1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 57
Текст из файла (страница 57)
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [79Второй интеграл в равенстве (200) оценим и покажем, что он имеет порядокpO(e−Δ1 n ). Умножим и разделим подынтегральную функцию на e−n0 τ :∞pτ α+k−1 e−nτ dτ =t1∞ppτ α+k−1 e−n0 τ e−(n−n0 )τ dτ.t1pЕсли n > n0 , множитель e−(n−n0 )τ монотонно убывает при t → ∞. Выносяэтот множитель на нижнем пределе интегрирования и расширяя затем промежуток интегрирования, мы придем к следующей оценке:∞∞ppτ α+k−1 e−nτ dτ < e−(n−n0 )t1t1pτ α+k−1 e−n0 τ dτ <t1<ep−(n−n0 )t1∞τα+k−1 −n0 τ pe dτ =1 Γ((α + k)/p) −n0 tp −ntp11.eep n(α+k)/p00Поскольку множитель в круглых скобках не зависит от n, полученная оценкапоказывает, что действительно∞pτ α+k−1 e−nτ dτ = O (e−Δ1 n )(Δ1 > 0),t1где Δ1 = tp1 . Подставляя найденные выражения для интегралов в формулу(199), получаем асимптотическое представление для Kn (l0 ):N−1 1 Γ((α + k)/p)−Δ1 nbk+O(e)+ O (n−(N+α)/p ).Kn (l0 ) =(α+k)/ppnk=0Так как величины O (e−Δ1 n ) убывают быстрее любой отрицательной степениn, мы вправе объединить их со слагаемым O (n−(N+α)/p ):Kn (l0 ) =N−1k=0α+kp−1 n−(α+k)/p + O (n−(N+α)/p ).bk Γp(201)Наш исходный интеграл имеет видIn (l) = enf (z0 ) [Kn (l0 ) + Kn (l1 )],O (e−Δn ).(202)и мы показали, что Kn (l1 ) =Подставляя разложение (201) в формулу (202) и вновь объединяя величину O (e−Δn ) со слагаемым O (n−(N+α)/p ),мы получаем искомое асимптотическое разложение интеграла In (l): N−1α+knf (z0 )−1 −(α+k)/p−(N+α)/pp nbk Γ+ O (n) .In (l) = epk=079]Асимптотическое разложение интегралаПолученное разложение можно записать также в виде N−1α+kn−k/p + O (n−N/p ) .In (l) = p−1 n−α/p enf (z0 )bk Γpk=0345(203)Мы получили, таким образом, для интеграла In (l) асимптотическое разложение по дробным степеням n−1/p ; причем остаточный член убывает при n → ∞на n−1/p быстрее по сравнению с последним слагаемым суммы.Сохраняя в сумме (203) лишь слагаемое, соответствующее k = 0, мы получим для интеграла In (l) формулу первого приближения α −1 f (p) (z0 ) −α/p iαωj −α/p−1/p1+O(np en).In (l) = F (z0 )enf (z0 ) Γpp!До сих пор мы рассматривали простейший случай, когда контур интегрирования l в интегралах In (l) начинался в самой седловой точке z0 .
В приложенияхвстречаются интегралыIn (L) = (z − z0 )α−1 F (z)enf (z) dz,(204)Lраспространенные по контуру L, начало и конец которого расположены в отрицательных секторах функции f (z). При этом контур интегрирования может быть как конечным, так и бесконечным. Будем предполагать, что исходный контур интегрирования удается, не меняя величины интеграла, продеформировать так, чтобы он проходил через седловую точку и в некотором круге |z − z0 | R с центром в седловой точке совпадал с линиямиv(x, y) − v(x0 , y0 ) = 0 наибыстрейшего убывания функции enf (z) .
Будем считать при этом, что контур «входит» в седловую точку в отрицательном секторес m = 2j1 и «выходит» из седловой точки в отрицательном секторе с m = 2j2 .Кроме того, будем предполагать, как и выше, что в круге |z − z0 | Rфункции F (z) и f (z) разлагаются в ряды (188), вне этого круга на контуреинтегрирования выполняется неравенствоRe[f (z0 ) − f (z)] Δ > 0и при некотором n = n0 интеграл (204) абсолютно сходится.
Для полученияасимптотического разложения в этом случае, очевидно, интеграл In (L) следуетпредставить в виде разности двух интегралов. Пусть lj1 и lj2 — части контура, на которые он разбивается седловой точкой z0 . Пусть при этом контур lj1расположен в отрицательном секторе с номером m = 2j1 , и на контуре lj1 определено направление, противоположное направлению интегрирования вдоль L,контур lj2 расположен в отрицательном секторе с номером m = 2j2 , и на контуре lj2 определено направление, совпадающее с направлением интегрированиявдоль L. Введем интегралыIn (ljν ) =(z − z0 )α−1 F (z)enf (z) dz (ν = 1, 2).(205)ljν346Гл.
