1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Следовательно, при целом положительном значении значка n мы получаем n+2k∞(−1)kzan (z) =,k!(n + k)! 2k=0т. е. an (z) действительносовпадает с Jn (z). Если заменим в фор муле (36) t на − 1t , то левая часть останется неизменной, и этопоказывает нам, что a−n (z) = (−1)n an (z), т. е. при отрицательномзначении n имеем в силу (8)a−n (z) = (−1)n Jn (z) = J−n (z).Таким образом, вместо формулы (36) можно написать следующее разложение:+∞11Jn (z)tn .(37)e 2 z(t− t ) =n=−∞Иначе говоря, функция (35) является производящей функцией для бесселевых функций с целым значком.
Формулой (37) удобно пользоваться для выяснения свойств функций Бесселя с целымзначком. В частности, используем эту формулу для вывода интегрального представления функции Бесселя с целым значком.Полагая в формуле (37) t = eiϕ , получимeiz sin ϕ =+∞Jn (z)einϕn=−∞или, разделяя вещественную и мнимую части, причем z и ϕ мысчитаем вещественными,cos (z sin ϕ) = J0 (z) +∞n=1Jn (z) cos nϕ +−∞n=−1Jn (z) cos nϕ,147]§ 2. Функции Бесселяsin (z sin ϕ) =∞Jn (z) sin nϕ +n=1−∞641Jn (z) sin nϕ,n=−1или, принимая во внимание (8), получимcos (z sin ϕ) = J0 (z) + 2∞n=1sin (z sin ϕ) = 2∞⎫⎪⎪J2n (z) cos 2nϕ,⎪⎪⎬⎪⎪⎪J2n−1 (z) sin (2n − 1)ϕ.
⎪⎭(38)n=1Формулы (38) представляют собою разложение функций в ряд Фурье; применяя обычный способ определения коэффициентов, получаем следующие интегральные представления для функций Бесселя:⎫π⎪1⎪⎪⎪J2n (z) =cos (z sin ϕ) cos 2nϕ dϕ (n = 0, 1, . . .),⎪⎪π⎬0(39)π⎪⎪1⎪⎪sin(z sin ϕ) sin(2n − 1)ϕ dϕ (n = 1, 2, .
. .).⎪J2n−1 (z) =⎪⎭π0Тот же способ определения коэффициентов дает нам следующиедва равенства:1ππcos (z sin ϕ) cos (2n − 1)ϕ dϕ = 0,01ππsin (z sin ϕ) sin 2nϕ dϕ = 0.0Можно объединить формулы (39) в одну формулу, справедливую как при четном, так и при нечетном значке. Рассмотрим дляэтого интегралГл. VI. Специальные функции6421π[147πcos (nϕ − z sin ϕ)dϕ =01=ππ01cos (z sin ϕ) cos nϕ dϕ +ππsin (z sin ϕ) sin nϕ dϕ.0При четном n первое слагаемое справа есть Jn (z), а второе равнонулю, так что вся сумма равна Jn (z).
При нечетном n первое слагаемое будет нуль, а второе даст Jn (z), так что при любом целомположительном значке n мы имеем интегральное представлениеπ1Jn (z) =cos (nϕ − z sin ϕ)dϕ (n = 0, 1, 2, . . .).(40)π0Строго говоря, последнее равенство доказано нами лишь длявещественных значений z. В силу принципа аналитического продолжения можем утверждать, что оно справедливо и при любомкомплексном z. Принимая во внимание четность подынтегральнойфункции, мы можем записать эту формулу следующим образом:π1Jn (z) =cos (nϕ − z sin ϕ) dϕ.(41)2π−πЭту последнюю формулу можно еще записать так:π1ei(nϕ−z sin ϕ) dϕ.Jn (z) =2π(42)−πДействительно, применяя формулу Эйлера к показательнойфункции, получим два слагаемых, из которых одно будет равно интегралу (41), а второе будет равно нулю, в силу нечетности подынтегральной функции.Заметим, что формула (40) уже не имеет места, если значок n не есть целоечисло.
