1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 61
Текст из файла (страница 61)
.[87Если некоторая матрица Y имеет положительные элементы,бо́льшие, чем элементы матрицы |X|, то будем это записывать ввиде неравенства|X| < Y.Иначе говоря, это неравенство равносильно системе следующихn2 неравенств:|{X}ik | < {Y }ik(i, k = 1, 2, . . . , n).Рассмотрим бесконечный ряд, члены которого суть матрицыZ 1 + Z2 + . . .Он называется сходящимся, если сумма его первых n слагаемых(матрица) стремится к определенной предельной матрице Z.
Приэтом матрица Z называется суммой рядаZ = Z1 + Z 2 + . . .(24)Это равенство равносильно, очевидно, следующим n2 равенствам:{Z}ik = {Z1 }ik + {Z2 }ik + . . .(i, k = 1, 2, . . . , n).(25)Назовем окрестностью матрицы A все матрицы X, удовлетворяющие условию|X − A| < ||ρ||,(26)где ρ — заданное положительное число. Неравенство (26) равносильно следующим n2 неравенствам:|{X − A}ik | < ρ.Основную роль при определении функции от матриц будут играть для нас в дальнейшем степенные ряды от этих матриц, и мыпереходим сейчас к рассмотрению таких рядов.87.
Степенные ряды от одной матрицы. Степенной рядодной матрицы имеет видa0 I + a1 (X − αI) + a2 (X − αI)2 + . . . ,(27)87]Степенные ряды от одной матрицы371где ak и α — заданные числа, а I — единичная матрица. Для простоты письма будем считать в дальнейшем, что α = 0. Вместо ряда(27) будем иметь рядa 0 I + a1 X + a 2 X 2 + . . .(28)Согласно правилу умножения матриц имеем{X 2 }ik =n{X}is {X}sks=1и вообще{X m }ik ={X}ij1 {X}j1 j2 . . . {X}jm−2 jm−1 {X}jm−1 k ,j1 , j2 , ..., jm−1где суммирование производится по всем значкам jk независимо, от1 до n. Таким образом, элементы матрицы, которая представляетсясуммой ряда (28), будут выражаться рядамиa0 δik +∞m=1am{X}ij1 {X}j1 j2 . .
. {X}jm−1 k ,(29)j1 , j2 , ..., jm−1где через δik мы обозначили число1 , которое определяется формулой0 при i = k,δik =(30)1 при i = k.Последнее обстоятельство непосредственно вытекает из того,что свободный член ряда (28) есть a0 I, т. е. диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны a0 . Формула (29)показывает нам, что ряд (28) равносилен n2 обычным степеннымрядам особого вида относительно n2 переменных {X}ik . Заметим,что при m = 1 слагаемое суммы в формуле (29) имеет вид a1 {X}ik ,и внутренняя сумма исчезает.1 Такойсимвол обычно называют символом Кронекера.372Гл.
IV. Аналитические функции многих переменных. . .[87Остановимся теперь на вопросе сходимости ряда (28). Займемсясначала абсолютной сходимостью, т. е. наряду с рядом (28) будемрассматривать также ряд вида|a0 |I + |a1 ||X| + |a2 ||X|2 + . . .(31)или ему соответствующие n2 рядов|a0 |δik +∞m=1|am |{|X|}ij1 {|X|}j1 j2 . . . {|X|}jm−1 k .(32)j1 , j2 ..., jm−1Если эти ряды сходятся, то ряды (29) и подавно сходятся, т. е.сходимость ряда (31) обеспечивает и сходимость ряда (28), и в этомслучае ряд (28) мы назовем абсолютно сходящимся. Согласно определению матрицы |X| имеем{|X}|ik = |{X}ik |,т.
е. выражение (32) получается из (29) заменой всех чисел их модулями.Выясним теперь достаточное условие абсолютной сходимостиряда (28). Составим степенной ряд обычного комплексного переменногоa 0 + a 1 z + a2 z 2 + . . . ,(33)и пусть радиус сходимости этого ряда равен nρ, где n — порядокнаших матриц и ρ — некоторое положительное число. Как известно,для коэффициентов ряда (33) имеем следующую оценку [14]:|am | M,(nρ − ε)m(34)где ε — любое малое фиксированное положительное число и M —некоторое положительное число, зависящее от выбора ε. Возьмемтеперь матрицу ||b||, где b — некоторое число, и определим ее целыеположительные степени{||b||2 }ik = bb + bb + .
