1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 55
Текст из файла (страница 55)
. (z + n) −zn ·=lim lnn→∞1 · 2...nn+1∞∞P1 (x)P1 (x)1− z ln z −dx +dx= (z − 1) +2z+x1+x00или [73]ln Γ(z) =z−12∞ln z − z + 1 −0P1 (x)dx +1+x∞0P1 (x)dx.z+x(160)Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [75330Принимая во внимание, что среднее значение P1 (x) равно нулю, можноутверждать, что функцияxQ(x) =P1 (x) dx(161)0есть непрерывная периодическая функция с периодом единица и Q(0) = 0.Эта функция тем самым ограничена. Отметим, что отсюда следует, что обаинтеграла, входящие в формулу (160), сходятся [II, 86].Если 0 x < 1, то [x] = 0 и формула (157) даетx Q(x) =0xx21− x dx = −222(0 x 1),откуда непосредственно следует0 Q(x) 1.8(162)Производя интегрирование по частям, получим∞0P1 (x)dx =z+x∞0Q (x)dx =z+x∞=0∞Q(x)Q(x)Q(x) x=∞dx+=dx,(z + x)2z + x x=0(z + x)2(163)0причем внеинтегральный член при x = ∞ обращается в нуль.Эти рассуждения показывают, между прочим, что упомянутые интегралыимеют смысл.
Вводя вместо x новую переменную интегрирования t по формулеx = zt, получим∞∞1P1 (x)Q(zt)dx =dt.z+xz(1 + t)200Мы имеем, далее, в силу (162) ∞∞∞111P1 (x) Q(zt)dtdx.dt=z+x z(1 + t)28z(1 + t)28z000Введем для краткости некоторое обозначение, которым мы будем частопользоваться ниже. Пусть ϕ(z) и ψ(z) — две функции, определенные при всехдостаточно больших z, и отношение ϕ(z) : ψ(z) остается ограниченным приz → +∞. Этот факт мы будем записывать в видеϕ(z) = O(ψ(z)).75]Формула Стирлинга331Предыдущее утверждение об интеграле (163) запишется при этом в виде∞0 P1 (x)1dx = Oz+xz(164)и формула (160) — в видеln Γ(z) =z−12илиln Γ(z) =z−ln z − z + C + O12 1z(165)ln z − z + C + ω(z),где|ω(z)| (166)1,8z(167)и через C мы обозначили постоянную∞C =1−0P1 (x)dx.1+xЗаймемся теперь определением значения этой постоянной.
Для этого воспользуемся так называемой формулой Валлиса, выражающей π2 в виде пределанекоторой дроби:π22 · 42 . . . (2n − 2)2 · 2n= lim.(168)n→∞212 · 32 . . . (2n − 1)2Чтобы не прерывать изложения, докажем эту формулу в конце настоящегономера.Мы можем переписать формулу (168) в виде11π22n− 2 (n!)2 n− 2= lim,n→∞2(2n)!откуда, логарифмируя и принимая во внимание, что m! = Γ(m + 1) при целомположительном m, получим11πln 2 − ln n = ln.lim 2 ln Γ(n + 1) − ln Γ(2n + 1) + 2n −n→∞222Пользуясь формулой (165), можем переписать это равенство в видеlimn→∞(2n + 1) ln (n + 1) −2n +12ln (2n + 1) − 1 + C++или2n −12ln 2 −1πln n = ln,22332Гл.
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [75limn→∞или2n [ln (n + 1) + ln 2 − ln (2n + 1)]+111π+ ln (n + 1) − ln (2n + 1) − ln n + C − 1 − ln 2 = ln,2222limn→∞ln 1 +12n + 1 2n+(n + 1)211πln+ C − 1 − ln 2 = ln.2n(2n + 1)22Первое слагаемое в фигурных скобках стремится к ln e = 1, а второе к(−1/2 ln 2), так что получаем равенство11π1 − ln 2 + C − 1 − ln 2 = ln,222√откуда C = ln 2π. Подставляя в формулу (165), получаем формулу Стирлинга:√1ln Γ(z) = ln 2π + z −ln z − z + ω(z)(169)2или, потенцируя,√1Γ(z) = 2πz z− 2 e−z ε(z),(170)где множитель ε(z) = eω(z) стремится к единице при беспредельном возрастании z.
Если z равно целому положительному числу m, то, умножая обе частиравенства на m, получим m√mm! = 2πmεm ,(171)eгде εm → 1 при возрастании m.Как мы знаем, функция Γ(z) не имеет корней и ln Γ(z) есть однозначнаярегулярная функция на плоскости z с разрезом вдоль отрицательной частивещественной оси. Если выделить этот разрез сколь угодно малым секторомс вершиной в начале, то к оставшейся части плоскости применима формула(169).
