1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Числа Бернулли. Мы определили числа Бернулли при помощи равенств∞(2m)!1Bm = 2m−1 2m.(177)2m2πnn=1Сейчас покажем, что эти числа могут быть постепенно определены совершенноэлементарно и что все они суть рациональные числа.Напишем разложение ctg z на простейшие дроби [65]:+∞ 111ctg z = ++,z k=−∞ z − kπkπилиctg z =∞12z+,z k=1 z 2 − k 2 π 2или, переходя к показательным функциям согласно формулам Эйлера,i∞1ezi + e−zi2z= +.ezi − e−zi2 k=1 z 2 − k 2 π 2Положим z = u/(2i):∞eu/2 + e−u/22u+4=,2 π 2 + u2u4keu/2 − e−u/2k=1т. е.∞2eu + 1u= +4,u2 π 2 + u2e −1u4kk=1илиeu∞22u+1= +4.2 π 2 + u2−1u4kk=1Последнюю формулу можно переписать в видеeu∞uu1− 1 + = 2u22 π 2 + u2−124kk=1Мы можем написать∞u2=−2+up=14k 2 π 2−u24k 2 π 2p(|u| < 2kπ).Подставляя это в формулу (178), получим ∞ p∞u2uu.−−1+=−2eu − 124k 2 π 2k=1 p=1(178)338Гл. III.
Применение теории вычетов, целые и дробные функции [78Применяя следствие из теоремы Вейерштрасса о сложении степенных рядов [14], можем правую часть представить в виде ряда по целым положительным степеням u при |u| < 2π:uus 4 u4s 6 u6s 2 u2−1+=2−+−...,eu − 12(2π)2(2π)4(2π)6где мы положили для краткостиsp = 1 +11+ p + ...2p3Вспоминая формулу (177), можем написатьeu∞uuu2m=1− +.(−1)m−1 Bm−12 m=1(2m)!(179)Функция, стоящая слева, имеет особые точки, ближайшие к началу: u = ±2πi,так что написанный степенной ряд имеет круг сходимости |u| < 2π.
Производяделение u на рядu2u3ueu − 1 =+++ ...,1!2!3!сможем получать последовательно числа Бернулли Bm . Приведем значенияпервых из этих чисел:B1 =1;6B2 =1;30B3 =1;42B4 =1;30B5 =5;66B6 =691.273078. Метод скорейшего спуска. Изложим в следующих номерах методприближенного вычисления контурных интегралов определенного типа. Предварительно мы выясним некоторые вопросы, связанные с изменением вещественной и мнимой частей регулярной функции. Пусть в области B имеетсяфункцияf (z) = u(x, y) + v(x, y)i.В каждой точке B, в которой производная f (z) отлична от нуля, будет существовать направление l, в котором u(x, y) меняется наиболее быстро.
Этонаправление l есть направление вектора grad u(x, y), и производная, взятаяв этом направлении (и в противоположном направлении), имеет наибольшеепо абсолютной величине значение. Производная от u(x, y) в направлении n,перпендикулярном к l, равна, очевидно, нулю [II, 108]. Поле направлений nопределяет линии уровня u(x, y) = const, а ортогональное поле l определяет семейство ортогональных траекторий к этим линиям уровня, т. е. семейство v(x, y) = const [29].
Таким образом, можно сказать, что в каждой точке,где f (z) отлично от нуля, u(x, y) изменяется наиболее быстро вдоль линииv(x, y) = const. Отметим, что при этом ∂u/∂l вдоль упомянутой линии отлично от нуля. Если бы оказалось, что в некоторой точке не только ∂u/∂n, но и∂u/∂l равно нулю, то в этой точке производная от u по любому направлению78]Метод скорейшего спуска339была бы равна нулю, а отсюда следует, что в этой точке и производная f (z)обращается в нуль.Исследуем теперь расположение наших линий в окрестности точки z0 , вкоторой f (z0 ) = 0. Мы имеем в окрестности такой точкиf (z) − f (z0 ) = (z − z0 )p [b0 + b1 (z − z0 ) + .
