1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Рассмотрим систему уравнений простейшеговида, коэффициенты которых суть рациональные функции, имеющие полюсы первого порядка на конечном расстоянии и равные нулю на бесконечности.Пусть x = aj есть полюс первого порядка некоторых коэффициентов. Каждый(j)из коэффициентов pik (x) имеет в этом полюсе некоторый вычет uik , и эти вычеты образуют некоторую квадратную таблицу Uj . Мы можем, таким образом,записать нашу систему в следующем виде:mUjdY=Y,dxx−ajj=1(318)где Uj — матрицы, состоящие из постоянных элементов. Будем искать такоерешение системы (318), которое в некоторой точке x = b, отличной от точек aj ,обращается в единичную матрицу, и обозначим такое решение символомY (b; x).Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения552[124Принимая во внимание это начальное условие, можно переписать системув следующей интегральной форме:xY (b; x) = I +Y (b; x)mj=1bUjdx,x − aj(319)где интегрирование матрицы равносильно интегрированию каждого ее элемента.Применим теперь, как всегда, метод последовательных приближений, аименно положим Y0 = I, а следующее приближение определим обычной формулойxmUjYn (x) = I + Yn−1 (x)dx.(320)x−ajj=1bМы будем иметь, согласно методу последовательных приближений,Y (b; x) = Y0 + (Y1 (x) − Y0 ) + (Y2 (x) − Y1 (x)) + .
. . ,или, полагая для краткостиZn (x) = Yn (x) − Yn−1 (x)(Z0 = I),причем в силу (320) мы имеемxmUjdx,x − aj(321)Y (b; x) = I + Z1 (x) + Z2 (x) + . . .(322)Zn (x) =Zn−1 (x)j=1bможно написатьОпределим первые члены этого разложения, пользуясь общей формулой(321). Вводя обозначениеxLb (aj1 ; x) =bимеемZ1 (x) =x mb j=1x − aj1dx= ln,x − aj1b − aj1mUjdx =Uj1 Lb (aj1 ; x).x − ajj =11Точно так же, вводя обозначениеxLb (aj1 , aj2 ; x) =bполучимZ2 (x) =x mb j1 =1Lb (aj1 ; x)dx,x − aj2Uj1 Lb (aj1 ; x)mj2 =1Uj2dx,x − aj2124]Регулярные системыилиZ2 (x) =1,..., mUj1 Uj2 Lb (aj1 ,j1 , j2553aj2 ;x),где суммирование распространяется на значки j1 и j2 , независимо от 1 до m.Продолжая так же и дальше и вводя формулыx − aj1Lb (aj1 ; x) = ln,b − aj1x(323)Lb (aj1 , . . .
, ajν−1 ; x)Lb (aj1 , . . . , ajν ; x) =dx,x − ajνbопределяющие последовательно коэффициенты Lb (aj1 , . . . , ajν ; x), получим1,..., mZν (x) =Uj1 . . . Ujν Lb (aj1 , . . . , ajν ; x),j1 , ...,jνгде суммирование распространяется на все значки, указанные под знаком суммы, причем каждый значок, независимо от других, пробегает целые значенияот 1 до m. Окончательно в силу (322) будем иметь следующее представлениедля нашего решения в виде степенного ряда от матриц Uj :Y (b; x) = I +∞1,..., mUj1 . . . Ujν Lb (aj1 , .
. . , ajν ; x),(324)ν=1 j1 , ..., jνпричем коэффициенты этого ряда определяются рекуррентными соотношениями (323).Решение Y (b; x) может быть аналитически продолжено по любому пути,не проходящему через особые точки aj , и ряд (324) дает это решение во всейобласти его существования, т. е. при любом аналитическом продолжении. Действительно, покажем сначала, что ряд (324) сходится при любом аналитическомпродолжении коэффициентов Lb (aj1 , . . . , ajν ; x). Пусть l — некоторая кривая,выходящая из точки x = b и отстоящая на конечном расстоянии от точек aj .Пусть δ — кратчайшее расстояние от точек aj до кривой l и s — длина дуги наэтой кривой, отсчитываемая от точки b. Применяя обычную оценку интегралапо контуру l, мы получаем следующую оценку для коэффициентов ряда (324)на l [4]:ssds|Lb (aj1 ; x)| = ,δδ0откудаs|Lb (aj1 , aj2 ; x)| 0и вообще на l|Lb (aj1 ; x)|ds δs01sds=δ22! 1 s ν.|Lb (aj1 , .