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [80ТогдаIn (L) = In (lj2 ) − In (lj1 ).(206)Для каждого из интегралов In (ljν ), очевидно, справедлива формула (203). Фазы коэффициентов bk в этой формуле зависят от принадлежности контура интегрирования тому или иному сектору. Поэтому впредь коэффициенты bk в(j )формуле (203) мы будем записывать в виде bk ν , указывая при помощи верхнего индекса, для какого сектора вычислен соответствующий коэффициент.Принимая во внимание последнее замечание, для интеграла (206) мы получаем, таким образом, следующее асимптотическое разложение: N−1 (j )α+k(j ) In (L) = enf (z0 ) p−1 n−α/pn−k/p + O (n−N/p ) .bk 2 − bk 1 Γpk=0(207)В первом приближении мы будем, очевидно, иметь α −1 f (p) (z0 ) −α/pIn (L) = F (z0 )enf (z0 ) Γp ×pp!i (2j2 +1)π α/p − ei (2j1 +1)πα/p−i arg f (p) (z0 )α/p e−1/p1 + O (n) .×enα/pРассмотрим случай простой точки перевала и будем считать α = 1.
В случаепростой точки перевала p = 2 и существуют только два отрицательных сектораj = 0 и j = 1. Пусть j2 = 0 и j1 = 1. Нетрудно установить при помощи формулы:(198), что при p = 2 и α = 1 выполняются равенства(1)(0)b2s = −b2sи(1)(0)b2s+1 = b2s+1 .Поэтому в формуле (207) остаются только четные слагаемые, и мы получаемразложение по целым отрицательным степеням n: N−1 (0) 1 + k nf (z0 ) − 1−s−Nn + O(nn 2b2s Γ) .(208)In (L) = e2s=0В первом приближении2πF (z0 )enf (z0 ) e−i/2In (L) = inarg f (2) (z0 )|f (2) (z0 )|−1/2 [1 + O(n−1 )].(209)80.
Примеры. 1◦ . В качестве примера применения формулы (209) получимформулу Стирлинга для гамма-функции Γ(n + 1). В интеграле Эйлера дляфункции Γ(z):∞Γ(n + 1) =tn e−t dt (Re n > 0),080]Примеры347перейдем к новой переменной t = nz:∞Γ(n + 1) = nn+1z n e−nz dz0или∞Γ(n + 1) = nn+1en(ln z−z) dz.(210)0Мы получили интеграл вида (204), в которомα = 1, F (z) ≡ 1иf (z) = ln z − z.Функция f (z) имеет седловую точку z0 = 1 и f (1) = −1.
Очевидно, f (z) вточке z0 = 1 достигает максимального значения, равного (–1), и монотонноубывает при удалении от точки максимума в обе стороны. Поскольку интеграл(210) сходится при всяком n, у которого Re n > −1, и вне интервала |z − 1| R < 1/2 выполняется неравенство−1 − ln z + z R − ln(1 + R) = Δ > 0,мы можем применить формулу (209).
Выполняя необходимые вычисления, получаем 2π n+1 −n1Γ(n + 1) =1+On.(211)enn2◦ . Рассмотрим интеграл видаF (z)enf (z) dz,(212)In,α (L) =z0 + α − zLгде z0 — седловая точка f (z) и α — числовой параметр. Функции F (z) и f (z) мыбудем по-прежнему считать регулярными в некотором круге |z − z0 | R. Прималых значениях |α| подынтегральная функция имеет полюс первого порядкаz = z0 + α вблизи седловой точки.При выводе асимптотической формулы для интеграла (204) использовался тот факт, что функция F (z) и ее производные ограничены в окрестностиседловой точки z = z0 . В рассматриваемом интеграле (212) подынтегральноевыражение стремится к бесконечности при α → 0 и z → z0 .
Мы выведем асимптотическую формулу для In,α при n → ∞, справедливую не только при фиксированном α = 0, но и при α → 0, причем остаточный член будет мал приn → ∞ равномерно по α.Мы рассмотрим ниже частный случай, когда f (z0 ) = 0, следовательно,p = 2, и ограничимся выводом только главного члена асимптотического разложения. Мы будем, далее, считать, что при α → 0 имеют место неравенства−11π3πarg f (z0 ) + + ε < arg α < − arg f (z0 ) +−ε2222−11ππarg f (z0 ) − + ε < arg α < − arg f (z0 ) + − ε,2222или(213)348Гл. III.