. .](p 2; b0 = 0).(180)Обозначаяbν = rν ei βν,z − z0 = ρeiω(r0 = 0)(181)и приравнивая вещественную и мнимую части разности f (z) − f (z0 ) нулю, получим следующие уравнения линий u(x, y) = const и v(x, y) = const в окрестности z0 :Φ1 (ρ, ω) = r0 cos (β0 + pω) + r1 ρ cos [β1 + (p + 1)ω] + r2 ρ2 cos [β2 ++ (p + 2)ω] + . . . + = 0,(182)Φ2 (ρ, ω) = r0 sin (β0 + pω) + r1 ρ sin [β1 + (p + 1)ω] + r2 ρ2 sin [β2 ++ (p + 2)ω] + . . . + = 0.(183)Рассмотрим уравнение (182). При ρ = 0 получаемcos (β0 + pω) = 0,т. е.πβ0 + pω = (2m + 1) ,2где m — любое целое число.
Полагая m = 0, 1, . . . , 2p − 1, получаем все различные решения уравнения (182) относительно при ω при ρ = 0:ωm = −Нетрудно видеть, что2m + 1β0+πp2p(m = 0, 1, 2, . . . , 2p − 1).(184)∂Φ1 = 0,∂ω ρ=0, ω=ωmи, следовательно, согласно теореме о неявных функциях [I, 159], уравнение(182) имеет 2p решений для ω, непрерывных по отношению к ρ и стремящихся к ωm при ρ = 0, т. е. уравнению (182) соответствуют 2p линий, выходящих из точки z0 и имеющих в этой точке касательные с аргументами ωm .
Ноωm+p = ωm + π, и мы будем иметь p линий, проходящих через точку z0 и имеющих в этой точке определенную касательную. Эти линии разобьют окрестность z0 на 2p криволинейных секторов с одинаковыми углами π/p при вершине. Внутри этих секторов, в окрестности z0 , мы будем иметь попеременноΦ1 (ρ, ω) < 0 и Φ1 (ρ, ω) > 0, а именно:ππ+ mπ < β0 + pω < + (m + 1)πпри22< 0, если m четно,Φ1 (ρ, ω)> 0, если m нечетно.340Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [79Это следует непосредственно из того, что знак левой части уравнения (182) призаданном ω, отличном от (184), и ρ достаточно близком к нулю определяетсязнаком первого слагаемого.Рассматривая совершенно так же уравнение (183), мы убедимся в том, чтоэто уравнение определяет p линий, проходящих через точку z0 , причем касательные к этим линиям служат биссектрисами углов, определяемых касательными к линиям (182).Точку z0 назовем седловой точкой, секторы Φ1 (ρ, ω) < 0 — отрицательными секторами и секторы Φ1 (ρ, ω) > 0 — положительными секторами.При нумерации секторов (число m) мы, естественно, считаем, чтоβ0 = arg f (p) (z0 ) — фиксированное число.
При добавлении к β0 слагаемого,кратного 2π, меняется лишь нумерация секторов. Рассмотрим отрицательныйсектор с номером 2j. Линия l, имеющая уравнение v(x, y) − v(x0 , y0 ) = 0, т. е.v(x, y) = const, и расположенная в этом секторе вблизи точки z0 = x0 + iy0 ,имеет в точке z0 касательную, являющуюся биссектрисой угла этого сектора,и угол наклона этой касательной, как нетрудно видеть, равен2j + 1arg f (p) (z0 )+π.(185)ppВнутри этого сектора u(x, y) − u(x0 , y0 ) < 0, а линия l есть линия скорейшего убывания в точке z0 функции u(x, y).
