1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Подставляя выражения (16) в уравнение(74) и полагая x = cos θ, получаем для Pn,m (x) следующее уравнение второго порядка: ddPn,m (x)m2(1 − x2 )+ λn −Pn,m (x) = 0.(75)dxdx1 − x2При m = 0 получается уравнение для полиномов Лежандра Pn (x).Собственные значения и соответствующие собственные функцииPn,m (x) решают следующую предельную задачу: найти такие значения λn , при которых уравнение (75) имеет решение, которое остается конечным во всем промежутке −1 x 1, включая и егоконцы. Отметим, что уравнение (75) имеет в особых точках x = ±12определяющее уравнение ρ(ρ − 1) + ρ − m4 = 0 с корнями ρ = ± m2.Решение, соответствующее корню ρ = − m,обращаетсявбеско2нечность в соответствующей особой точке.Указанная задача сводится к нахождению таких значений λn ,при которых решение, принадлежащее корню ρ = m2 в точкеx = −1, принадлежало бы тому же корню и в точке x = 1.Гл.
VI. Специальные функции604[137Решением этой задачи и являются значения λn = n(n+1), а соответствующие собственные функции определяются формулой (12).Свойство ортогональности сферических функций непосредственно связано с тем, что они решают указанную выше предельную задачу для уравнения (70). Совершенно так же функцииPn,m (x) обладают свойством ортогональности на отрезке (−1, 1):1Pn,m (x)Pq,m (x)dx = 0 приp = q.(76)−1Это доказывается на основании уравнения (75) совершенно так же,как это было сделано в [102] для полиномов Лежандра.
Отметимеще один факт, связанный с теорией сферических функций. Если мы используем решение fn (r) = rn уравнения (73), то получим решение rn Yn (θ, ϕ) уравнения Лапласа. Это будет гармонический полином степени n. Если мы используем второе решениеfn (r) = r−n−1 уравнения (73), то приходим к следующему заключению: функцияYn (θ, ϕ),(77)rn+1где Yn (θ, ϕ) — сферическая функция порядка n, является решениемуравнения Лапласа.
Это решение обращается в бесконечность приr = 0 и не является, конечно, полиномом от x, y, z.137. Задачи Дирихле и Неймана. Сферические функцииприменяются в задачах математической физики, связанных с уравнением Лапласа и относящихся к случаю сферы. Для примера рассмотрим задачи Дирихле и Неймана, о которых мы говорили раньше [II, 192] для случая сферы.
Требуется определить гармоническую функцию внутри сферы радиуса R, если заданы ее предельные значения на поверхности этой сферы (внутренняя задача Дирихле). Разложим заданные предельные значения по сферическимфункциям:∞f (θ, ϕ) =Yn (θ, ϕ).(78)n=0137]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра605Составим новый ряд, умножая общий член написанного ряда на(r/R)n , где r — расстояние переменной точки до центра сферы n∞rU (r, θ, ϕ) =Yn (θ, ϕ)(r < R).(79)Rn=0Принимая во внимание, что R1n Yn (θ, ϕ)rn есть гармоническийполином, мы видим, что функция (79) будет гармонической внутрисферы, и, кроме того, непосредственно ясно, что при r = R ряд(79) обращается в ряд (78), так что эта гармоническая функцияудовлетворяет требуемым предельным условиям.Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле, т.
е. положим,что требуется определить функцию, гармоническую вне сферы иравную нулю на бесконечности [II, 192] по ее предельным значениям (78) на поверхности сферы. Принимая во внимание, чтоYn (θ, ϕ)r−n−1 суть гармонические функции, не имеющие особенностей вне сферы и равные нулю на бесконечности, мы получаемрешение внешней задачи Дирихле в виде n+1∞RU (r, θ, ϕ) =Yn (θ, ϕ).(80)rn=0Переходим теперь к решению внутренней задачи Неймана.
Положим, что требуется определить внутри сферы гармоническуюфункцию U (r, θ, ϕ) по значениям ее нормальной производной наповерхности сферы∂U= f (θ, ϕ) (r = R).(81)∂νМы знаем, что для гармонической функции интеграл от нормальной производной должен обращаться в нуль [II, 194]:∂Udσ = 0,∂νsт. е. заданная функция f (θ, ϕ), входящая в условие, должна (81)обязательно быть такой, чтоf (θ, ϕ)dσ = 0.(82)s606Гл. VI. Специальные функции[137Вспоминая формулу (57), определяющую сферические функции, получаемые в разложении f (θ, ϕ), и принимая во внимание,что Pn (cos γ) есть постоянная при n = 0, мы видим, что условие(82) равносильно тому факту, что в разложении f (θ, ϕ) по сферическим функциям отсутствуют сферические функции нулевогопорядка. Таким образом, в данном случае мы будем иметьf (θ, ϕ) =∞Yn (θ, ϕ).(83)n=1Нетрудно видеть, что решение задачи Неймана будет даватьсяследующей формулой:U (r, θ, ϕ) =∞1rnYn (θ, ϕ) n−1 + C,nRn=1(84)где C — произвольная постоянная.Действительно, этот ряд определяет гармоническую функцию,и дифференцирование по нормали совпадает в данном случае сдифференцированием по r.
