1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 92
Текст из файла (страница 92)
П. Приводимыесистемы, 1946, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова.Г Л А В А VIСПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ§ 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИЛЕЖАНДРА130. Определение сферических функций. В настоящейглаве мы будем изучать некоторые специальные классы функций,которые встречаются при интегрировании уравнений математической физики. Все эти функции определяются обычно как решениянекоторых линейных уравнений с переменными коэффициентами.В частности, в задаче колебания струны мы встретились с тригонометрическими функциями и в задаче колебания круглой мембраны — с бесселевыми функциями.Мы начнем с изучения так называемых сферических функций,которые тесно связаны с уравнением Лапласа.
Об этом уравнениимы уже много говорили раньше. В декартовых координатах оноимеет вид∂2U∂2U∂2UΔU =++= 0.(1)22∂x∂y∂z 2Будем искать такие решения этого уравнения, которые имеютвид однородных полиномов переменных x, y и z.Начнем с разбора простейших частных случаев.
Единственныйоднородный полином нулевой степени есть произвольная постоянная a, которая, очевидно, удовлетворяет уравнению (1). Общий видоднородных полиномов первой степени будетU1 = ax + by + cz.130]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра575Такой полином также удовлетворяет уравнению (1) при любомвыборе постоянных коэффициентов a, b и c. Иначе говоря, мы имеем здесь три линейно независимых решения уравнения (1), а именноx, y и z, и их линейная комбинация с произвольными постояннымикоэффициентами дает общее решение уравнения (1), имеющее видоднородного полинома первой степени. Рассмотрим однородные полиномы второй степениU2 = ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + eyz + tzx.Подставляя U2 в уравнение (1), мы получим одно соотношениедля коэффициентов, а именно: a + b + c = 0.
Мы можем, например считать c = −a − b, и, следовательно, общий вид однородныхполиномов второй степени, удовлетворяющих уравнению (1), будетU2 = a(x2 − z 2 ) + b(y 2 − z 2 ) + dxy + eyz + f zx.Здесь мы имеем пять линейно-независимых решений уравнения,а именно x2 − z 2 , y 2 − z 2 , xy, yz и zx, и линейная комбинация таких решений с произвольными постоянными коэффициентами даетобщее решение уравнения, изображаемое однородным полиномомвторой степени.Возьмем однородный полином третьей степениU3 = ax3 + by 3 + cz 3 + dx2 y + ex2 z + f y 2 x + gy 2 z + hz 2 x + kz 2 y + lxyz.Подставляя U3 в уравнение (1), получим6(ax + by + cz) + 2dy + 2ez + 2f x + 2gx + 2hx + 2ky = 0.Приравнивая нулю коэффициенты при x, y, z, будем иметь триуравнения, связывающих коэффициенты:3a + f + h = 03b + d + k = 03c + e + g = 0или1a = − (f + h),31b = − (d + k),31c = − (e + g),3576Гл.
VI. Специальные функции[130так что общий вид решений уравнения (1), имеющих форму однородных полиномов третьей степени, будет111U3 = d x2 y − y 3 + e x2 z − z 3 + f y 2 x − x3 +333111+ g y 2 z − z 3 + h z 2 x − x3 + k z 2 y − y 3 + lxyz.333В данном случае мы будем иметь семь линейно-независимыхрешений уравнения.Покажем теперь, что в общем случае существует (2n + 1) линейно независимых однородных полиномов степени n, удовлетворяющих уравнению (1).
Займемся подсчетом числа коэффициентовв однородном полиноме и числа уравнений, которым они должныудовлетворять. Однородный полином степени n с двумя переменнымиa0 xn + a1 xn−1 y + . . . + an y nсодержит (n + 1) коэффициентов. Однородный полином степени nс тремя переменными может быть записан в видеa0 z n + ϕ1 (x, y)z n−1 + . . . + ϕn−1 (x, y)z + ϕn (x, y),(2)где ϕk (x, y) — однородные полиномы степени k.
Следовательно, общее число коэффициентов в однородном полиноме (2) будет1 + 2 + . . . + n + (n + 1) =(n + 1)(n + 2).2При подстановке полинома (2) в левую часть уравнения (1) получится однородный полином степени (n − 2), содержащий всего(n−1)nчленов. Таким образом, (n+1)(n+2)коэффициентов полино22(n−1)nма (2) будут связаныоднородными уравнениями. Если эти2уравнения независимы, то число коэффициентов, остающихся произвольными, будет(n + 1)(n + 2) (n − 1)n−= 2n + 1,22131]§ 1.
Сферические функции и функции Лежандра577что мы и хотели доказать. Но при этом все же остается невыясненным, будут ли упомянутые выше уравнения действительно независимыми. Мы дадим поэтому другое полное доказательство высказанного предложения. Полином (2) мы можем записать в следующей форме:Un =apqr xp y q z r ,p+q+r=nгде, очевидно,apqr =1 ∂ p+q+r Un.p!q!r! ∂xp ∂y q ∂z r(3)Уравнение (1) можно переписать в виде∂2U∂ 2U∂2U=− 2 −.2∂z∂x∂y 2Пользуясь этим уравнением, мы можем в выражениях (3) исключить дифференцирование по переменной z выше первого порядка; например, мы можем написать 2 2∂ 6U∂4∂4∂2U∂2U∂ U∂ U=+=−++∂x∂y∂z 4∂x∂y∂z 2 ∂x2∂y 2∂x3 ∂y ∂x2∂y 2 2∂6U∂6U∂ U∂6U∂2U∂4+2 3 +=+.+3225∂x∂y∂x∂y∂x ∂y∂x ∂y ∂x∂y 5Таким образом, останутся произвольными лишь те коэффициенты apqr , в которых или вовсе нет дифференцирования по z, илигде это дифференцирование производится один раз.