Все это относится к некоторойокрестности точки z0 .Применим сказанное выше к вычислению интегралов вида(186)In (l) = (z − z0 )α−1 F (z)[ϕ(z)]n dz = (z − z0 )α−1 F (z)enf (z) dz,ωj = −llгде Re α > 0, функции F (z) и f (z) регулярны в окрестности точки z0 и n —большое положительное число. Положим, что контур l имеет начало в точкеz0 и расположен в окрестности z0 в отрицательном секторе с номером m = 2j.Согласно теореме Коши мы можем считать, что контур l расположен в окрестности z = z0 вдоль линии v(x, y) − v(x0 , y0 ) = 0. При этом |enf (z) | = enu(x,y)имеет при большом n в точке z = z0 резкий максимум.
Линия l есть линия скорейшего спуска, т. е. быстрейшего уменьшения enu(x,y) , и надо ожидать, чтоглавную часть интегралу (186) даст интегрирование по малому участку линииl вблизи точки z0 .79. Асимптотическое разложение интеграла. Вернемся к рассмотрению интеграла (186). Пусть F (z) и f (z) регулярны в некотором круге|z − z0 | R(187)и имеют разложенияF (z0 )F (z0 )(z − z0 ) +(z − z0 )2 + . . . ,1!2!f (p) (z0 )f (p+1) (z0 )(z − z0 )p +(z − z0 )p+1 + . . . (f (p) (z0 ) = 0).f (z) = f (z0 ) +p!(p + 1)!(188)F (z) = F (z0 ) +79]Асимптотическое разложение интеграла341Предположим, далее, что вне круга (187) на контуре интегрирования l выполняется неравенствоRe[f (z0 ) − f (z)] Δ > 0(189)и существует такое n0 , что|(z − z0 )α−1 F (z)en0 f (z) |ds M,(190)lгде Δ и M — определенные положительные числа. Из (189) и (190), как мы увидим, следует, что интеграл (186) абсолютно сходится при n n0 .
Конечностьили бесконечность пути интегрирования l при этом не играет роли. Отметимеще, что значение функции (z −z0 )α−1 будет фиксировано на начальном участке l, а тем самым и на всем контуре. Перепишем интеграл (186) в видеIn (l) = enf (z0 ) (z − z0 )α−1 F (z)en[f (z)−f (z0)] dz.(191)lОбозначим через l0 и l1 , части l, расположенные соответственно внутри и внекруга (187), и оценим интегралKn (l1 ) = (z − z0 )α−1 F (z)en[f (z)−f (z0)] dz.l1Используя (189) и (190) и выбирая n > n0 , получаем|Kn (l1 )| |(z − z0 )α−1 F (z)|enRe[f (z)−f (z0 )] ds ==l1|(z − z0 )α−1 F (z)|en0 Re[f (z)−f (z0)] · e−(n−n0 )Re[f (z0 )−f (z)] ds l1 e−n0 Ref (z0 ) M · e−(n−n0 )Δ .Отсюда следует, чтоKn (l1 ) = O(e−nΔ ),т.
е. при n → ∞ интеграл по l1 убывает по показательному закону и тем самым быстрее любой отрицательной степени n. В оставшемся интеграле по l0мы выделим члены различного порядка относительно n−1 . Введем следующееобозначение:Kn (l0 ) = (z − z0 )α−1 F (z)en[f (z)−f (z0)] dz,l0и перейдем от переменной z к новой переменной τ , положивτ p = f (z0 ) − f (z).В силу сказанного выше f (z0 ) − f (z) 0 на l0 , так что τ > 0 на l0 . Принимаяво внимание разложение для f (z), получаем [23]342Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [79τ =p 1/pf (p+1) (z0 )−f (p) (z0 )(z − z0 ) 1 +(z−z)+...=0p!(p + 1)f (p) (z0 )(p) (z )f (p+1) (z0 )0p −f=(z − z0 ) 1 +(z−z)+....0p!p(p + 1)f (p) (z0 )(192)Как упомянуто выше, мы выбираем при определении τ ту ветвь корня, котораяотображает контур l0 на положительную часть вещественной оси плоскостиτ = s + it.
