1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 58
Текст из файла (страница 58)
. ,2! 03!и при малых α величина r(α) удовлетворяет неравенствуr(α) =|r(α)| < C.(223)В силу нашего предположения (213) справедливо также неравенство0 < ε < | arg τ0 (0) · α| < π − ε.(224)Используя неравенства (223) и (224), последовательно получаемζ − ζ011C|α|2 (ζ − x)(ζ − x) < √n |τ (0)α|2 sin2 ε · 1 − |Imα2 r(α)|/|[τ (0)α| sin ε] <00012C< √,n |τ0 (0)|2 sin2 εтак как1Imα2 r(α)<|τ0 (0)α| sin ε2при достаточно малых |α|.Оценка (225) позволяет утверждать, что действительно|d| = O (n−1/2 ).Таким образом, в рассматриваемом случае!"In,α (L) = enf (z0 ) F (z0 + α)w(ζ0 ) + O (n−1/2 ) ,гдеζ0 =√nτ0 (0)α =√ f (z0 ) 1/2 i[arg f (z )−π]0 enα.2 (225)81]Метод стационарной фазы35181.
Метод стационарной фазы. Мы кратко изложим теперь асимптотическое представление таких интегралов, в которых один из множителей подынтегральной функции дает колебательный режим с большой частотой k. Рольмалого параметра при этом будет играть величина 1/k. Будем рассматриватьинтегралы видаbI(k) =g(x)eikh(x) dx,(226)aгде k — вещественный параметр и h(x) — вещественная функция, которая называется обычно фазой соответствующего колебательного режима:eikh(x) = cos [kh(x)] + i sin [kh(x)].Аналитичность функций g(x) и h(x) пока не предполагается, но будет предполагаться, что они имеют на промежутке интегрирования непрерывные производные до определенного порядка или всех порядков.Как оказывается, существенную роль при оценке интеграла (226) играютдва фактора: значение функции g(x) на концах промежутка интегрированияи те значения x, при которых h (x) = 0 (точки стационарности фазы).
Особозначительное влияние на величину интеграла оказывают точки стационарности фазы. Прежде чем переходить к общим результатам, приведем несколькоэлементарных примеров. Рассмотрим интеграл∞I1 =∞2e−x eikx dx =−∞2e−x cos (kx) dx + i−∞∞2e−x sin (kx) dx.(227)−∞2Функция g(x) = e−x обращается в нуль при x = ±∞, а производная функцииh(x) = x не обращается в нуль. Второй интеграл правой части (227) обраща2ется в нуль в силу нечетности e−x sin(kx), а первый вычисляется при помощидифференцирования по параметру, и мы получаем√π −k2 /4eI1 =,2т.
е. I1 убывает при k → ∞ по показательному закону.Рассмотрим еще интеграл∞I2 =22e−x eikx dx,−∞x2h (0)= 0. Нетрудно показать, что √√π1 + 1 + k2−1 + 1 + k 2+iI2 =21 + k21 + k2√откуда следует, что I2 имеет порядок 1/ k при k → +∞.в котором h(x) =и,352Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [81Перейдем теперь к изложению некоторых общих простых результатов, которые получаются применением интегрирования по частям.Т е о р е м а 1.
Пусть промежуток a x b конечен, g(x) бесконечно дифференцируема на нем и обращается в нуль со всеми производными на концахпромежутка. Пусть, далее, h(x) также бесконечно дифференцируема, и еепроизводная отлична от нуля на промежутке a x b. При этом, еслиk → ∞, тоbI=g(x)eikh(x) dx = O(k −m )aдля любого целого m > 0.Интегрируя по частям и принимая во внимание, что g(a) = g(b) = 0, получимI=I=1kbg1 (x)eikh(x) dx,a1k2g1 (x) = iddxbg2 (x)eikh(x) dx,ag2 (x) = iddxg(x),h (x)g1 (x)h (x)и т. д.
Все функции gs (x) бесконечно дифференцируемы и равны нулю на концах промежутка. При применении указанной операции m раз получаемI=и1kmbgm (x)eikh(x) dxa b gm (x)eikh(x) dx max |gm (x)|(b − a). axbaЗ а м е ч а н и е 1. Если предположить непрерывную дифференцируемостьлишь до некоторого порядка N , то утверждение теоремы будет иметь местопри m = N .З а м е ч а н и е 2. При некоторых естественных оговорках утверждение теоремы будет иметь место и для бесконечного промежутка интегрирования.Предположим теперь, что функция g(x) и все ее производные равны нулю при x = b, но могут быть отличны от нуля при x = a. Предположениеh (0) = 0 при a x b сохраним.
При интегрировании по частям сохранятсявнеинтегральные члены при x = a, и мы получим для интеграла следующееасимптотическое представление при большом k:g(a)d2dmI = eikh(a) i + 2 + . . . + m + O(k −m−1 ) .(228)kh (a)kkЛегко выразить значения первых коэффициентов ds через значения g(x), h(x)и их производных при x = a.
При наличии стационарных точек, т. е. точек, в81]Метод стационарной фазы353которых производная h (x) обращается в нуль, исследование интеграла значительно усложняется, и мы приведем лишь некоторые простейшие результатыпо этому поводу. Можно показать, что в случае конечного числа стационарныхточек на промежутке интегрирования задача сводится к исследованию промежутка с одной стационарной точкой.Приведем теорему, доказательство которой можно найти в книге: Копсон Э.Асимптотические разложения (1966).