. . , ajν ; x)| ν! δ 2s,δ554Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[124Но степенной ряд ∞∞1 s ν ν1 sz νz =ν! δν! δν=0ν=0сходится при всяком z, и, следовательно, мы можем утверждать, что ряд (324)сходится абсолютно для любых матриц Uj и при любом аналитическом продолжении его коэффициентов [99]. Из предыдущих оценок вытекает также, чтосходимость будет и равномерной во всякой конечной области (вообще говоря,многолистной), отстоящей от точек aj на расстоянии большем нуля. Наконец,дифференцируя ряд (324) почленно по x, нетрудно убедиться, что он удовлетворяет и системе.
Действительно, мы можем переписать его следующим образом,выделяя одно из суммирований:Y (b; x) = I +mUj Lb (aj ; x)+j=1+∞ m1,..., mUj1 . . . Ujν Uj Lb (aj1 , . . . , ajν , aj , x).ν=1 j=1 j1 , ..., jνДифференцируя по x и принимая во внимание, что в силу определения1dLb (aj ; x)=dxx − ajиLb (aj1 , . . . , ajν ; x)dLb (aj1 , .
. . , ajν , aj ; x)=dxx − ajполучим в результате дифференцирования..., mm∞ 1,mUjUjdY (b; x)=+[Uj1 . . . Ujν Lb (aj1 . . . ajν ; x)]dxx−ax−ajjν−1 j , ..., jj=1j=11νили..., m∞ 1,mUjdY (b; x)= I+Uj1 . . . Ujν Lb (aj1 . . . ajν ; x),dxx−ajν=1 j , ..., jj=11т. е.ν UjdY (b; x)= Y (b, x).dxx − ajj=1mНаконец, непосредственно ясно, что построенное решение обращается в единичную матрицу при x = b, так как в силу определения коэффициенты рядаобращаются в нуль при x = b. Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме.Т е о р е м а. Решение системы (318), которое обращается в единичнуюматрицу при x = b, определяется рядом (324) во всей области его существования по отношению к x и при любом выборе матриц Uj .124]Регулярные системы555Если на плоскости x проведем из точек aj на бесконечность разрезы lj так,чтобы они не пересекали друг друга, то на разрезанной таким образом плоскости, которая будет односвязной областью, решение (324) будет однозначнойфункцией x, но на противоположных берегах разреза оно будет иметь различные значения, а именно: в результате обхода вокруг каждой точки aj в положительном направлении наше решение будет умножаться слева на некоторуюпостоянную матрицу Vj , которую мы назвали выше интегральной матрицей, соответствующей особой точке aj .
Выведем теперь выражения для интегральныхматриц Vj через матрицы Uj , входящие в коэффициенты заданной системы. Висходной точке x = b наше решение имеет значение I, т. е. обращается в единичную матрицу, и, следовательно чтобы получить интегральную матрицу Vj ,нам надо определить значение нашего решения, которое получится при аналитическом продолжении вдоль замкнутого контура lj , обходящего вокруг точкиaj и возвращающегося в точку b.Это значение может быть получено непосредственно по формуле (324), причем надо только в формулах (323) производить интегрирование по вышеуказанному замкнутому контуру lj , и при этом, конечно, полученные коэффициентыне будут уже зависеть от x.Введем для них следующие обозначения:2πi приj = j1 ,dx=(325)Pj (aj1 ; b) =x − aj10 приj = j1ljиPj (aj1 , . .