Для этого надо иметь(p) (z )|f (p) (z0 )0pp |f=e−iωj ,−p!p!где ωj определяется формулой (185) и в правой части надо брать арифметическое значение корня. Степенной ряд (192) имеет однозначное обращениеz(τ ) = z0 + a1 τ + a2 τ 2 + . . . ,(193)где (p) f (z0 ) −1/p iωe j.(194)p!Мы можем считать, что число R в неравенстве (187) было выбрано настолькомалым, что круг |z − z0 | R, согласно формуле (193), получается из некоторойобласти, содержащейся в круге |τ | < ρ, в котором функция z(τ ) регулярна.Будем считать, что концу контура l0 , расположенному на окружности|z − z0 | = R, соответствует значение τ = t1 > 0, так что контур l0 отображается в отрезок 0 τ t1 вещественной оси.Выполняя в интеграле указанную замену переменных, получаемa1 =Kn (l0 ) =t1p[z(τ ) − z0 ]α−1 F [z(τ )]z (τ )e−nτ dτ.(195)0На интервале 0 τ t1 множитель, стоящий при экспоненте под знакоминтеграла (195), может быть записан в виде[z(τ ) − z0 ]α−1 F [z(τ )]z (τ ) = τ α−1 [b0 + b1 τ + b2 τ 2 + .
. . + bN−1 τ N−1 + Rn (τ )τ N ],причем имеет место равномерная оценка|RN (τ )| < CN (0 τ t1 )(196)e(α−1) ln τ ,=где ln τ мы считаем вещественным. В силу (194) b0 опреиделяется формулой (p) f (z0 ) α/p iω αb0 = aαe j F (z0 ),(197)1 F (z0 ) = p!τ α−1а для остальных коэффициентов получаются, как можно показать, следующиевыражения:79]Асимптотическое разложение интеграла343 (p)k f (z0 ) −(α+k)/p iω /p (α+k)1(−1)s f (p) (z0 ) −sbk = e j× α+k p!s!p!Γ ps=0α+k×Γ+ s gks ,p(198)где gks — коэффициенты при (z − z0 )k в разложении (p+1)sF (z0 )f (p+2) (z0 )(z0 )f(z − z0 ) + . .
.(z − z0 ) +(z − z0 )2 + . . . .F (z0 ) +1!(p + 1)!(p + 2)!Выполняя в формуле (195) почленное интегрирование, получимKn (l0 ) =N−1t1bkk=0pτ α+k−1 e−nτ dτ +0t1pRN (τ )τ N+α−1 e−nτ dτ.(199)0Оценим интеграл от остаточного члена и покажем, что он порядкаO(n−(N+α)/p ). Используя неравенство (196), приходим к оценке tt1∞pN+α−1 −nτ p RN (τ )τ N+α−1 e−nτ p dτ < CNτedτ<Cτ N+α−1 e−nτ dτ.N000В последнем интеграле перейдем к новой переменной x = nτ p : t1∞CNN+α−1 −nτ pedτ <x(N+α)/p−1 e−x dx = RN (τ )τpn(N+α)/p00CNN +α=Γn−(N+α)/p ,ppи, следовательно, действительноt1pRN (τ )τ N+α−1 e−nτ dτ = O n−(N+α)/p .0Рассмотрим теперь интегралы, стоящие под знаком суммы в формуле (199).Прибавляя и вычитая интеграл по промежутку (t1 , ∞), получимt1pτ α+k−1 e−nτ dτ =0∞pτ α+k−1 e−nτ dτ −0∞pτ α+k−1 e−nτ dτ.(200)t1В первом интеграле перейдем к переменной x:∞0pτ α+k−1 e−nτ dτ =1pn(α+k/p)∞0x(α+k)/p−1 e−x dx =1 Γ((α + k)/p).p n(α+k)/p344Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