Предполагается, что g(x) и h(x) регулярны в некоторой области, внутри которой находится промежуток a x b, иh(x) — вещественная функция на вещественной оси.Т е о р е м а 2. Пусть h(x) имеет на промежутке a x b единственнуюстационарную точку x = a и g(a) = 0. При этом, если h (x) > 0, то1/2πg(a)eikh(a)+πi/4 + O (k −1 ),I(k) =2kh (a)а если h (x) < 0, тоI(k) =π−2kh (a) 1/2g(a)eikh(a)−πi/4 + O(k −1 ).Совершенно такая же теорема имеет место, если h (b) = 0.Результаты получаются иными, если h (a) = h (a) = 0.
Если, например,при этом h (a) > 0, то1/3 64g(a)eikh(a)+πi/6 + O k −2/3 .I(k) = Γ3kh (a)Более общие результаты по методу стационарной фазы имеются в книге:Эрдейи А. Асимптотические разложения (1962).Г Л А В А IVАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИМНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХИ ФУНКЦИИ МАТРИЦ82. Регулярные функции многих переменных.
Теорияаналитических функций многих переменных в своих основных понятиях подобна теории функций одной переменной, но при дальнейшем развитии она существенно отличается от нее. Мы будем заниматься лишь основными понятиями этой теории и более подробноостановимся на теории степенных рядов от нескольких комплексных переменных. Для краткости изложения будем говорить частолишь о функциях от двух комплексных переменных. Все приводимые ниже определения и доказательства легко переносятся наслучай любого числа переменных.Итак, пусть z1 = x1 + iy1 и z1 = x2 + iy2 — две комплексныепеременные иf (z1 , z2 )(1)— функция от них. Аналогично случаю одной переменной мы можем рассматривать функцию (1) как функцию в четырехмерномпространстве E4 вещественных переменных (x1 , y1 , x2 , y2 ). Положим, что эта функция задана в некоторой области D этого пространства.
Говоря об области в E4 , мы будем всегда подразумеватьоткрытую область. Положим, что функция (1) однозначна и непрерывна в D и что для любой точки (z1 , z2 ) из этой области отношенияf (z1 + Δz1 , z2 ) − f (z1 , z2 )Δz1иf (z1 , z2 + Δz2 ) − f (z1 , z2 )Δz282]Регулярные функции многих переменных355стремятся к определенным пределам при стремлении комплексныхприращений Δz1 и Δz2 к нулю. При этом функция (1) называетсярегулярной, или голоморфной, в D.
Упомянутые пределы называются частными производными от f (z1 , z2 ) по z1 и по z2 , и ониобозначаются следующим обычным образом:∂f (z1 , z2 )∂z1и∂f (z1 , z2 ).∂z2Аналогичные обозначения дальше будут применяться и для производных высших порядков.В случае функции m переменных f (z1 , . . . , zm ), где zs =xs + iys (s = 1, . . . , m), область D определения ее находится в2m-мерном пространстве с координатами (x1 , y1 , . .
. , xm , ym ).Криволинейный интеграл от функции f (z1 , z2 ), непрерывной налинииxk = ϕk (t), yk = ψk (t) (k = 1, 2),определяется обычным образом при условии, что функции ϕk (t) иψk (t) имеют непрерывные или кусочно непрерывные производныепервого порядка.При обобщении формулы Коши на случай нескольких комплексных переменных встречаются большие трудности. Мы рассмотримэто обобщение лишь для простейшего случая области D.
ПустьBs — некоторая открытая область на плоскости комплексного переменного zs (s = 1, . . . , m). Совокупность всех точек (z1 , . . . , zm )таких, что всякое zs принадлежит Bs , называется полицилиндрической областью D 2m-мерного пространства (z1 , . . . , zm ). ЕслиBs есть круг |zs − bs | < rs (rs > 0; s = 1, . .
. , m), то областьD называется круговым цилиндром с центром (b1 , . . . , bm ). Длядвух переменных (z1 , z2 ) применяют обычно термины «бицилиндрическая область» и «круговой бицилиндр». В E4 круговая бицилиндрическая область определяется неравенствами |z1 − b1 | < r1 и|z2 − b2 | < r2 или(x1 − α1 )2 + (y1 − β1 )2 < r12 ,где bk = αk + iβk .(x2 − α2 )2 + (y2 − β2 )2 < r22 ,356Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[83Можно дать другое определение регулярности функцииf (z1 , z2 ) в области D общего вида: функция f (z1 , z2 ) называется регулярной в области D, если она однозначна, непрерывнав этой области и для любой точки (b1 , b2 ) этой области существует такая круговая бицилиндрическая окрестность этой точки|zl − bl | < rl (l = 1, 2), что в этой окрестности f (z1 , z2 ) представимаабсолютно сходящимся степенным рядомf (z1 , z2 ) =∞apq (z1 − b1 )p (z2 − b2 )q .p, q=0Мы будем исходить из данного выше определения и докажем егоравносильность определению с помощью степенного ряда.Выше в определение регулярности функции мы включили еенепрерывность по двум переменным (z1 , z2 ).
В связи с этим отметим, что имеет место следующая общая теорема Гартогса: еслифункция f (z1 , z2 ) однозначна в бицилиндре A{|z1 | < r1 ; |z2 | < r2 } и(0)(0)такова, что для каждого z1 из круга |z1 | < r1 функция f (z1 , z2 )(0)регулярна в круге |z2 | < r2 и для каждого z2 из круга |z2 | < r2(0)функция f (z1 , z2 ) регулярна в круге |z1 | < r1 , то f (z1 , z2 ) регулярна в бицилиндре A.83.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