Это утверждение можно доказать совершенно так же, как выше быладоказана формула (169) при z > 0. При этом мы должны на упомянутой вышеплоскости с разрезом брать те значения ln z и ln Γ(z), которые имеют вещественные значения при z > 0.Ф о р м у л а В а л л и с а. Докажем теперь формулу Валлиса, которой мыпользовались выше. Мы имели раньше [I, 100] следующие формулы:π/2sin2k x dx =0(2k − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 π· ,2k(2k − 2) . . . 4 · 22π/2sin2k+1 x dx =02k(2k − 2) . .
. 4 · 2.(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 376]Формула суммирования Эйлера333Принимая во внимание, что при увеличении n степень sinn x уменьшается, можем написатьπ/2π/2π/2sin2k+1 x dx <sin2k x dx <sin2k−1 x dx,000т. е.(2k − 1) · (2k − 3) . . . 3 · 1 π2k(2k − 2) . . . 4 · 2<<(2k + 1) · (2k − 1) .
. . 5 · 32k · (2k − 2) . . . 4 · 22<(2k − 2)(2k − 4) . . . 4 · 2,(2k − 1)(2k − 3) . . . 5 · 3откуда следует, если заменить k на n:2 2 4 42n2nπ> · · · ...·,21 3 3 52n − 1 2n + 12 2 4 42n − 2 2n − 22nπ< · · · ...··.21 3 3 52n − 3 2n − 1 2n − 1ОбозначаяPn =можно написать2n − 2 2n − 22n2 2 4 4· · · ...··,1 3 3 52n − 3 2n − 1 2n − 1π2n<< Pn .2n + 12При n → +∞ дробь, стоящая слева, стремится к единице, и, следовательно,πlim Pn = ,2что и дает формулу Валлиса.Pn ·76.
Формула суммирования Эйлера. Вернемся к рассмотрению формулы (159). Производя в последнем интеграле правой части несколько раз интегрирование по частям, мы можем написать правую часть в развернутом виде.При помощи формулы (161) мы определили функцию Q(x) с периодом единица,такую, что Q (x) = P1 (x). Добавляя к Q(x) постоянное слагаемое, мы можемдобиться того, чтобы среднее значение этой функции, как и у P1 (x), было равно нулю. Меняя еще у полученной функции знак, получим функцию P2 (x) спериодом, равным единице, и со средним значением, равным нулю, такую, чтоP2 (x) = −P1 (x).
Но P1 (x) = −x + 1/2 при 0 x < 1, так чтоP2 (x) =и, определяя C из условияxx2− +C22(0 x < 1),1P2 (x) dx = 0,0334Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [76получим окончательноP2 (x) =x1x2− +2212(0 x < 1).В данном случае P2 (0) = P2 (1) = 1/12; при периодическом повторенииP2 (x) дает непрерывную периодическую функцию, и написанная выше формула годится для всего замкнутого промежутка 0 x 1. Далее мы можемсовершенно так же определить функцию P3 (x) с периодом единица и со средним значением, равным нулю, такую, что P3 (x) = P2 (x). Мы получим для этойфункции следующее выражение в основном промежутке (0, 1):x2xx3−+.6412P3 (x) =Продолжая так и дальше, мы сможем строить функции Pn (x) с периодом единица и со средним значением, равным нулю, такие, чтоP2m(x) = −P2m−1 (x);P2m+1(x) = P2m (x).(172)Можно разложить все эти периодические функции в ряды Фурье; во всехэтих рядах Фурье свободные члены будут равны нулю, ибо средние значенияфункций равны нулю. Из рис.
65 видно, что P1 (x) есть нечетная функция.Определяя ее коэффициенты Фурье по обычному правилу Фурье, получимP1 (x) =∞sin 2nπx.nπn=1Точно так же для следующей функции P2 (x) будем иметьP2 (x) =∞cos 2nπx.2n2 π 2n=1Заметим, что этот ряд может быть получен непосредственно почленным интегрированием и переменой знака из ряда P1 (x), что соответствует соотношениюP2 (x) = −P1 (x). Ряд для P2 (x) сходится равномерно при всех вещественныхзначениях x. Принимая во внимание соотношения (172), мы можем получитьряды Фурье для следующих функций Pn (x) при помощи последовательногопочленного интегрирования, причем свободные члены этих рядов Фурье надосчитать равными нулю.Таким образом, мы будем иметьP2m (x) =∞n=1cos 2nπx22m−1 n2m π 2m,P2m+1 (x) =∞n=1sin 2nπx.22m n2m+1 π 2m+1Из этих формул вытекает, между прочим,P2m (0) =122m−1 π 2m∞n=11,n2mP2m+1 (0) = 0.(173)76]Формула суммирования Эйлера335Для удобства дальнейших выкладок обозначимP2m (0) =122m−1 π 2m∞n=1Bm1,=n2m(2m)!(174)где Bm — так называемые числа Бернулли.Вернемся к формуле (159).
