =. (17)p!q!∂z1p ∂z2qz1 =b1 ; z2 =b2Таким образом, всякая функция f (z1 , z2 ), регулярная внутридвух кругов, разлагается внутри этих кругов в степенной ряд.Нетрудно видеть, как и в [14], что это разложение единственно,ибо коэффициенты его определяются обязательно формулой (11).Мы можем в ряде (4) соединить в одну группу члены одинакового измерения относительно разностей (z1 − b1 ) и (z2 − b2 ), т.
е.написать ряд (4) в виде∞ apq (z1 − b1 )p (z2 − b2 )q ,(18)s=0 p+q=sгде внутренняя конечная сумма распространяется на те значения pи q, сумма которых равна s. Формула (18) дает нам внутри кругов сходимости представление функции f (z1 , z2 ) в виде суммыоднородных полиномов относительно (z1 − b1 ) и (z2 − b2 ). Положим теперь наоборот, что ряд (18), расположенный по однородным полиномам, будет равномерно сходиться в некоторых кругах|z1 − b1 | R1 и |z2 − b2 | R2 .
Согласно теореме Вейерштрасса, сумма этого ряда будет регулярной функцией f (z1 , z2 ) в этих кругах.Мы можем, кроме того, в данном случае дифференцироватьнаш ряд (18) сколько угодно раз по обеим переменным. Совершаяэто дифференцирование и полагая затем z1 = b1 и z2 = b2 , получим для коэффициентов apq формулы (11), т. е. эти коэффициенты будут коэффициентами ряда Тейлора для функции f (z1 , z2 ),и мы можем переписать ряд (18), расположенный по однороднымполиномам, в виде двойного ряда (4), причем этот ряд будет абсолютно и равномерно сходиться внутри упомянутых кругов. Такимобразом, мы можем утверждать, что из равномерной сходимостиряда, расположенного по однородным полиномам, внутри некоторых кругов, следует, что мы можем переписать этот ряд просто84]Степенные ряды367в виде двойного ряда, который будет обычным степенным рядом,абсолютно сходящимся внутри упомянутых кругов.Если отделить у z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 вещественную имнимую части, то в четырехмерном пространстве с координатами(x1 , y1 , x2 , y2 ) область равномерной сходимости ряда (18), расположенного по однородным полиномам, может быть более широкой,чем у ряда (4).В случае (9) ряд (18) будет иметь вид∞(z1 + z2 )s ,s=0и область его равномерной сходимости определяется неравенством|z1 + z2 | < 1,т.
е.(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 < 1.(19)Для ряда (9) мы должны иметь R1 + R2 = 1, что приводит в E4 кнеравенствуx21 + y12 + x22 + y22 + 2 x21 + y12 x22 + y22 < 1.(20)Нетрудно видеть, что неравенство (19) определяет в E4 более широкую область сходимости, чем (20), т.
е. из (20) следует (19), ноне наоборот. Мы не рассматриваем общего вопроса об области сходимости ряда (4) в E4 . Все сказанное выше легко переносится и наслучай степенных рядов от m комплексных переменных.Напомним, что если функция f (z) регулярна в некотором круге|z − a| < r, f (a) = 0 и f (z) ≡/ 0, то существует такое целое m > 0,что f (z) = (z −a)m f1 (z), где f1 (z) регулярна в круге |z −a| < r и отлична в нем от нуля.
Для случая многих комплексных переменныхимеется аналогичная теорема Вейерштрасса:Т е о р е м а. Если f (w, z) регулярна в бицилиндре {|w| < r1 ;|z| < r2 }, f (0, 0) = 0 и f (w, 0) ≡/ 0, то существует такое целоеm > 0, что в некотором бицилиндре A {|w| < r1 ; |z| < r2 }f (w, z) = [wm + A1 (z)wm−1 + . . . + Am (z)]f1 (w, z),368Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .
матриц [85где Ak (z) (k = 1, . . . , m) регулярны в круге |z| < r2 и f1 (w, z) — вкруговом бицилиндре A , причем Ak (0) = 0 и f1 (0, 0) = 0.85. Аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение функции f (z1 , z2 ), регулярной в некоторой области D пространства E4 , может совершаться при помощи цепи областей ивдоль кривой в упомянутом пространстве.
