1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Следовательно,b f (t, z ) 1ω(z) =dzdt.2πiz − zalПри интегрировании непрерывной функции мы можем менятьпорядок интегрирования [II, 81 и 89]:1ω(z) =2πibf (t, z )dtalz − zdz .306Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [70Эта формула дает ω(z) в виде интеграла типа Коши, и, следовательно ω(z) есть регулярная функция внутри B, а ее производнаяопределяется по формуле [8]1ω (z) =2πibf (t, z )dta(z − z)2ldz .Меняя опять порядок интегрирования, можем написатьb ω (z) =12πialf (t, z )dt.dz(z − z)2Выражение, стоящее в квадратных скобках, согласно формулеКоши дает производную ∂f (t, z)/∂z. Последняя формула совпадает с формулой (1091 ), и теорема доказана.
Заметим, что мы моглибы считать, что t меняется не вдоль конечного интервала (a, b) вещественной оси, а вдоль любой конечной кривой. Доказательствотеоремы от этого не изменилось бы. Заметим по поводу предыдущего доказательства, что интегралbf (t, z )dt,aстоящий в числителе интеграла типа Коши, которым выражается ω(z), представляет собою непрерывную функцию от z на l.
Этонепосредственно следует из того, что f (t, z) есть, по условию, непрерывная функция своих двух аргументов.Перейдем теперь к рассмотрению несобственных интегралов.Здесь для доказательства теоремы достаточно добавить условие равномерной сходимости интеграла (109). Для определенности будем рассматривать интеграл по бесконечному промежутку(a, +∞), но доказательство годится и для других типов несобственных интегралов.Т е о р е м а. Пусть f (t, z) — непрерывная функция двух переменных, когда z принадлежит замкнутой области B и t a.70]Интегралы, зависящие от параметра307Пусть, далее, f (t, z) — регулярная функция в замкнутой областиB при всяком t a и интеграл∞f (t, z)dtaсходится равномерно относительно z, принадлежащего замкнутой области B.
При этом∞ω(z) =f (t, z)dt(110)a— регулярная функция от z внутри B и∞ω (z) =∂f (t, z)dt.∂zaСоставим последовательность функцийanωn (z) =f (t, z)dt,aгде an — любая последовательность чисел, больших a, стремящаяся к (+∞). По доказанной теореме, ωn (z) — регулярные функциивнутри B иan∂f (t, z)dt.ωn (z) =∂zaИз условия равномерной сходимости интеграла (110) следует, чтоωn (z) равномерно стремятся к функции ω(z), определяемой формулой (110), и по теореме Вейерштрасса эта функция ω(z) естьрегулярная функция внутри B и ωn (z) → ω (z), т.
е.anlimn→∞a∂f (t, z)dt = ω (z)∂z308Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [71при любом законе стремления an к (+∞). Отсюда следует∞ω (z) =∂f (t, z)dt,∂zaпричем интеграл, стоящий справа, наверно имеет смысл. Теорема,таким образом, полностью доказана.При доказательстве теоремы мы могли бы считать, что интегрирование по t происходит и по некоторому бесконечному контуруC. Такой несобственный интеграл надо понимать как предел интегралов по конечным контурам, составляющим часть C. Теоремадословно применима и для несобственного интеграла, в которомподынтегральная функция f (t, z) становится неограниченной, например при приближении t к a.Заметим, наконец, что имеет место следующее достаточноеусловие абсолютной и равномерной сходимости интеграла [II, 84]:если интегрирование по t совершается вдоль вещественной оси иесли при t a и z, принадлежащем замкнутой области B, выполняется неравенство |f (t, z)| ϕ(t), причем интеграл∞ϕ(t)dtaсходится, то интеграл (110) сходится абсолютно и равномерно.
Абсолютная сходимость определяется так же, как и в случае вещественного f (z, t).71. Эйлеров интеграл второго рода. Рассмотрим функцию,определяемую эйлеровым интегралом второго рода:∞Γ(z) =e−t tz−1 dt,(111)0причем tz−1 = e(z−1) ln t , и значение логарифма положительногочисла t надо брать вещественным. Представим написанный инте-71]Эйлеров интеграл второго рода309грал в виде суммы двух интегралов:1Γ(z) =−t z−1e t0∞dt +e−t tz−1 dt.(112)1Рассмотрим сначала второе слагаемое в правой части:∞ω(z) =e−t tz−1 dt.(113)lПри t 1 подынтегральная функцияe−t tz−1 = e−t+(z−1) ln t(114)есть непрерывная функция t и z для любого z и t 1 и естьцелая функция от z при всяком t 1. Положим, что z принадлежит некоторой ограниченной области B плоскости z. Положимz = x + yi.
