1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 106

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 106)

Вместо формулы (121) в сферических координатах имеет место формулаeikz = eikrcos θ=∞(2n + 1)in ψn (kr)Pn (cos θ),(134)n=0где Pn (x) — обычные полиномы Лежандра. Доказательства этой формулы мыприводить не будем. Принимая во внимание принцип излучения, мы будем искать дополнительное возмущение в виде∞n=0(1)an ζn (kr)Pn (cos θ).(135)674Гл. VI. Специальные функции[157Коэффициенты an определяются из того условия, что сумма решений (134)и (135) должна обращаться в нуль при r = a, что даст намan = −(2n + 1)in ψn (ka)(1)ζn (ka).§ 3.

ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА И ЛАГГЕРРА157. Линейный осциллятор и полиномы Эрмита. Уравнение Шредингера, как известно, имеет видh2Δψ + (E − V )ψ = 0.2mБудем считать, что функция ψ зависит только от x и что потенциал V определяется формулой V = k2 x2 , что соответствует случаюупругой силы f = −kx. Мы приходим, таким образом, к уравнениювидаh2 d2 ψk 2+ E − x ψ = 0,2m dx22и значения параметра E должны определяться из того условия, чторешение уравнения остается конечным во всем промежутке −∞ <x < +∞. Введем две новые постоянные:α2 =mk,h2λ=2mEh2(α > 0).(1)Из них α2 является заданной и λ играет роль параметра вместоE. Уравнение перепишется в видеd2 ψ+ (λ − α2 x2 ) = 0.dx2(2)Это линейное уравнение имеет иррегулярную особую точкуx = ∞. Будем поступать так же, как это мы делали в [116], а именноположимψ = eω(x) u(x)и определим функцию ω(x) из того условия, чтобы в коэффициенте при искомой функции u(x) в дифференциальном уравнении157]§ 3.

Полиномы Эрмита и Лаггерра675уничтожился член, содержащий x2 . Дифференцируя и подставляяв уравнение (2), получим для u(x) уравнениеu (x) + 2ω (x)u (x) + [ω (x) + ω 2 (x) + λ − α2 x2 ]u(x) = 0,и, чтобы избавиться от слагаемого −α2 x2 , мы положимαω(x) = − x2 ,2причем знак минус выбран нами для того, чтобы получить затухание при x → ±∞. Получаем, таким образом,α2ψ(x) = e− 2 x u(x),(3)где для u(x) имеет место уравнениеd2 udu+ (λ − α)u = 0.− 2αx2dxdx(4)Если при некотором выборе значений параметра λ это уравнение будет иметь решение в виде полинома, то при этом функцияψ(x) будет, очевидно, затухать на бесконечности и, следовательно, удовлетворять поставленным предельным условиям.

Мы будем,таким образом, искать решение уравнения (4) в виде полиномов.Введем вместо x новую независимую переменную√ξ = αx,отсюдаdudu √d2 ud2 u=α;= 2 α,2dxdξdxdξи, подставляя в уравнение (4), будем иметь следующее уравнениедля u:d2 uduλ− 2ξ+− 1 u = 0.(5)dξ 2dξαНачало координат является обыкновенной точкой для этого уравнения, и можно искать решение его в виде обычного степенногоряда∞u=ak ξ kk=0Гл. VI. Специальные функции676[157с произвольными двумя первыми коэффициентами a0 и a1 .

Подставляя в уравнение (5), получаем соотношение для последовательного определения коэффициентовλ(k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak +− 1 ak = 0,αоткудаak+22k − αλ − 1ak=(k + 2)(k + 1)(k = 0, 1, 2, . . .).(6)Покажем теперь, каким образом можно получить решение уравнения в виде полинома степени n. Будем считать, что параметр λвыбран из условияλ− 1 = 2n,αт.

е.λn = (2n + 1)α.(7)При этом формула (6) даст нам последовательноan+2 = an+4 = an+6 = . . . = 0.(8)Если n — число четное, то мы положим, кроме того, a1 = 0 иa0 = 0. В силу (6) мы будем иметь при этом a1 = a3 = a5 = . . . =<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.

Характеристики

Список файлов книги