Нетрудно проверить, что, дифференцируя ряд (84) по r и полагая затем r = R, мы и получим ряд (83),т. е. будет удовлетворено предельное условие (81). В случае внешней задачи Неймана функция f (θ, ϕ), входящая в условие (81), ужене должна удовлетворять условию (82), так что мы имеем для нееразложение общего вида (78). Легко видеть, что при этом решениевнешней задачи Неймана представится в виде рядаU (r, θ, ϕ) = −∞1Rn+2Yn (θ, ϕ) n+1 ,n+1rn=0(85)причем направление нормали ν мы считаем совпадающим с направлением радиуса r.Рассмотрим один специальный случай внешней задачи Неймана. Положим,что сфера радиуса R движется с направленной по оси Z скоростью a в безграничной жидкости, покоящейся на бесконечности.
Возьмем движущуюся сосферой систему координат, помещая начало координат в центре сферы. Приэтом нормальная составляющая скорости жидкости на поверхности сферы будет определяться формулойaz= a cos θ.r138]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра607Предполагая движение жидкости стационарным и с потенциалом скорости,мы будем иметь задачу нахождения функции U по следующим условиям: 1) внесферы U должно быть гармонической функцией; 2) на бесконечности составляющие скорости, т.
е. производные от функции U по координатам, должныобращаться в нуль и 3) на поверхности сферы функция U должна удовлетворять условию∂U= −a cos θ.∂rВ данном случае f (θ, ϕ) = −a cos θ или, вспоминая выражение для полиномов Лежандра, имеемf (θ, ϕ) = −aP1 (cos θ),т. е. в данном случае функция f (θ, ϕ) представляется одной сферической функцией первого порядка. Решение задачи будет определяться формулойU (r, θ, ϕ) =aR3aR3P1 (cos θ) 2 =cos θ.2r2r 2138. Потенциал объемных масс.
Положим, что в пространстве имеетсяограниченный объем V , заполненный материей с плотностью ρ(M ). Потенциалот такого распределения будет выражаться тройным интегралом видаρ(M )U (M ) =dV,(86)dVгде d есть расстояние переменной точки M объема V до точки M , в которойопределяется значение потенциала.
Пусть O есть начало координат, и введемв рассмотрение длины радиусов-векторовr = |OM|,r = |OM |и угол γ, образованный этими радиусами-векторами. Возьмем достаточно далекие точки M , для которых величина r больше наибольшей из величин r .Для таких точек мы будем иметь следующее разложение [133]:∞11r n= =Pn (cos γ) n+1 ,drr 2 − 2rr cos γ + r 2n=0равномерно сходящееся относительно r в силу |Pn (cos γ)| < 1. Подставляя его винтеграл (86), получим разложение потенциала U (M ) по целым отрицательнымстепеням r:∞Yn (θ, ϕ)U (M ) =,(87)r n+1n=0гдеYn (θ, ϕ) =Vρ(M )r n Pn (cos γ)dV.(88)Гл.
VI. Специальные функции608[138Определим первые три члена разложения (87). Вспоминая выражение дляпервых трех полиномов Лежандра, а также принимая во внимание очевиднуюформулуxx + yy + zz cos γ =,rможно написатьxx + yy + zz ,r2221 3(xx + yy + zz ) − r rr 2 P2 (cos γ) =.2r2r P1 (cos γ) =P0 (cos γ) = 1;Подставляя это в формулу (88), будем иметьY0 (θ, ϕ) =ρ(M ) dV = m,Vт. е. коэффициент при 1/r в разложении (87) равен общей массе m, заключающейся в объеме V .
Далее получаемY1 (θ, ϕ) =ρ(M )r P1 (cos γ)dV =V=xrρ(M )x dV +yrVρ(M )y dV +Vzrρ(M )z dV.VНаписанные интегралы выражают произведения массы m на координатыцентра тяжести. Будем считать, что за начало координат выбран центр тяжестимассы. При этом мы будем иметь, очевидно, Y1 (θ, ϕ) = 0. Переходим, наконец,к вычислению Y2 (θ, ϕ). Для этого введем в рассмотрение моменты инерциинашей массы относительно осейA=ρ(M )(y 2 + z 2 )dV, B =ρ(M )(z 2 + x2 )dV,VVC=ρ(M )(x2(89)+ y 2 )dV,Vа также центробежные моменты относительно осейD=ρ(M )y z dV, E =ρ(M )z x dV,VF =V(90) ρ(M )x y dV.VМожно показать, на чем мы не останавливаемся, что координатную системуможно всегда расположить таким образом, чтобы центробежные моменты (90)139]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра609обратились в нуль.