В данном случае мы имеем более сложную формулу, а именно:π∞1sin pπJp (z) =cos (pϕ − z sin ϕ) dϕ −e−pϕ−zshϕ dϕ,(43)ππ00148]§ 2. Функции Бесселя643причем эта формула справедлива для значений z, лежащих справа от мнимойоси. Напомним при этом определение гиперболического синуса:eϕ − e−ϕ.2Доказательство этой формулы дано в [152].Применяя формулу (37) и пользуясь очевидным равенствомshϕ =111111e 2 a(t− t ) e 2 b(t− t ) = e 2 (a+b)(t− t ) ,имеем∞Jn (a + b)tn =n=−∞∞Jk (a)tk ·∞Jk (b)tk .n=−∞k=−∞Перемножая степенные ряды, стоящие направо, и собирая члены с tn , получим+∞Jn (a + b) =Jk (a)Jn−k (b).(44)k=−∞Эта формула выражает теорему сложения бесселевых функций с целымзначком.Для значка, равного нулю, существует более общая теорема сложения, аименно:∞J0 ( a2 + b2 + 2ab cos α) = J0 (a)J0 (b) + 2Jk (a)Jk (b) cos kα.(45)k=1148.
Формула Фурье—Бесселя. Для произвольных функций, определенных в промежутке (0, ∞) и удовлетворяющих там некоторому дополнительному условию, существует интегральное представление, аналогичное интегралуФурье, но содержащее вместо тригонометрических функций функцию Бесселя,а именно: если f (ρ) непрерывна в промежутке (0, ∞) и удовлетворяет условиям Дирихле [II, 155] во всяком конечном промежутке и, кроме того, существуетинтеграл∞ρ|f (ρ)|dρ,0то имеет место при любом целом n и при ρ > 0 следующая формула:∞∞sJn (sρ)ds tf (t)Jn (st)dt.f (ρ) =0(46)0Приведем формальный вывод соотношения (46), не останавливаясь на некоторых деталях доказательства.
Будем считать ρ радиусом-вектором, введемполярные координаты и применим к функцииx = ρ cos ϕg(x, y) = f (ρ)einϕ(47)y = ρ sin ϕГл. VI. Специальные функции644[148формулу Фурье [II, 173], переставляя порядок внутренних интегралов:g(x, y) =14π 2+∞ +∞+∞ +∞g(ξ, η)e−i(uξ+vη) dξ dη.ei(ux+vy) du dv−∞ −∞−∞ −∞Введем теперь вместо переменных (u, v) и (ξ, η) полярные координатыξ = s cos α,u = t cos β,η = s sin α,v = t sin β.Пользуясь (47), можем написатьf (ρ)einϕ =14π 2∞πt dt0ei ρt cos(β−ϕ) dβ−π∞πsf (s) ds0einα e−ist cos (α−β) dα.−πВведя вместо β новую переменную интегрирования β по формулеβ−ϕ =π+ β ,2получимf (ρ)einϕ =1=4π 2π −ϕ2∞0e−iρt sin β dβ t dt∞πsf (s) ds0− 3π−ϕ2einα e−ist cos (α−ϕ−β−π2)dα.−πПринимая во внимание периодичность тригонометрических функций, можем привести промежуток интегрирования к прежнему промежутку (−π, π).Точно так же, вводя вместо α новую переменную α по формулеα − ϕ − β = α ,получимf (ρ)einϕ =einϕ4π 2∞πt dt0−πeiρt sin β+inβ dβ ∞πsf (s) ds0e−ist sin α+inαdα ,−πоткуда, принимая во внимание формулу (42), будем иметь формулу (46).В случае функции, заданной в конечном промежутке (0, l), вместо формулы (46) можно рассматривать разложение в ряд, аналогичный ряду Фурье, поортогональным функциям, о которых мы говорили в предыдущем параграфе.Заметим, что формулу (46) можно доказать и для любых вещественныхзначков n, больших − 12 , а также при меньших предположениях относительнофункции f (ρ).149]§ 2.