Это будут коэффициенты: apq0 (p + q = n) или apq1 (p + q = n − 1), и их общеечисло равно как раз (2n + 1), что мы и хотели доказать.131. Явные выражения сферических функций. Мы установим теперь явные выражения для тех однородных полиномов, окоторых мы говорили в предыдущем параграфе. Введем сферические координатыx = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.(4)Гл. VI. Специальные функции578[131При этом однородный гармонический полином степени n представится в видеUn (x, y, z) = rn Yn (θ, ϕ).(5)Такой полином, являющийся решением уравнения (1), называется обычно объемной сферической функцией, а множитель Yn (θ, ϕ),который будет, очевидно, полиномом от cos θ, sin θ, cos ϕ и sin ϕ, называется поверхностной сферической функцией, или просто сферической функцией порядка n. Нашей задачей и является нахождение(2n + 1) линейно независимых сферических функций.Предварительно отметим один простой факт, связанный с решением уравнения (1).
Напишем следующий интеграл, зависящийот параметров x, y и z:πU (x, y, z) =f (z + ix cos t + iy sin t, t) dt,(6)−πпричем мы предполагаем, что написанный интеграл можно дифференцировать под знаком интеграла по x, y и z. Произведя дифференцирование, мы убедимся без труда, что функция U (x, y, z) удовлетворяет уравнению (1) при любом выборе функции f (τ, t), лишьбы было законно указанное дифференцирование. Действительно,πΔU (x, y, z) =(1 − cos2 t − sin2 t)f (z + ix cos t + iy sin t, t) dt,−πгде через f (τ, t) мы обозначили вторую производную от f (τ, t)по первому аргументу.
Отметим, что этот аргумент является комплексной величиной. Теперь уже нетрудно, пользуясь формулой(6), построить (2n + 1) однородных полиномов степени n, удовлетворяющих уравнению (1).Напишем их в следующем виде:π(z + ix cos t + iy sin t)n cos mt dt−π(m = 0, 1, 2, . . . , n),(7)131]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра579(z + ix cos t + iy sin t)n sin mt dt(8)π(m = 1, 2, . . . , n).−πВводя сферические координаты, получим, пользуясь интегралом (7), следующие выражения для сферических функций:π[cos θ + i sin θ cos (t − ϕ)]n cos mt dt =−ππ−ϕ(cos θ + i sin θ cos ψ)n cos m (ϕ + ψ) dψ.=−π−ϕПринимая во внимание, что подынтегральная функция имеет период 2π по ψ, можем брать любой промежуток интегрирования длины2π [II, 142].
Таким образом, последний интеграл переписывается ввидеπ(cos θ + i sin θ cos ψ)n cos m (ϕ + ψ) dψ.−πРаскрывая cos m (ϕ + ψ) и принимая во внимание нечетность функции sin mψ, можем переписать эту сферическую функцию в видеπcos mϕ(cos θ + i sin θ cos ψ)n cos mψ dψ(m = 0, 1, 2, . . . , n). (9)−πСовершенно так же интеграл (8) приведет нас к следующим n сферическим функциям:πsin mϕ(cos θ + i sin θ cos ψ)n cos mψ dψ(m = 1, 2, . . . , n). (10)−πЛинейная независимость всех (2n + 1) функций (9) и (10) непосредственно следует из того, что зависимость этих функций от ϕ580Гл.
VI. Специальные функции[131содержится в множителях cos mϕ и sin mϕ и что не может существовать линейной зависимости между этими последними функциями,поскольку они ортогональны между собой на промежутке (−π, π)[II, 142]. Таким образом, мы построили все (2n + 1) сферическихфункций порядка n.
Коэффициенты при cos mϕ и sin mϕ в выражениях (9) и (10) суть одни и те же функции от θ. Мы их выразимчерез полиномы Лежандра.Мы имели следующие выражения для полиномов Лежандра[105]:1 dnPn (x) =[(x2 − 1)n ].(11)n!2n dxnВведем еще функции Pn,m (x), которые выражаются через полиномы Лежандра следующим образом:mPn,m (x) = (1 − x2 ) 2mdm Pn (x)(1 − x2 ) 2 dn+m=[(x2 − 1)n ]. (12)mdxn!2ndxn+mmПри нечетном m множитель (1 − x2 ) 2 определен лишь с точностью до знака. В дальнейшем мы будем рассматривать x из промежутка −1 x 1 и будем полагать x = cos θ, где 0 θ π.При этом мы будем считать для определенности в выраженииmPn,m (cos θ) множитель (1 − cos2 θ) 2 равным sinm θ, т.
е. неотрицательным, ибо 0 θ π.Введем теперь другие выражения для Pn (x) и Pn,m (x). Согласноформуле Коши можем написать(z 2 − 1)n12ndz,(x − 1) =2πiz−xCгде C — любой замкнутый контур, внутри которого находится точка z = x, причем этот контур обходится против часовой стрелки.Отсюда в силу (11) получаем(z − 1)n (z + 1)n1Pn (x) = n+1dz.(13)2πi(z − x)n+1CВозьмем в качестве контура C окружность с центром z = x и ра1диусом |x2 − 1| 2 (считается, что x = ±1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