Применение теории вычетов, целые и дробные функции [80где arg f (z0 ) фиксирован определенным образом, как и в [78]. Из указанных неравенств следует, что полюс подынтегральной функции z1 = z0 + αне может приближаться к точке z0 по направлению, касательному к контуру скорейшего спуска, касательная к которому в точке z0 имеет направление−1/2 arg f (z0 ) ± π/2. Мы будем предполагать также, что на участках l и lконтура L, расположенных вне круга |z − z0 | R, выполняется неравенствоRe[f (z0 ) − f (z)] Δ > 0и что часть l0 контура L, принадлежащая этому кругу, совпадает с линиейv(x, y) − v(x0 , y0 ) = 0 наибыстрейшего убывания функции |enf (z) | и идет изотрицательного сектора с номером m = 2j1 = 2 в отрицательный сектор сномером m = 2j2 = 0.
Как и в предыдущем пункте можно показать, чтоIn (l ) = O(e−Δn )иIn (l ) = O(e−Δn ).(214)Поэтому главным участком контура интегрирования будет по-прежнему участок контура интегрирования l0 , проходящий через седловую точку. В интегралеF (z)en[f (z)−f (z0)] dzIn,α (l0 ) =(215)z0 + α − zl0перейдем к новой переменной τ , положив, как и в [79],1 f (z0 ) 2 i [arg f (z )−π]f (z0 )0 e2(z−z(z−z)1+)+....τ = 002 2 · 3f (z )0(216)При выбранной ветви квадратного корня интегрированию по контуру l0 будетсоответствовать интегрирование по отрезку [−t2 , t1 ] (t2 > 0) вещественной осиплоскости τ .
Обращая степенной ряд в равенстве (216), получимz(τ ) − z0 = a1 τ + a2 τ 2 + . . . ,где 1 f (z0 ) − 2 − i [arga1 = e 22 f (z0 )−π].В новой переменной интегрирования интеграл (215) запишется в видеt1In,α (l0 ) =−t2F [z(τ )]z (τ ) −nτ 2edτ.z0 + α − z(τ )(217)На плоскости комплексного переменного τ подынтегральная функция будетпри достаточно малых |α| иметь полюс первого порядка в точке f (z0 ) 1/2 i/2[arg f (z )−π]f (z0 )0 eα+....α1+τ0 = 2 2 · 3f (z0 )Выделяя полярность, представим множитель, стоящий при экспоненте в интеграле (217), в видеF (z0 + α)F [z(τ )]z (τ )=+ F1 (τ ),z0 + α − z(τ )−(τ − τ0 )(218)80]Примеры349где F1 (τ ) — регулярная функция τ в некоторой окрестности точки τ = 0.Асимптотическое разложение интегралаt1I=2F1 (τ )e−nτ dτ−t2строится прежним образом, и согласно формуле (209)πF1 (0)[1 + O(n−1 )].I=n(219)В интегралеt1I =−t22e−nτdττ0 − τ(220)заменим пределы интегрирования на −∞ и ∞.
Такое расширение промежуткаинтегрирования, очевидно, изменит интеграл на величину порядка O (e−Δ1 n ),где Δ1 = min (t1 , t2 ). Таким образом,I =∞−∞2e−nτdτ + O(e−Δ1 n ).τ0 − τПринимая во внимание также формулу (219), для исходного интеграла In,α (L)получаем∞ −nτ 2eπnf (z0 )−1In,α (L) = eF (z0 + α)dτ +F1 (0)[1 + O(n )] , (221)τ0 − τn−∞гдеF1 (0) =F (z0 + α)F (z0 )z (0)−.ατ0Интеграл∞w=−∞2e−nτdττ0 − τсводится√ к интегралу вероятностей от комплексного аргумента.
Положимτ = 1/ n x, тогда∞ −x2edx,(222)w = w(ζ) =ζ−x−∞√где ζ = n τ0 . Интеграл (222) протабулирован (В. Н. Фаддеева и Н. М. Терентьев, Таблицы значений интеграла вероятностей от комплексного аргумента,Гостехиздат, 1954).Пусть α → 0, тогда τ0 будет также стремиться к нулю. Покажем, что в этомслучае с точностью до слагаемых порядка O (n−1/2 ) величина ζ в интеграле350Гл.
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [80(222) может быть замененапервым членом разложения√α, т. е. величиной ζ0 = nτ0 (0)α.Оценим разность∞d=−∞2e−xdx −ζ0 − x∞−∞√nτ0 (α) по степеням2e−xdx.ζ−xОбъединяя интегралы, получим|d| ∞ −x2ζ − ζ0dx. (ζ − x)(ζ − x) e0−∞Мы имеем, далее,ζ − ζ0|ζ − ζ0 |1|α2 r(α)| (ζ − x)(ζ − x) |Im ζ | · |Im ζ| = √n · |Im τ (0)α| · |Im[τ (0)α + α2 r(α)]| ,0000где1 1τ (0) + τ0 (0)α + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