. , ajν ; b) =Lb (aj1 , . . . , ajν−1 ; x)ljx − ajνdx.(326)При этом мы будем иметь представление Vj в виде степенного ряда отматриц Uj , абсолютно сходящегося при любом выборе этих матриц:Vj = I +∞1,..., mUj1 . . . Ujν Pj (aj1 , . . . , ajν ; b).(327)ν=1 j1 ,...,jνТ е о р е м а. Интегральные матрицы Vj суть целые функции матриц Uj ,определяемые рядом (327), коэффициенты которого определяются формулами(325) и (326).Вместо формул (326) можно доказать следующие формулы, связывающиевеличины Pj для соседних значений ν:b Pj (aj1 , . .
. , ajν ; b) =ajPj (aj1 , . . . , ajν−1 ; b)b − ajν−Pj (aj2 , . . . , ajν ; b)db. (328)b − aj1Доказательство этих формул мы приводить не будем.556Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[124Если совершим аналитическое продолжение построенного решения покакому-либо контуру, выходящему изнекоторой точки x и возвращающемуся в эту же точку, то такой замкнутыйконтур в смысле аналитического продолжения равносилен нескольким обходам вокруг точек aj в положительномили отрицательном направлении.
Следовательно, при возвращении в точку xнаше решение умножится слева на постоянную матрицу, которая представляется в виде произведения множителейVj или Vj−1 . В этом смысле говорят,что интегральные матрицы Vj образуют группу уравнения (318).Рис. 72.Разъясним сказанное на простомпримере. На рис. 72 отмечены особые точки a1 , a2 и a3 , и сплошной линиейуказан контур аналитического продолжения. Пунктирные линии сводят этотконтур к равносильному в отношении аналитического продолжения контуру,состоящему из ряда обходов вокруг точек aj , причем взято x = b.Первый обход относится к точке a1 , и в результате этого обхода мы придемв точку b с решением V1 Y (b; x).
Последующий обход относится к точке a3 , ив результате этого обхода постоянная матрица V1 останется без изменения, аматрица Y (b; x) умножится слева на V3 , т. е. после второго обхода мы придем вточку b со следующим решением V1 V3 Y (b; x); и, наконец, в результате третьегообхода мы вернемся окончательно в точку b с решениемV1 V3 V2−1 Y (b; x).Любое решение Y (x) системы (318) отличается от решения Y (b; x) на постоянную матрицуY (x) = CY (b; x),и его интегральные матрицы будут, как известно [122],CVj C −1 .Рассмотрим теперь матрицу [Y (b; x)]−1 , которая является обратной матрицей для Y (b; x).
Эта матрица, как мы видели раньше, удовлетворяет системелинейных уравненийmd[Y (b; x)]−1Uj=−[Y (b; x)]−1 .dxx − ajj=1Применяя к этой системе уравнений метод последовательных приближений, мы получим следующее представление этой матрицы в виде степенногоряда от матриц Uj :[Y (b; x)]−1 = I +∞1,..., mν=1 j1 ,...,jνUj1 , . . . , Ujν L∗b (aj1 , . . .
, ajν ; x),(329)124]Регулярные системы557где коэффициенты определяются по формуламxx − aj1dxL∗b (aj1 ; x) = −= − lnx − aj1b − aj1(330)bиL∗b (aj1 ,x. . . , ajν ; x) = −L∗b (aj2 , . . . , ajν ; x)x − aj1bdx.(331)Разложение (329) сходится абсолютно для любых матриц Uj и при любоманалитическом продолжении относительно переменной x. Эти результаты получаются совершенно так же, как и выше. Принимая во внимание, что[Vj Y (b; x)]−1 = [Y (b; x)]−1 Vj−1 ,мы видим, что матрица [Y (b; x)]−1 при обходе вокруг особой точки aj помножается справа на матрицу Vj−1 , и таким образом можно получить представлениеVj−1 в виде степенного ряда от матриц Uj , пользуясь рядом (329) и совершаяаналитическое продолжение его коэффициентов по замкнутому контуру lj , обходящему вокруг особой точки aj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