Мы кратко остановимсяна случае продолжения при помощи цепи круговых бицилиндров.Пусть функция f (z1 , z2 ) задана рядом (4) в некотором круговом бицилиндре D1 {|z1 − b1 | < r1 ; |z2 − b2 | < r2 }. Возьмем некоторую точку (c1 , c2 ) внутри этого бицилиндра. При помощи ряда (4)определяются частные производные f (z1 , z2 ) в точке (c1 , c2 ) и рядТейлора для f (z1 , z2 ) по степеням (z1 − c1 ) и (z2 − c2 ), сходящийсяв некотором бицилиндре D2 {|z − c1 | < r1 ; |z − c2 | < r2 }. Он может вE4 содержать точки, находящиеся вне D1 , и при этом в общей частиD1 и D2 значения f (z1 , z2 ) будут совпадать, а в точках D2 , находящихся вне D1 , мы получим аналитическое продолжение f (z1 , z2 ).Если брать последовательные центры бицилиндров на фиксированной «линии» z1 (t), z2 (t), где t — вещественный параметр, то получится определенное аналитическое продолжение первоначальногоэлемента (4) функции (z1 , z2 ). Задание z1 (t), z2 (t) равносильно, очевидно, заданию вещественных и мнимых частей z1 и z2 , как функций t, т.
е. заданию линии в четырехмерном вещественном пространстве E4 . Для случая функции одной комплексной переменнойэтот процесс указан в [18]. На плоскостях комплексных переменныхz1 и z2 задание z1 (t), z2 (t) определяет две линии l1 и l2 , выходящиеиз точек z1 = a1 , z2 = a2 , причем параметр t устанавливает биоднозначное соответствие между точками этих линий.
Выбирая центрыкругов на линиях lt [z1 (t), z2 (t)] при аналитическом продолжении,мы должны брать одинаковое значение t. Задание только линий l1и l2 на плоскостях z1 и z2 может не определять однозначного аналитического продолжения. При указанном аналитическом продолжении линия lt в E4 должна находиться внутри некоторой откры(k)той области D из E4 — внутри бицилиндров вида {|z1 − z1 | < rk ;(k)(k)|z2 − z2 | < rk }, где zi = zi (tk ) (i = 1, 2; k = 1, 2, . . .
, m).Эти бицилиндры и образуют D. Совершенно аналогично круги из[18] образуют открытую область плоскости комплексного перемен86]Функции матриц. Предварительные понятия369ного z, внутри которой содержится линия, вдоль которой совершается аналитическое продолжение.Мы на этом и ограничиваемся в изложении общей теории функций нескольких комплексных переменных. В настоящее время этачасть теории функций очень широко развилась. Более подробноеизложение можно найти в книгах: Владимиров В.
С. Методы теории функций многих комплексных переменных (1964); Фукс Б. А.Введение в теорию аналитических функций многих комплексныхпеременных (1962); Фукс Б. А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных (1963); Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ (1969).86. Функции матриц. Предварительные понятия. Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда аргументом функции является одна или несколько матриц, притом начнем со случая одной матрицы. Выше мы уже рассматривали [III1 , 44] наиболее простые случаи, а именно полином и рациональную функцию от однойматрицы. Прежде чем переходить к исследованию функций болеесложных, установим некоторые основные понятия.
В дальнейшемчерез n обозначается порядок матриц.Пусть имеется бесконечная последовательность матрицX1 , X2 , . . .(21)Будем говорить, что эта последовательность имеет пределомматрицу X, если при любых значениях значков l и klim {Xm }ik = {X}ik ,m→∞(22)т. е. элементы матриц Xm имеют своими пределами соответствующие элементы матрицы X. При этом мы будем всегда считать, чторассматриваемые матрицы имеют один и тот же порядок.Введем теперь некоторые новые обозначения, которые будутнам полезны в дальнейшем.
Будем обозначать символом ||a|| матрицу, все элементы которой равны числу a. Будем обозначать через|X| матрицу, элементы которой равны модулям элементов матрицыX, т. е.{|X|}ik = |{X}ik |.(23)370Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