Производя интегрирование по частям и принимая во внимание, чтоBmP2m (0) = P2m (n) =, P2m+1 (0) = P2m+1 (n) = 0,(2m)!получимnn− P1 (x)f (x) dx =P2 (x)f (x) dx =0==0B1 [f (n) − f (0)] −2!B1 [f (n) − f (0)] −2!n+P3 (x)f (x) dx =0=nP2 (x)f (x) dx =0nP3 (x)f (x) dx =0B1 [f (n) − f (0)] −2!B1 [f (n) − f (0)]+2!nP4 (x)f (x) dx =0B1 B2 [f (n) − f (0)] −[f (n) − f (0)] +2!4!nP4 (x)f (IV ) (x) dx,0продолжая так и дальше, получаем формулу суммирования Эйлера:nk=0nf (k) =f (x) dx +0B1 1[f (0) + f (n)] +[f (n) − f (0)]−22!B2 Bm+1[f (n) − f (0)] + . .
. + (−1)m[f (2m+1) (n) − f (2m+1) (0)]+−4!(2m + 2)!n+ (−1)m P2m+3 (x)f (2m+3) (x) dx. (175)0При этих вычислениях мы предполагали, конечно, что f (x) при x 0 имеетнепрерывные производные до порядка (2m + 3) включительно.Последнее слагаемое правой части дает остаточный член формулы Эйлера.Из формулы (174) легко заключить, что числа Bn быстро растут при возрастании n и соответствующий формуле Эйлера бесконечный ряд обычно оказывается расходящимся. Все же формулой (175) иногда удобно пользоваться дляприближенного вычисления суммы, стоящей в левой ее части.336Гл.
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [76Перепишем формулу (160), подставляя вместо C найденное выше ее значение:∞√1P1 (x)ln Γ(z) = ln 2π + z −ln z − z +dx.2z+x0Производя в интеграле, как и выше, интегрирование по частям, принимая вовнимание, что Pn (x) остаются ограниченными при всех вещественных x, и формулы (174), будем иметь при z > 0√B1 1B211ln Γ(z) = ln 2π + z −ln z − z +· −·+21·2 z3 · 4 z311BmB3··− . . .
+ (−1)m−1++5 · 6 z5(2m − 1)2m z 2m−1∞P2m+1 (x)+ (−1)m−1 (2m)!dx.(z + x)2m+10Совершенно так же, как в предыдущем номере, мы можем показать,что последний интеграл, умноженный на z 2m+1 , остается ограниченным приz → +∞, т. е. что∞P2m+1 (x)1,dx=O(z + x)2m+1z 2m+10и предыдущую формулу можно записать в виде√B1 1B211ln Γ(z) = ln 2π + z −ln z − z +· −·+ ...+21·2 z3 · 4 z31Bm1· 2m−1 + O 2m+1 .+ (−1)m−1(2m − 1)2m zz(176)Если мы, вычеркнув остаточный член, напишем соответствующий бесконечный ряд, то он окажется расходящимся при всяком z.
Если же мы фиксируем m, то остаточный член при z → +∞ будет величиной бесконечно малойболее высокого порядка, а именно порядка 1/z 2m+1 , чем последний из оставленных членов, который имеет порядок 1/z 2m−1 .Формула (176), как и (169), годится на плоскости комплексного переменногоz, из которой вырезан любой, сколь угодно малый, но фиксированный сектор сбиссектрисой, направленной по отрицательной части вещественной оси. Если zположительно, то можно более точно оценить остаточный член, и имеет местоформула√B1 1B211ln Γ(z) = ln 2π + z −ln z − z +· −·+ ...+21·2 z3 · 4 z311BmBm+1··+ θm (−1)m,+ (−1)m−1(2m − 1)2m z 2m−1(2m + 1)(2m + 2) z 2m+1(1761 )77]Числа Бернулли337где 0 < θm < 1. На доказательстве этой формулы мы останавливатьсяне будем.77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