. . + bb = nb2 ,т. е. ||b||2 = ||nb2 ||87]Степенные ряды от одной матрицы373и вообще||b||m = ||nm−1 bm ||.(35)Будем теперь считать, что b = ρ1 > 0, и возьмем некоторую матрицу X, удовлетворяющую условию |X| < ||ρ1 ||. При этом мы будемиметь, очевидно,|X|m < ||ρ1 ||m ,т. е. |X|m < ||nm−1 ρm1 ||.В силу оценки (34)|am ||X|mm M nρ1.<nnρ − εЕсли ρ1 < ρ, то, взяв ε достаточно малым, мы будем иметь0<nρ1< 1,nρ − εи при этом ряд (31) будет очевидно сходящимся, а ряд (28) абсолютно сходящимся.
Если радиус сходимости ряда (33) равен бесконечности, то сумма этого ряда есть целая функция от z [67].Из предыдущего вытекает, что в этом случае и ряд (28) будетабсолютно сходящимся для любой матрицы X. Мы получаем, таким образом, следующую теорему:Т е o p е м а.
Если радиус сходимости ряда (33) равен nρ, то ряд(28) абсолютно сходится для всех матриц, находящихся в окрестности начала|X| < ||ρ||.(36)Если ряд (33) определяет целую функцию, то ряд (28) будетабсолютно сходиться для всех матриц (целая функция матрицы).Укажем примеры таких рядов:X2X++ ...,1!2!X3X5X−+− ...,sin X =1!3!5!eX = I +374Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. .
.[87X4X2+− ...,2!4!X ln a X 2 ln2 a++ ...,=I+1!2!cos X = I −aX = eX ln aгде число a = 0 и ln a — любое фиксированное значение логарифмачисла a.Вместо окрестности начала (36) можно рассматривать окрестность более общего вида|X| < A,(37).где A — матрица с положительными элементами, и легко показать,что если ряд (28) сходится в области (37), то он сходится в этойобласти абсолютно.Пусть имеются два степенных ряда, каждый из которых сходится при условии (36), и положим, что суммы этих рядов совпадают:∞am X m =m=0∞am X m .m=0Тем самым мы имеем при X = z = [z, z, . . .
, z] равенство∞am z m =m=0∞am z m .m=0amНо отсюда следует am =(m = 0, 1, . . .), т. е. мы имеем единственность разложения в степенной ряд вида (28).Все сказанное выше будет справедливо и для рядов вида (27),но только везде надо заменить X на X − α, т. е. на X − αI. Длярядов вида (27) или (28) характерным является тот факт, что онисодержат числа ak и α и только одну матрицу X, которая коммутирует с любым числом γ, т. е. с матрицей γI.
Отметим, что в связи сэтим к выражению вида (X − γI)m , где m — целое положительноечисло, применима формула бинома Ньютона. Но она неприменимак выражению вида (U1 +U2 )m , где U1 и U2 — две некоммутирующиематрицы. В связи со сказанным выше к рядам от одной матрицыприменимы операции, которые мы имели раньше для степенныхрядов одной комплексной переменной.88] Умножение степенных рядов. Обращение степенного ряда37588. Умножение степенных рядов.
Обращение степенногоряда. Пусть имеются два степенных рядаf1 (X) =∞am X mи f2 (X) =m=0∞bm X m ,m=0абсолютно сходящихся в области (36). Составим новую матрицу,которая получается от перемножения их суммY = f2 (X) · f1 (X).Элементы этой матрицы будут определяться формулами{Y }ik =n{f2 (X)}is {f1 (X)}sk ,(38)s=1где{f1 (X)}sk = a0 δsk +∞amm=1{f2 (X)}is = b0 δis +∞{X}sj1 {X}j1 j2 . . . {X}jm−1 k ,j1 , ..., jm−1bmm=1{X}ij1 {X}j1 j2 . . . {X}jm−1 s .j1 , ..., jm−1Ввиду абсолютной сходимости этих последних рядов мы можемперемножить их почленно так, что для элементов матрицы Y будемиметь согласно (38){Y }ik = a0 b0 δik +∞(a0 bm + a1 bm−1 + .