В замкнутой области B абсцисса x имеет наибольшеезначение, которое мы обозначим через x0 . Принимая во внимание,что ln t 0 при t 1 и что модуль показательной функции eϕi счисто мнимым показателем равен единице, получим для z, принадлежащих B:|e−t tz−1 | = |e−t+(x−1) ln t+iy ln t | e−t+(x0 −1) ln t = e−t tx0 −1 .Интеграл∞e−t tx0 −1 dt1очевидно сходится [II, 85], и, следовательно, интеграл (113) сходится равномерно относительно z, принадлежащих B. Принимая вовнимание вторую теорему предыдущего номера и полную произвольность при выборе B, можем утверждать, что ω(z), определяемая формулой (113), есть целая функция, и можно дифференцировать по z под знаком интеграла.310Гл.
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [71Рассмотрим теперь первое слагаемое формулы (112):1ϕ(z) =e−t tz−1 dt.(115)0В данном случае подынтегральная функция (114) может терпеть разрыв непрерывности при t = 0, так как ln t при t = 0 обращается в (−∞). Как и выше, модуль функции (114) будетe−t tx−1 .Если x > 1, то при t = 0 подынтегральная функция не будет терпеть разрыва непрерывности, и, применяя первую из теорем предыдущего параграфа, мы убедимся, что функция (115) будет регулярной функцией при x > 1, т.
е. правее прямой x = 1. Докажем сейчас,что она будет регулярной правее мнимой оси. Действительно, возьмем какую-нибудь конечную область B, лежащую правее мнимойоси. Пусть x1 — наименьшая абсцисса точек замкнутой области B.Раз замкнутая область B лежит правее мнимой оси, то x1 > 0.Принимая во внимание, что ln t 0 при t 1, получим|e−t tz−1 | e−t tx1 −1 ,если z принадлежит B. Но при x1 > 0 интеграл1e−t tx1 −1 dt0сходится, и, следовательно, как и выше, отсюда следует регулярность функции (115) правее мнимой оси и возможность дифференцировать под знаком интеграла.
Из всего сказанного следует,что формула (111) определяет справа от мнимой оси регулярнуюфункцию Γ(z).Займемся сейчас аналитическим продолжением функции налевоот мнимой оси и покажем, что Γ(z) есть мероморфная функция,имеющая простые полюсы в точкахz = 0, −1, −2, . . .(116)71]Эйлеров интеграл второго рода311Поскольку второе слагаемое справа в формуле (112) есть целаяфункция, нам надо заняться функцией (115).На конечном промежутке 0 t 1 функция e−t разлагается вравномерно сходящийся ряд:e−t =∞(−1)nn=0tn,n!где, как всегда, считаем 0! = 1. Умножая на tz−1 и интегрируяпочленно по промежутку (0, 1), получим1e−t tz−1 dt =0t=1∞(−1)n tn+z.n!n + z t=0n=0Мы считаем z лежащим правее мнимой оси, и, следовательно,вещественная часть (n + z) положительна, и tn+z = 0 при t = 0, т.
е.1−t z−1e t0∞(−1)n1·.dt =n!z+nn=0Таким образом, для Γ(z) получаем следующее выражение правеемнимой оси:∞(−1)n1·+ e−t tz−1 dt.Γ(z) =n!z+nn=0∞(117)1Бесконечная сумма, стоящая в правой части, ввиду присутствияn! в знаменателе сходится абсолютно и равномерно во всякой ограниченной части плоскости, если отбросить несколько первых слагаемых, имеющих полюсы в точках (116). Следовательно, эта суммадает мероморфную функцию с простыми полюсами (116), причемвычет в полюсе z = −n равен (−1)n /n!. Второе слагаемое справаесть, как мы уже упоминали, целая функция. Таким образом, правая часть формулы (117) дает аналитическое продолжение функции Γ(z), определенной формулой (111) только справа от мнимой312Гл.
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [71оси, на всю плоскость комплексного переменного z, причем Γ(z)оказывается мероморфной функцией с простыми полюсами (116)и с вычетом (−1)n /n! в полюсе z = −n. Нетрудно получить значения Γ(z) при целых положительных значениях аргумента. Положим z = n + 1, где n — целое положительное число. Мы получимпри этом [II, 84]∞Γ(n + 1) = e−t tn dt = n!0и∞Γ(1) =e−t dt = 1.0Таким образом, значения Γ(z) при целых положительных z дают факториалы целых чисел:Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n! (n = 1, 2, 3, .
. .).(118)Выясним теперь основные свойства функции Γ(z). Считая z > 0и интегрируя по частям, будем иметь∞Γ(z + 1) =−t ze t dt =[−e−t tz ]t=∞t=00∞+ze−t tz−1 dt,0т. е.Γ(z + 1) = z Γ (z).(119)Мы доказали это равенство лишь на положительной части вещественной оси. Но если две аналитические функции совпадаютна некоторой линии, то они совпадают везде [18], и, следовательно, формулу (119) можно считать установленной при всех z. Пустьn — некоторое целое положительное число. Применяя несколько разформулу (119), получим более общее равенство, справедливое привсех комплексных z:Γ(z + n) = (z + n − 1)(z + n − 2) . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