Мы будем считать, что координатные оси и выбраны именнотаким образом. Подставляя выражение r 2 P2 (cos γ) в формулу (88), мы, какнетрудно проверить, получаем следующее выражение для Y2 (θ, ϕ):Y2 (θ, ϕ) =1 (B + C − 2A)x2 + (C + A − 2B)y 2 + (A + B − 2C)z 2,2r2и для потенциала U (M ) будем иметь с точностью до членов порядка 1/r 3U (M ) =1 (B + C − 2A)x2 + (C + A − 2B)y 2 + (A + B − 2C)z 2m++ . . . (91)r2r5Вводя сферические координаты вместо x, y и z, можем переписать это выражение следующим образом:m+r(B + C − 2A) cos2 ϕ sin2 θ + (C + A − 2B) sin2 ϕ sin2 θ + (A + B − 2C) cos2 θ++2r 3+ . . . (92)U (M ) =139.
Потенциал сферического слоя. Положим, что на поверхности SR сферы радиуса R распределена некоторая масса споверхностной плотностью ρ(M ). Потенциал такого простого слояU (M ) будет выражаться интегралом по поверхности сферыU (M ) =ρ(M )ds,d(93)SRгде d есть расстояние точки M до переменной точки M поверхности сферы. Выражение 1/d будет иметь разложения различноговида внутри сферы SR и вне сферы SR .Будем сначала считать r < R, при этом мы получим [133]∞1 rn=Pn (cos γ) n+1 ,d n=0R(94)где γ есть угол, образованный радиусами-векторами OM и OM из центра сферы.
Плотность ρ(M ) мы должны считать заданнойфункцией f (θ , ϕ ) географических координат на сфере.Гл. VI. Специальные функции610[139Подставляя разложение (94) в интеграл (93), будем иметь, вспоминая, что ds = R2 dσ = R2 sin θ dθ dϕ :U (M ) =∞rnf (θ , ϕ )Pn (cos γ)dσ.n−1Rn=0(95)SRНаписанные интегралы непосредственно связаны с членами разложения функции f (θ, ϕ) по сферическим функциям, а именно, если∞f (θ, ϕ) =Yn (θ, ϕ),(96)n=0то, как известно,2n + 1Yn (θ, ϕ) =4πf (θ , ϕ )Pn (cos γ)dσ,SRи, следовательно, разложение (95) мы можем написать в следующем виде:U (M ) = 4π∞rnYn (θ, ϕ) (r < R).(2n + 1)Rn−1n=0(97)Совершенно так же, пользуясь разложением (36), получимU (M ) = 4π∞Rn+2Yn (θ, ϕ)(2n + 1)rn+1n=0(r > R).(98)Пользуясь этими разложениями, отметим некоторые свойствапотенциала простого слоя.
Заметим прежде всего, что разложения(97) и (98) совпадают, если точка M попадает на поверхность сферы. В данном случае мы должны положить r = R и получим следующий результат:U (M0 ) = 4πR∞1Yn (θ, ϕ),2n + 1n=0(99)139]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра611где θ и ϕ — географические координаты точки M0 , лежащей на поверхности сферы. Мы видим, таким образом, что потенциал простого слоя меняется непрерывно, когда точка M проходит черезповерхность сферы.
Это свойство потенциала простого слоя имеетместо не только для сферы, но и для поверхностей общего вида.Исследуем теперь поведение нормальной производной от потенциала (нормальная составляющая силы) при переходе точки M через поверхность сферы.*+(M0 )Обозначим через ∂U∂νпредел нормальной производнойiпри стремленииточкиMпорадиусук точке M0 изнутри сферы,*+∂U(M0 )а через— такой же предел при стремлении точки M к∂νeтой же точке поверхности M0 извне сферы. Через ν мы обозначаем направление внешней нормали к сфере в точке M0 . В данномслучае это направление совпадает с направлением радиуса OM0 .Дифференцируя формулы (97) и (98) по направлению ν, т.
е. по r,и полагая затем r = R, мы получаем выражения для упомянутыхвыше пределов:∞∂U (M0 )nYn (θ, ϕ),= 4π∂ν2n+1in=1∞n+1∂U (M0 )Yn (θ, ϕ).= −4π∂ν2n + 1en=0(100)(101)Отсюда видно, что нормальная производная потенциала простого слоя имеет, вообще говоря, разрыв при прохождении черезповерхность.Из формул (100) и (101) непосредственно вытекают следующиеформулы:∂U (M0 )∂ν∂U (M0 )∂ν−e+e∂U (M0 )∂ν∂U (M0 )∂ν= −4πi= −4πi∞n=0∞Yn (θ, ϕ),1Yn (θ, ϕ),2n + 1n=0Гл. VI. Специальные функции612откуда в силу (96) и (99) мы можем написать∂U (M0 )∂U (M0 )−= −4πρ(M0 ),∂ν∂νe i∂U (M0 )∂U (M0 )U (M0 ).+=−∂ν∂νRei[139(102)(103)Формула (102) показывает, между прочим, что величина скачка нормальной производной равна произведению (−4π) на значениеплотности в рассматриваемой точке поверхности.Выясним теперь значение правой части формулы (103).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