. .m=1. . . + am b 0 ){X}ij1 {X}j1 j2 . . . {X}jm−1 k ,j1 , ..., jm−1саму матрицу можно представить в видеY = a0 b 0 I +∞(a0 bm + a1 bm−1 + . . . + am b0 )X m .m=1376Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[88Отсюда следует, что абсолютно сходящиеся степенные рядыматриц перемножаются, как обычные степенные ряды численныхпеременных, причем произведение не зависит от порядка сомножителей.Перейдем теперь к вопросу о построении функции, обратной заданной функции f (X), определяемой некоторым степенным рядомY = f (X) = a0 I + a1 X + a2 X 2 + .
. . ,(39)причем будем считать, что в этом ряде коэффициент a1 отличен отнуля.Рассмотрим степенной ряд обычной комплексной переменнойw = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . .(40)Как мы знаем, при условии a1 = 0 существует единственныйстепенной рядz = c1 (w − a0 ) + c2 (w − a0 )2 + . . .
,(41)определяющий функцию, обратную (40) в некоторой окрестности|w − a0 | < nρ. Если подставим ряд (41) в правую часть формулы(40):2∞∞w = a0 + a1ck (w − a0 )k + a2ck (w − a0 )k + . . . ,k=1k=1возведем написанные ряды в указанные степени, согласно правилуперемножения рядов, и сделаем приведение подобных членов, собирая вместе члены с одинаковыми степенями (w − a0 ), то придемк тождеству w = w. Если во всех предыдущих вычислениях заменим z матрицей X и w матрицей Y , то все предыдущие вычисленияс матричными степенными рядами, расположенными по степенямразности (Y −a0 I), будут такими же, что и операции со степеннымирядами от численной переменной (w − a0 ), следовательно, и результат будет тем же самым, т. е.
при условии a1 = 0 степенной ряд(39), определенный в окрестности X = 0, допускает единственноеобращение вида∞X=ck (Y − a0 I)k ,(42)k=188] Умножение степенных рядов. Обращение степенного ряда377причем этот последний ряд будет абсолютно сходиться в некоторой окрестности|Y − a0 I| < ||ρ||.(43)Эта окрестность определяется, очевидно, по радиусу сходимостиряда (41).Применим предыдущее рассуждение к частному случаю рядаw = ez = 1 +z2z++ ...1!2!Обращение этого ряда, дающее функцию ln w, приводит, какизвестно, к степенному рядуln w = ln[1 + (w − 1)] =w − 1 (w − 1)2−+ ...,12сходящемуся в круге |w − 1| < 1.Таким образом, обращение показательной функцииY = eX = I +X2X++ ...1!2!приводит нас к определению логарифма матрицы в виде степенногорядаY − 1 (Y − I)2ln Y =−+ ...,(44)12абсолютно сходящегося в области 1 (45)|Y − I| < .nМатричное уравнениеeX = Y(46)относительно X имеет при заданном Y бесчисленное множество решений.
Ряд (44) дает одно из решений этого уравнения, а именноон дает то решение, которое является регулярной функцией от Yв окрестности единичной матрицы и обращается в нулевую матрицу при Y = I. Вопрос об остальных решениях уравнения как в378Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[88окрестности единичной матрицы, так и вне этой окрестности, связан с вопросом об аналитическом продолжении ряда (44), или, чтото же, с вопросом об аналитическом продолжении тех n2 обычныхстепенных рядов, которым эквивалентен ряд (44).
Мы будем заниматься этим вопросом в дальнейшем.Обратимся теперь к определению степенной функции от матрицы. Она определяется с помощью логарифма матрицы следующимобразом:X a = ea ln X .(47)Если мы имеем численное переменное z:z a = ea ln z ,то, подставляя a ln z в разложение показательной функцииa2 ln2 za ln z++ ...12!ea ln z = 1 +и совершая подстановкуln z = ln[1 + (z − 1)] =(z − 1)3z − 1 (z − 1)2−+− ...,123получим степенной ряд видаz a = [1 + (z − 1)]a = 1 +a(a − 1)a(z − 1) +(z − 1)2 + .
. . ,1!2!сходящийся при |z − 1| < 1. Принимая во внимание упомянутоесовпадение формальных операций и для степенных рядов с однойматрицей, получимX a = ea ln X = I +a(a − 1)a(X − I) +(X − I)2 + . . . ,1!2!(48)причем это разложение будет абсолютно сходящимся в области 1 (49)|X − I| < .n89]Дальнейшее исследование сходимости37989. Дальнейшее исследование сходимости. Как мы ужеупоминали, степенной ряд (28) равносилен n2 рядам (29) от n2 переменных {X}ik . Рассмотрим внутреннюю сумму в рядах (29):{X}ij1 {X}j1 j2 . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