Функции Бесселя645149. Функции Ханкеля и Неймана. Мы определили выше[111] два решения уравнения Бесселяd2 w 1 dwp2+1−w=0+dz 2z dzz2(48)следующими формулами:1 p ⎫z⎪2p− 12 izτ⎪=(τ−1)edτ,⎪3⎪2⎪π2i⎬λ11 p ⎪Γ −p z1⎪⎪(τ 2 − 1)p− 2 eizτ dτ.⎪Hp(2) (z) = − 2 3⎪⎭22π iHp(1) (z)Γ2−p(49)λ2В этих формулах подынтегральная функция определена однозначным образом на плоскости комплексной переменной τ с разрезами, проведенными из точек τ = ±1 параллельно мнимой оси на+i∞, а именно — в первой из формул мы считаем arg(τ 2 −1) = 0 приτ > 1 и во второй формуле мы считаем arg(τ 2 − 1) = 2π при τ > 1.Переходя с отрезка (1, +∞) вещественной оси на отрезок (−∞, −1)по нижней полуплоскости, минуя разрезы, мы совершаем полуобход в отрицательном направлении относительно точек τ = ±1, и,таким образом, аргумент выражения (τ 2 − 1) = (τ − 1)(τ + 1) получает приращение (−2π), т.
е., иными словами, во второй из формул(49) мы должны считать arg (τ 2 − 1) = 0 при τ < −1. Формулы (49)определяют функции Ханкеля для значений z, лежащих справа отмнимой оси, т. е. имеющих вещественную часть больше нуля. Заметим, кроме того, что подынтегральная функция в интегралах (49)при фиксированном значении z является целой функцией параметра p, и, принимая во внимание быстрое затухание подынтегральнойфункции на бесконечности, мы можем утверждать, что и функции(k)Ханкеля Hp (z) при фиксированном z являются целыми функциями параметра p.
Из асимптотических выражений функций Ханкеля [111] непосредственно вытекает, что эти функции представляютсобой два линейно независимых решения уравнения Бесселя. Мывидели также, что функция Бесселя является полусуммой функцийГл. VI. Специальные функции646Ханкеля(1)(2)(1)(2)[149Hp (z) + Hp (z).(50)2Можно провести тесную аналогию между уравнением Бесселя(48) и уравнениемd2 w+ p2 w = 0,(51)dz 2определяющим обычные тригонометрические функции cos pz иsin pz.
При этом функции Ханкеля являются аналогами его решений eipz и e−ipz , а функции Бесселя Jp (z) являются аналогом решения cos pz уравнения (51). Введем теперь еще решение уравнения(48), равное разности функций Ханкеля, деленной на 2i:Jp (z) =Np (z) =Hp (z) − Hp (z).2i(52)Это решение, называемое обычно функцией Неймана, будет аналогом решения sin pz уравнения (51). Из формул (50) и (52) непосредственно получаем следующие выражения функций Ханкеля через функции Бесселя и Неймана:Hp(1) (z) = Jp (z) + iNp (z),Hp(2) (z) = Jp (z) − iNp (z).(53)Отсюда видно сразу, что функции Jp (z) и Np (z) определяют двалинейно независимых решения уравнения (48).Для функций Ханкеля мы имели следующие асимптотическиепредставления:⎫π2 i(z− pπ⎪(1)2 − 4 ) [1 + O(z −1 )], ⎪Hp (z) =e⎬πz(54)⎪π2 −i(z− pπ⎪−(2)−1)⎭24 [1 + O(ze)],Hp (z) =πzкоторые были нами доказаны при z > 0.
Пользуясь формулой (50),можно, как было уже указано раньше [114], получить асимптотическое представление функций Бесселя 2pπ π−1Jp (z) =cos z −−+ O(z ) ,(55)πz24149]§ 2. Функции Бесселя647и точно так же, пользуясь формулой (52), мы получаем асимптотическое представление функций Неймана при z > 0: 2pππ−1sin z −−+ O(z ) .Np (z) =(56)πz24Во всех написанных формулах надо считать z > 0 и радикалбрать положительным.Выведем теперь формулу, выражающую функцию Неймана через функции Бесселя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
